排隊(duì)論P(yáng)PT學(xué)習(xí)課件學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1排隊(duì)排隊(duì)(pi du)論論P(yáng)PT學(xué)習(xí)課件學(xué)習(xí)課件第一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案2大綱要求：掌握排隊(duì)論的基本概念、常見(jiàn)(chn jin)的到達(dá)時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布特性，生滅過(guò)程及穩(wěn)態(tài)概率。單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型；多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)排隊(duì)模型；排隊(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的最優(yōu)化重點(diǎn)：掌握M/M/1模型及其應(yīng)用難點(diǎn)：到達(dá)流的穩(wěn)態(tài)概率和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及其優(yōu)化服務(wù)設(shè)計(jì)自學(xué)：M/G/1模型第1頁(yè)/共72頁(yè)第二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案3第2頁(yè)/共72頁(yè)第三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(

2、dinz)教案4到達(dá)的顧客要求的服務(wù)服務(wù)機(jī)構(gòu)機(jī)械壞了 修理 修理工人修理工人 領(lǐng)取配件 管理員病人 就診 醫(yī)生打電話(huà) 通話(huà) 交換臺(tái)文件 打印(d yn) 打印(d yn)機(jī)飛機(jī)降落 降落 跑道指揮機(jī)構(gòu)顧客 就餐 服務(wù)員汽車(chē) 路口 紅綠燈第3頁(yè)/共72頁(yè)第四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案5排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客源顧客到達(dá)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則離去圖1 排 隊(duì)系統(tǒng)示意圖第4頁(yè)/共72頁(yè)第五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案6第5頁(yè)/共72頁(yè)第六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案7第

3、6頁(yè)/共72頁(yè)第七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案8112n. . .12n。單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)（并列)單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)（并列）12n.12312單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)（串列）混合形式第7頁(yè)/共72頁(yè)第八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案9 2)服務(wù)方式分為單個(gè)顧客服務(wù)和成批顧客服務(wù)。服務(wù)方式分為單個(gè)顧客服務(wù)和成批顧客服務(wù)。 3)服務(wù)時(shí)間分為確定服務(wù)時(shí)間分為確定(qudng)型型(定常時(shí)間）和隨機(jī)型。定常時(shí)間）和隨機(jī)型。 4)服務(wù)時(shí)間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的。服務(wù)時(shí)間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的。 我們研究的問(wèn)題是：

4、輸入是服從(fcng)某種分布，顧客的到達(dá)是相互獨(dú)立到達(dá)的平穩(wěn)過(guò)程；各列間不能相互轉(zhuǎn)移、中途不能退出；單個(gè)單個(gè)地服務(wù)方式，服務(wù)服從(fcng)某種分布， FCFS。第8頁(yè)/共72頁(yè)第九頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案10最主要的、影響最大的是：最主要的、影響最大的是：顧客相繼顧客相繼(xingj)到達(dá)的間隔時(shí)間分布到達(dá)的間隔時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)臺(tái)數(shù)服務(wù)臺(tái)數(shù)，1953提出了分類(lèi)法，稱(chēng)為提出了分類(lèi)法，稱(chēng)為Kendall記號(hào)記號(hào)(適用于并列服務(wù)臺(tái)適用于并列服務(wù)臺(tái)),1971又?jǐn)U展成為：又?jǐn)U展成為：X/Y/Z/A/B/C第9頁(yè)/共72頁(yè)

5、第十頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案11第10頁(yè)/共72頁(yè)第十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案12Z填寫(xiě)并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)填寫(xiě)并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)A排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)(xtng)的最大容量的最大容量NB顧客源數(shù)量顧客源數(shù)量m C排隊(duì)規(guī)則（排隊(duì)規(guī)則（FCFS、LCFS等。本章僅研究等。本章僅研究FCFS的排隊(duì)規(guī)則）的排隊(duì)規(guī)則）如如 M/M/1/FCFS即為顧客到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單臺(tái)，無(wú)限容量，無(wú)限源，先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)即為顧客到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單臺(tái)，無(wú)限容量，無(wú)

