§6.6 環(huán)(離散數(shù)學(xué))

1、6.6 環(huán) 6.6.1 環(huán) 的 定 義 6.6.2 環(huán) 的 性 質(zhì) 1 6.6.1 環(huán) 的 定 義設(shè)R是一個非空集合, 其中有加“+”、乘“ ”兩種二元代數(shù)運(yùn)算，稱（R,+, ）為一個環(huán)，如果1)a+b=b+a，2)a+（b+c）=（a+b）+c，3) R中有一個元素0，適合a+0=a，4) 對于R中任意a,有-a, 適合a+（-a）=0，5)a （b c）=（a b） c，6) a （b+c）=(a b)+(a c)， （a+b） c=(a c)+(b c)。 2環(huán)的例所有整數(shù)在整數(shù)的加法與乘法下作成一個環(huán)，叫做整數(shù)環(huán)。域上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下作成一個環(huán)，叫做n階矩陣環(huán)。域上的

2、所有多項(xiàng)式在多項(xiàng)式加法與乘法下作成一個環(huán)，叫做多項(xiàng)式環(huán)。整數(shù)模n的所有剩余類集合在剩余類加法與乘法下作成一個環(huán)。所有有理數(shù)、所有實(shí)數(shù)、所有復(fù)數(shù)在數(shù)的加法與乘法下都分別作成環(huán)，常稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域。 3性質(zhì)1 用數(shù)學(xué)歸納法，分配律可以推廣如下： a（b1+bn）=(ab1) +(abn) ， （a1+am）b= (a1b)+(amb)， 6.6.2 環(huán) 的 性 質(zhì)4環(huán) 的 性 質(zhì)性質(zhì)2 a（c-b）=(ac)-(ab)， （c-b）a=(ca)-(ba)。證明：由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，(c-b)a=(ca)-(ba)。

3、性質(zhì)3 a0=0，0a=0。證明：由性質(zhì)2，令b=c=0，得a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（0-0）a=(0a)-(0a)=0， 即,a0=0，0a=0。 5性質(zhì)4 a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。證明：由性質(zhì)2，令c=0，即得a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab）。因此，（-a）（-b） =-(-a)b)= -（-（ab）=ab。 性質(zhì)5 對任意整數(shù)m，都有a（mb） = （ma）b = m（ab）。 環(huán) 的 性 質(zhì)6性質(zhì)6 am+n=aman，（am）n=amn。 性質(zhì)7 在交換環(huán)中，有第三指數(shù)律： （ab）n=anbn。

4、 性質(zhì)8 在交換環(huán)中二項(xiàng)式定理成立：(a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + + bn。用數(shù)學(xué)歸納法證明. 環(huán) 的 性 質(zhì)7如果環(huán)R不只有一個元素而且有一個元素1適合對任意a R， 1a = a1 = a 則稱R為含壹環(huán)。例. 整數(shù)環(huán)為含壹環(huán)，所有偶數(shù)在數(shù)的加法和乘法下作成的環(huán)不是含壹環(huán)。 含壹環(huán)8性質(zhì)9 含壹環(huán)R的壹是唯一確定的。證明：若1、1為R的兩個壹，則1=11=1。 性質(zhì)10 設(shè)環(huán)R有1，則10。證明：取aR,且a0,則a0=0,而a1=a,故10。 性質(zhì)11 任意環(huán)R均可擴(kuò)充成一個含壹環(huán)R+。證明：令R+=a+m| aR，mZ。規(guī)定：（a+m）+（b+n）=（

5、a+b）+（m+n）;（a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。則R+為環(huán)，其壹為0+1。 含壹環(huán)性質(zhì)9定義. 若R是環(huán),S是R的非空子集,若S在R的加法和乘法下仍是環(huán),則稱S是R的子環(huán)。結(jié)論：R本身以及0是R的兩個平凡子環(huán)。定理6.6.1 環(huán)R的子集S作成子環(huán)必要而且只要， （1）S非空； （2）若aS，bS，則a-bS; （3） 若aS，bS，則abS。 子環(huán)10對于環(huán)來說，若大環(huán)有壹，子環(huán)未必有壹. 如，整數(shù)環(huán)含1，但其子環(huán)偶數(shù)環(huán)不含1。即使子環(huán)有壹，其壹未必與大環(huán)的壹一致. 見教材224頁矩陣環(huán)的例子。 子環(huán)與大環(huán)的關(guān)系11定義. 若R是環(huán)，a，b R，如果a0，b0，但ab=

