歸納法和類(lèi)比法

1、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法 類(lèi)比推理類(lèi)比推理 歸納法歸納法 類(lèi)比推理類(lèi)比推理 “我珍視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可我珍視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的它應(yīng)該是最不容忽視的”。 德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒勒 即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是類(lèi)比。即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是類(lèi)比。 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯 類(lèi)比似乎在一切數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某類(lèi)比似乎在一切數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)中些發(fā)現(xiàn)中有它

2、最大的作用，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)中“偉大偉大的引路人的引路人”。 匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞 類(lèi)比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)不同的對(duì)象，在某些類(lèi)比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)不同的對(duì)象，在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類(lèi)同之處，猜測(cè)方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類(lèi)同之處，猜測(cè)這兩個(gè)對(duì)象在其他方面也可能有類(lèi)同之處，并作出這兩個(gè)對(duì)象在其他方面也可能有類(lèi)同之處，并作出某種判斷的推理方法。某種判斷的推理方法。 其基本模式為：其基本模式為：A具有性質(zhì)具有性質(zhì) F1， F2， F3， Fn，P具有性質(zhì)具有性質(zhì) F1， F2， F3， Fn，具有性質(zhì)具有性質(zhì) 一、類(lèi)比法的概念一、類(lèi)比法的概念 如，根據(jù)算術(shù)中分?jǐn)?shù)的基本性

3、質(zhì)：如，根據(jù)算術(shù)中分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：“分?jǐn)?shù)的分分?jǐn)?shù)的分子和分母同乘以或除以不為零的同一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的子和分母同乘以或除以不為零的同一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變值不變”。用類(lèi)比的方法可以推測(cè)代數(shù)式中分式的。用類(lèi)比的方法可以推測(cè)代數(shù)式中分式的性質(zhì)：性質(zhì)：“分式的分子和分母同乘以或除以不為零的分式的分子和分母同乘以或除以不為零的同一個(gè)代數(shù)式，分式的值不變同一個(gè)代數(shù)式，分式的值不變”。 又如，對(duì)照平面中的梯形和立體中的四棱臺(tái)，又如，對(duì)照平面中的梯形和立體中的四棱臺(tái)，可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關(guān)可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關(guān)系與四棱臺(tái)的二維元素（面）之間的關(guān)系有許多共系與四棱臺(tái)的二維元

4、素（面）之間的關(guān)系有許多共同的地方，但二者的高例外。同的地方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱臺(tái)四棱臺(tái),)ba(hS2 2 梯梯 二、類(lèi)比法的應(yīng)用二、類(lèi)比法的應(yīng)用232319191 1191915151 1151511111 111117 71 17 73 31 16 65 5 計(jì)算計(jì)算例例 在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中,類(lèi)比也有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用類(lèi)比也有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用,具體過(guò)程正如波利亞所說(shuō)的那樣具體過(guò)程正如波利亞所說(shuō)的那樣“選擇一個(gè)類(lèi)似的、選擇一個(gè)類(lèi)似的、較容易的問(wèn)題去解決它，以便它可以作為一個(gè)模式。較容易的問(wèn)題去解決它，以便它可以作為一個(gè)模式。然后利用這個(gè)

5、剛剛建立起來(lái)的模式，以達(dá)到原來(lái)問(wèn)然后利用這個(gè)剛剛建立起來(lái)的模式，以達(dá)到原來(lái)問(wèn)題的解決。題的解決?！? 65 51 15 54 41 14 43 31 13 32 21 12 21 11 1 如如 例1、有一盒糖果，只發(fā)給小班朋友，平均每人可得20顆；只發(fā)給大班朋友，平均每人可得30顆，現(xiàn)在要把糖果發(fā)給大班和小班小朋友，平均每人可得幾顆？ 例2、李老師為課外興趣小組買(mǎi)書(shū)，他帶的錢(qián)正好可買(mǎi)15本語(yǔ)文書(shū)或24本數(shù)學(xué)書(shū)，如果李老師先買(mǎi)了10本語(yǔ)文書(shū)后，剩下的買(mǎi)數(shù)學(xué)書(shū)，還可以買(mǎi)幾本數(shù)學(xué)書(shū)？ 例例4 4、一批布如果用來(lái)做上裝可以做、一批布如果用來(lái)做上裝可以做180180件；如果用件；如果用來(lái)做褲子可以做來(lái)