6、限源，先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)(xtng)模型。模型。第11頁(yè)/共72頁(yè)第十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案13( (靜態(tài)優(yōu)化靜態(tài)優(yōu)化) )，最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化）。，最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化）。第12頁(yè)/共72頁(yè)第十三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案14統(tǒng)計(jì)(tngj)推斷最優(yōu)設(shè)計(jì)性態(tài)問(wèn)題(wnt)排隊(duì)系統(tǒng)研究問(wèn)題階段示意圖排隊(duì)系統(tǒng)研究問(wèn)題階段示意圖第13頁(yè)/共72頁(yè)第十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案15第14頁(yè)/共72頁(yè)第十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)

7、建設(shè)(jinsh)課程電子教案16 2、根據(jù)排隊(duì)(pi du)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求出用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)。 數(shù)量指標(biāo)主要包括:(1) 隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的數(shù)學(xué)期望記為L(zhǎng)s 。 隊(duì)列長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)(pi du)等待服務(wù)的顧客數(shù)，它的數(shù)學(xué)期望記為L(zhǎng)q 。 系統(tǒng)中顧客數(shù)Ls =系統(tǒng)中排隊(duì)(pi du)等待服務(wù)的顧客數(shù)Lq +正被服務(wù)的顧客數(shù)(2) 逗留時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，它的數(shù)學(xué)期望記為Ws。 第15頁(yè)/共72頁(yè)第十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案17 等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，它的數(shù)

8、學(xué)期望記為等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，它的數(shù)學(xué)期望記為Wq 。逗留時(shí)間逗留時(shí)間=等待時(shí)間等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間(3)忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次(zi c)為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度。（忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，忙期關(guān)系到工作強(qiáng)度）為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度。（忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，忙期關(guān)系到工作強(qiáng)度） 為了計(jì)算上述的數(shù)量指標(biāo)，必須首先計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的概率為了計(jì)算上述的數(shù)量指標(biāo)，必須首先計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的概率 系統(tǒng)狀態(tài)：系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。系統(tǒng)狀態(tài)：系

9、統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。第16頁(yè)/共72頁(yè)第十七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案18 狀態(tài)概率：用狀態(tài)概率：用Pn(t)表示表示,即在即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客個(gè)顧客(gk)的概率，也稱(chēng)瞬態(tài)概率。它是表述系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。的概率，也稱(chēng)瞬態(tài)概率。它是表述系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。 狀態(tài)的可能值：狀態(tài)的可能值： 隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)：隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)：n=0 ，1，2， 隊(duì)長(zhǎng)有限制時(shí)：隊(duì)長(zhǎng)有限制時(shí)：n= 0，1，2，3，N 即時(shí)制：服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是即時(shí)制：服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是c時(shí)，時(shí)，n=0 ，1，c 求解狀態(tài)求解狀態(tài)(zhungti)概率概率Pn(t)方

10、法：是建立含方法：是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過(guò)求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此我們常常使用它的極限的微分差分方程，通過(guò)求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此我們常常使用它的極限(如果存在的話(huà)如果存在的話(huà))：第17頁(yè)/共72頁(yè)第十八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案19nttnp)(plim穩(wěn)態(tài)的物理意義見(jiàn)右圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達(dá)到，但實(shí)際中達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在穩(wěn)態(tài)的物理意義見(jiàn)右圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達(dá)到，但實(shí)際中

11、達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在(cnzi)。值得注意的是求穩(wěn)態(tài)概率。值得注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求并不一定求t的極限的極限,而只需求而只需求Pn(t)=0 即可。即可。過(guò)渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3 排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖 稱(chēng)為稱(chēng)為(chn wi)穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)(steady state)解，或稱(chēng)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)解，或稱(chēng)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài) (Statistical Equilibrium State)的解。的解。第18頁(yè)/共72頁(yè)第十九頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案20第19頁(yè)/共72頁(yè)第二十頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案2