6、0，則稱a，b為零因子。如果R沒有這樣的元素，則說R無零因子。無零因子的環(huán)稱為消去環(huán)。例. 整數(shù)環(huán)是消去環(huán)，矩陣環(huán)不是消去環(huán)，有零因子。比如，消去環(huán)12性質(zhì)12 環(huán)R是消去環(huán) iff R中消去律成立。證明：必要性。如果a0,且ab = ac,那么ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因環(huán)R中無零因子,而a0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，左消去律成立，同理可證右消去律也成立。充分性。設(shè)消去律成立，即由a0,ab = ac可推出b = c。若ab=0,而a0,則ab = a0,因而由消去律可得 b = 0。故R無零因子,R是消去環(huán)。 消去環(huán)的性質(zhì)13性質(zhì)13 在消去環(huán)R中，不為

7、0的元素在加法下的周期相同。證明：(1) 若不為0的元素在加法下的周期都為0，則得證。(2) 否則，R中存在非零元素a，a的周期不是0，設(shè)為m，即ma = 0。 任取R中非零元b， 消去環(huán)的性質(zhì)14 則， a(mb) = (ma)b = 0b = 0，又由a0，且R無零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，設(shè)為n，則n|m。 另一方面，(na)b=a(nb)=a0= 0，又由b0,且R無零因子知，na=0。而a的周期為m,故m|n。因此，m=n。由b的任意性知，在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期都與a的周期相同。 消去環(huán)的性質(zhì)15性質(zhì)14 在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期或?yàn)?或

8、為質(zhì)數(shù)。證明：設(shè)aR，a0，且a的周期為n，故 na = 0。 (1) 若n=0，則得證。(2) 否則，只需證n是質(zhì)數(shù)。消去環(huán)的性質(zhì)16用反證法。設(shè)n不是質(zhì)數(shù)，則n = n1n2， 且n11， n21。故1n1 n，1n2n。 顯然， n1a， n2a R，由a的周期為n知， n1 a0，n2a0。而 （n1 a）（n2a） = （n1 n2）（a a） = （na）a = 0 a = 0，故n1 a，n2a為零因子，與R無零因子矛盾。因此，原假設(shè)不對，n是質(zhì)數(shù)。 消去環(huán)的性質(zhì)17整區(qū) 有壹無零因子的交換環(huán)。理解整區(qū)定義 是含壹環(huán)（至少兩個元素）、消去環(huán)、交換環(huán)。 想證明(R,+,）是整區(qū)，需

9、要證明：（R,+）是Abel群;（R,）是半群，有壹， 且交換律、消去律成立（無零因子）; 對+有分配律. 整區(qū)18例. 整數(shù)環(huán)、有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)都是 整區(qū)。 例. 實(shí)數(shù)域上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下作成的n階矩陣環(huán)不是整區(qū)：不是交換環(huán)，不是消去環(huán)。 例. 整數(shù)模4的所有剩余類集合Z4在剩余類加法與乘法下作成一個有壹的交換環(huán)，但不是整區(qū)：不是消去環(huán)。19體體 設(shè)R為環(huán)，如果去掉0，R的其余元素作成一個乘法群，則稱環(huán)R為體。理解體的定義： 是含壹環(huán)（至少兩個元素） 、消去環(huán)，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交換環(huán)，因此未必是整區(qū)。想證明(R,+,）是體，需要證明： （R,+）是A

10、bel群;（R*,）是群; 對+有左右分配律。例. 整數(shù)環(huán)不是體。有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)都是體。 可見，整區(qū)未必是體。20結(jié)論：假定R是無零因子的有限環(huán)，且不只有一個元素，則R必是一個體。證明：只需證明環(huán)R中所有非零元做成乘法群。由R中不只有一個元素，知R*非空。任取a,bR*，即a0，b0，由R無零因子，知ab0，即abR*。 由環(huán)R對乘法適合結(jié)合律知,R*對乘法亦適合結(jié)合律。由R無零因子知，R*中消去律成立。由R有限，知R*有限。 所以環(huán)R中所有非零元做成乘法群，因而是體。 21域域 交換體理解域的定義：是含壹環(huán)（至少兩個元素）、消去環(huán)、交換環(huán)想證明(R,+,）是域，需要證明： （R,+