6、做褲子可以做220220件。如果用來(lái)做套裝，可以做件。如果用來(lái)做套裝，可以做多少套？多少套？三、幾種常用的類(lèi)比形式三、幾種常用的類(lèi)比形式1、平面與空間的類(lèi)比、平面與空間的類(lèi)比2、數(shù)與形的類(lèi)比、數(shù)與形的類(lèi)比3、解題方法上的類(lèi)比、解題方法上的類(lèi)比 對(duì)照平面中的梯形和立體中的四棱臺(tái)，可以發(fā)對(duì)照平面中的梯形和立體中的四棱臺(tái)，可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關(guān)系與四現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關(guān)系與四棱臺(tái)的二維元素（面）之間的關(guān)系有許多共同的地棱臺(tái)的二維元素（面）之間的關(guān)系有許多共同的地方，但二者的高例外。方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱臺(tái)四棱臺(tái),)ba

7、(hS2 2 梯梯1、平面與空間的類(lèi)比、平面與空間的類(lèi)比的的極極小小值值。求求函函數(shù)數(shù)，均均為為正正數(shù)數(shù)，已已知知例例2 22 22 22 27 75 5b)xc(axycba ABcMXDC顯然顯然C,D,M三點(diǎn)共線時(shí)有極小值。三點(diǎn)共線時(shí)有極小值。ba2、數(shù)與形的類(lèi)比、數(shù)與形的類(lèi)比成成等等差差數(shù)數(shù)列列。則則若若例例z ,y,x,)zy)(yx()xz(0 04 48 85 52 2 ,acb)a(cbxax類(lèi)類(lèi)似似的的根根的的判判別別式式一一元元二二次次方方程程仔仔細(xì)細(xì)觀觀察察條條件件發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)它它與與0 04 40 00 02 22 2 有有等等根根的的條條件件。的的二二次次方方程程看看作作

8、是是關(guān)關(guān)于于于于是是聯(lián)聯(lián)想想到到將將已已知知條條件件0 02 2 )zy(t )xz(t )yx(:tzxy,yxzy 2 21 1 即即 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn),方程左邊各項(xiàng)系數(shù)之和為方程左邊各項(xiàng)系數(shù)之和為0,故知方程有故知方程有兩個(gè)等根兩個(gè)等根,均為均為1,于是可利用韋達(dá)定理于是可利用韋達(dá)定理,其兩根之積為其兩根之積為: 故故x,y,z成等差數(shù)列。成等差數(shù)列。3、解題方法上的類(lèi)比、解題方法上的類(lèi)比 四、正確認(rèn)識(shí)類(lèi)比法所做出的結(jié)論四、正確認(rèn)識(shí)類(lèi)比法所做出的結(jié)論 類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中一個(gè)十分重要的方法。類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中一個(gè)十分重要的方法。但它作為一種合理推理的形式所得的結(jié)論也只能但它作為一種合理

9、推理的形式所得的結(jié)論也只能是猜想。即類(lèi)比會(huì)引向發(fā)現(xiàn)也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。我們是猜想。即類(lèi)比會(huì)引向發(fā)現(xiàn)也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。我們要從積極的方面去認(rèn)識(shí)它的作用：其思想方法能要從積極的方面去認(rèn)識(shí)它的作用：其思想方法能促使我們思考，啟發(fā)與誘導(dǎo)我們?nèi)ヌ接憜?wèn)題。促使我們思考，啟發(fā)與誘導(dǎo)我們?nèi)ヌ接憜?wèn)題。 歸納法歸納法 引例引例1:為了研究多面體的結(jié)構(gòu)為了研究多面體的結(jié)構(gòu),可以進(jìn)行這樣的觀察和可以進(jìn)行這樣的觀察和實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn):計(jì)算以下四面體、六面體、八面體、六棱錐、五棱計(jì)算以下四面體、六面體、八面體、六棱錐、五棱柱及四棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)（柱及四棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)（V），棱數(shù)（），棱數(shù)（E）及面數(shù)（）及面數(shù)（F），并），并將結(jié)果排列起來(lái)。將結(jié)

10、果排列起來(lái)。VEF四面體四面體六面體六面體八面體八面體六棱錐六棱錐五棱柱五棱柱四棱臺(tái)四棱臺(tái)464812661287127101578126 仔細(xì)分析一下這些數(shù)據(jù)，仔細(xì)分析一下這些數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)如下的關(guān)系：不難發(fā)現(xiàn)如下的關(guān)系： V+F-E=2笛卡兒笛卡兒-歐拉多面體定理歐拉多面體定理一、一、 歸納法的概念歸納法的概念 歸納法，是指通過(guò)特別分析引出普遍的結(jié)論歸納法，是指通過(guò)特別分析引出普遍的結(jié)論的推理方法。和類(lèi)比一樣，它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中也具的推理方法。和類(lèi)比一樣，它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中也具有十分重要的作用。有十分重要的作用。 在科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，歸納法可以理解為用來(lái)在科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，歸納法可以理解為用來(lái)概括由觀