12、1第20頁(yè)/共72頁(yè)第二十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案22第21頁(yè)/共72頁(yè)第二十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案23第22頁(yè)/共72頁(yè)第二十三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案24隨機(jī)變量：數(shù)隨機(jī)變量：數(shù) 隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化 離散型：離散型：的所有可能只有限的所有可能只有限(yuxin)或至多可列個(gè)或至多可列個(gè) 連續(xù)型：連續(xù)型：（）取值于某個(gè)區(qū)間（）取值于某個(gè)區(qū)間（a，b）分布函數(shù)分布函數(shù)(連續(xù)連續(xù)): xpxF aFbFbap

13、的概率分布的概率分布(離散): iixpxpi=1,2,311iixp第23頁(yè)/共72頁(yè)第二十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案25數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望:(離散) E()= 1iiipxdxxxf (連續(xù)) E()= 方差方差: 2EED EE22= BApBpABp條件概率條件概率:密度函數(shù)密度函數(shù):(連續(xù)) dttfxFx 0 xf 1dttf,第24頁(yè)/共72頁(yè)第二十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案26式中式中為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)(0)，稱(chēng)，稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布。的泊松分布。若在上

14、式中引入時(shí)間參數(shù)若在上式中引入時(shí)間參數(shù)t，即令，即令t代替代替，則有：，則有：!nenxPnn=0,1,2, （1）tnnenttP!)(t0，n=0,1,2, （2）第25頁(yè)/共72頁(yè)第二十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案27)()(,1221ntNtNPttPn（t2t1，n0）第26頁(yè)/共72頁(yè)第二十七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案28 無(wú)后效性（獨(dú)立性）：各區(qū)間內(nèi)的顧客無(wú)后效性（獨(dú)立性）：各區(qū)間內(nèi)的顧客(gk)到達(dá)數(shù)相互獨(dú)立，即到達(dá)數(shù)相互獨(dú)立，即Markov性。性。. . . . . . . t

15、0 t1 t2 tn-1 tn平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的t，在時(shí)間，在時(shí)間(shjin)區(qū)間區(qū)間t，t+t)內(nèi)有內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為個(gè)顧客到達(dá)的概率為)()(1tttttP， 當(dāng)當(dāng)Pn(t1,t2)符合于下述三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程或者說(shuō)顧客到達(dá)形成普阿松流。符合于下述三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程或者說(shuō)顧客到達(dá)形成普阿松流。 普阿松流的三個(gè)特性：普阿松流的三個(gè)特性：設(shè)表示單位時(shí)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率第27頁(yè)/共72頁(yè)第二十八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案29 普通性：對(duì)充分小的普通性：對(duì)充分小的

16、t,在時(shí)間在時(shí)間(shjin)區(qū)間區(qū)間t,t+t）內(nèi)有）內(nèi)有2個(gè)或個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是t一高階無(wú)窮小一高階無(wú)窮小.)(1),(0tottttP 令令t1=0,t2=t, 則則Pn(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t) 也就是也就是(jish)在在t,t+t內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),而與而與t成正比。成正比。 0 是常數(shù)，稱(chēng)為概率強(qiáng)度是常數(shù)，稱(chēng)為概率強(qiáng)度2)(),(nntotttP即即由此知，在由此知，在(t，t+t)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為:ttttttptttpii)(1),(1),(10區(qū)間長(zhǎng)度

17、為t時(shí)有n個(gè)顧客的概率第28頁(yè)/共72頁(yè)第二十九頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案30 為了求為了求Pn(t)，即，即Pn(0,t)，需要研究它在時(shí)刻，需要研究它在時(shí)刻t到到t+t時(shí)刻的改變量，也就是要建立時(shí)刻的改變量，也就是要建立Pn(t)的微分方程。的微分方程。 對(duì)于區(qū)間對(duì)于區(qū)間0，t+t)可以分成可以分成0，t)和和t，t+t)，其到達(dá)總數(shù)是，其到達(dá)總數(shù)是n，不外有下列三種，不外有下列三種(sn zhn)情況：所以有：情況：所以有：第29頁(yè)/共72頁(yè)第三十頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案310，t)t,t+t