11、）是Abel群；（R*,）是Abel群； 對+有分配律。 在域中每一個非零元素都具有兩個與之相聯(lián)系的周期，一個是在加法群中的加法周期，一個是在乘法群中的乘法周期。22例. 有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域都是域。其中每一非零元素的加法周期是0（無窮），1的乘法周期是1，-1的乘法周期是2，此外，其它非零元的乘法周期為0。在域中，ab-1可以寫成 。結(jié)論1 域中所有非零元素都有相同的加法周期， 且或?yàn)?，或?yàn)橘|(zhì)數(shù)。結(jié)論2 域是整區(qū)。23結(jié)論3 有限整區(qū)是域。證法一：因?yàn)橛邢拚麉^(qū)是無零因子的有限環(huán)，且不只有一個元素，所以有限整區(qū)是體。再由整區(qū)是交換環(huán)，知，有限整區(qū)是交換體，因此是域。證法二：只需證明整區(qū)R

12、中非零元做成乘法群。由R是整區(qū)，知R*非空：1R* 。任取a,bR*，即a0，b0，由R無零因子，知ab0，即abR*。 24由環(huán)R對乘法適合結(jié)合律知,R*對乘法亦適合結(jié)合律。 R*有乘法單位元1。任取aR*，由R無零因子知，R*中消去律成立，再由R*有限，知aR*=R*。由1R*，知1aR*，即有ak R*，使得aak=1，即每個非零元在乘法下有逆。所以有限整區(qū)中非零元做成乘法群，因而是體，再由整區(qū)是交換環(huán)，知，有限整區(qū)是域。25有限域的例設(shè)R=0,1,2,3,4，定義R上的運(yùn)算如下： ab=a+b(mod 5) ab=ab(mod 5)則可以證明（R，）是域。證明作為練習(xí)1，2，3，4的加

13、法周期是？1，2，3，4的乘法周期分別是？26 例. 設(shè)Zp是模p的剩余類環(huán)， 則Zp是域 iff p是質(zhì)數(shù)。證明： 必要性。用反證法。假設(shè)p不是質(zhì)數(shù)，則p=a b，0ap ,0bp，于是ab=ab=p=0但 a 0， b 0，因此， a，b 為Zp的零因子，與Zp是域矛盾。充分性。顯然，Zp是交換環(huán)且有壹：1。故只需證Zp不含零因子，則Zp是有限整區(qū)，因此就是域。 27用反證法。假設(shè)Zp含零因子，即其中存在元素a 0， b 0， 但ab=0， 由a 0， 知 p不整除 a；由b 0，知 p不整除 b；再由p是質(zhì)數(shù)，知p不整除ab。而由ab=ab=0， 知，p|ab，產(chǎn)生矛盾，因此， Zp不含

14、零因子。還可以用域的定義來證。Zp中非零元的加法周期是？28四元數(shù) 取三個符號i，j，k，以實(shí)數(shù)a，b，c，d為系數(shù)而作形式的線性組合 a + bi + cj + dk。四元數(shù)間運(yùn)算的規(guī)定：（1）加法運(yùn)算 (a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k) =(a1 + a2)+(b1 + b2)i+(c1 + c2)j+(d1+d2)k。四元數(shù)體-是體但不是域的例29（2）乘法運(yùn)算：先規(guī)定i，j，k之間的乘法： i2 = j2 = k2 = -1,ij = k,jk = i,ki = j；ji = -k,ik = -j,kj = -i。 四元數(shù)相乘-按

15、組合律展開再化去i，j，k的乘積而且并項(xiàng) （a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k）= a1a2 + a1b2i + a1c2j + a1d2k+ b1a2i - b1b2 + b1c2k - b1d2j + c1a2j - c1b2k - c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j - d1c2i - d1d2= a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 +（a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2）i+（a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2）j+（a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2）k 30在上面加法和乘法之下，所有四元數(shù)作成一個環(huán)： 加法Abel群，乘法半群