11、察和實(shí)驗(yàn)獲得的事實(shí)，確立科學(xué)認(rèn)識(shí)基概括由觀察和實(shí)驗(yàn)獲得的事實(shí)，確立科學(xué)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的客觀性，從而探索事物的規(guī)律性。即歸納常礎(chǔ)的客觀性，從而探索事物的規(guī)律性。即歸納常常建立在有目的、有計(jì)劃的觀察和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上。常建立在有目的、有計(jì)劃的觀察和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上。 歸納法也是一種或然性推理，其猜想或論斷歸納法也是一種或然性推理，其猜想或論斷盡管是符合情理的，但不一定是正確的，還需要盡管是符合情理的，但不一定是正確的，還需要有嚴(yán)格的證明。有嚴(yán)格的證明。二、二、 歸納法的類(lèi)型歸納法的類(lèi)型 歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。 所謂完全歸納法，是根據(jù)某類(lèi)事物中每一個(gè)所謂完

12、全歸納法，是根據(jù)某類(lèi)事物中每一個(gè)對(duì)象的情況或每一個(gè)子類(lèi)的情況，而作出關(guān)于該對(duì)象的情況或每一個(gè)子類(lèi)的情況，而作出關(guān)于該類(lèi)事物的一般性結(jié)論的推理。如果它的前提是真類(lèi)事物的一般性結(jié)論的推理。如果它的前提是真的，那么它的結(jié)論也一定是真的。的，那么它的結(jié)論也一定是真的。 所謂不完全歸納法，是根據(jù)對(duì)某類(lèi)事物中的所謂不完全歸納法，是根據(jù)對(duì)某類(lèi)事物中的一部分對(duì)象的情況，而作出關(guān)于該類(lèi)事物的一般一部分對(duì)象的情況，而作出關(guān)于該類(lèi)事物的一般性結(jié)論的推理。性結(jié)論的推理。 三、歸納法與數(shù)學(xué)歸納法之間的關(guān)系三、歸納法與數(shù)學(xué)歸納法之間的關(guān)系 1、由于數(shù)學(xué)歸納法所證明的結(jié)論是完全可靠的，、由于數(shù)學(xué)歸納法所證明的結(jié)論是完全可靠

13、的，因此，和歸納法不同，數(shù)學(xué)歸納法屬于論證的范疇，因此，和歸納法不同，數(shù)學(xué)歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測(cè)的方法。而不是猜測(cè)的方法。 2、數(shù)學(xué)歸納法與歸納法之間也存在著相互依賴(lài)、數(shù)學(xué)歸納法與歸納法之間也存在著相互依賴(lài)、相互滲透的辨證關(guān)系。相互滲透的辨證關(guān)系。 數(shù)學(xué)歸納法所證明的結(jié)論往往是由歸納法所得數(shù)學(xué)歸納法所證明的結(jié)論往往是由歸納法所得出的猜測(cè)，而歸納法所得出的猜測(cè)有些要用數(shù)學(xué)歸出的猜測(cè)，而歸納法所得出的猜測(cè)有些要用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)加以證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法是歸納法的自納法來(lái)加以證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法是歸納法的自然發(fā)展。而且，更為重要的是，歸納的過(guò)程往往為然發(fā)展。而且，更為重要的是，歸納的過(guò)程往

14、往為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反之，證明的過(guò)程則加深了對(duì)原來(lái)猜測(cè)的理解。之，證明的過(guò)程則加深了對(duì)原來(lái)猜測(cè)的理解。引例引例2：觀察如下幾個(gè)等式：觀察如下幾個(gè)等式：10=3+7，20=13+7，30=13+176=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7再如：再如： 能否有論斷：能否有論斷：“任何一個(gè)大于任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都的偶數(shù)都 是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 1966年，數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了年，數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了“每一個(gè)充分每一個(gè)充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)及一個(gè)不超過(guò)二大的偶數(shù)都能夠表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和”。200320032576 例例1、 的末位數(shù)字是幾？的末位數(shù)字是幾？:sn,nn項(xiàng)項(xiàng)的的和和出出前前的的情情況況著著手手分分析析，計(jì)計(jì)算算先先從從4 43 32 21 1 ,s,s ,s7 73 33