18、0,t+t 區(qū)間情形個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)概率概率A n pn(t) 0 1-t+ pn(t)(1-t+ (t) (t)B n-1 pn-1(t) 1t pn-1(t)t(t) (t)n-2 Pn-2(t) 2C n-3 Pn-3(t) 30 P0(t) n第30頁(yè)/共72頁(yè)第三十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案32令令t0取極限取極限(jxin)（并注意初始條件）得：（并注意初始條件）得：當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，沒(méi)有時(shí)，沒(méi)有(mi yu)B，C兩種情況，則：兩種情況，則：1)0(0P)()(00tPdttdP(4)()()1)()(1tttPttPttPnnn)()()

19、()()(1tttPttPtPttPnnnntttPtPttPttPnnnn)()()()()(1)()()(1tPtPdttdPnnnn0 (3)(0)0nP第31頁(yè)/共72頁(yè)第三十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案33代初始條件代初始條件(t=0)有有：CCt01n C C = 0= 0ttP)(n0（3）式兩端）式兩端(lin dun)乘乘 et 并移項(xiàng)得：并移項(xiàng)得：tetP)(0(5)（沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）dttPtdP)()(00由上式得：由上式得：CttP)(n0兩邊兩邊(lingbin)積分得：積分得：一階臺(tái)勞展開(kāi)為一階臺(tái)勞展開(kāi)為1-t第3

20、2頁(yè)/共72頁(yè)第三十三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案34tntnetPetPdtd)()(1將將n=1,2,3代入（代入（6）得：）得：積分得：積分得：11101)()(dtetPetPtnttn(6)110011)()(dtetPetPttt(注意利用注意利用(5)式式)tdteettt1011tntntnetPetPedttdP)()()(1tntnntetPetPdttdPe)()()(1第33頁(yè)/共72頁(yè)第三十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案35如此繼續(xù)如此繼續(xù)(jx)遞推下去得：遞推下去得：te

21、ttP! 2)()(22（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到達(dá)的概率）個(gè)顧客到達(dá)的概率）tnnenttP!)()( 即隨機(jī)變量即隨機(jī)變量N(t)=n服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望(qwng)和方差為：和方差為：tettP)(1（1個(gè)顧客到達(dá)的概率個(gè)顧客到達(dá)的概率）11011102111)()(dteetdtetPetPtttttt2221t第34頁(yè)/共72頁(yè)第三十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案361)0(,)(nxfexf則有由高等數(shù)學(xué)知，若設(shè)由高等數(shù)學(xué)知，若設(shè).!.! 212nxxxenx即：即：tkkekt!

22、)(0!)()()(11ntnetnPtNEnntnn)!1()(11nttennt令令k=n-1，則：，則：!)()(0kttetNEkkttetetNEtt)(第35頁(yè)/共72頁(yè)第三十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案372121)()!1()()!2()(tntntttennnttttttettett22)() 1()() 1(ttNVar)(即：即：21221)(!)()()(tntnnettPnnntnn22)()()(tNEtNEtNVar同理方差為：同理方差為：211121)()!1()()!1()() 1()()!1()(tntntnte

23、tntnennntnnt第36頁(yè)/共72頁(yè)第三十七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案38其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：tTTedtdFtf)(t0tTetPtF1)(1)(0t0tetP)(0 沒(méi)有顧客到達(dá)的概率沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：為： (由（由（5）式而來(lái)）式而來(lái))第37頁(yè)/共72頁(yè)第三十八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案39 由前知，由前知，表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里1/表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間，兩者是吻合表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間，兩者是吻合(wnh)

24、的。的。 可以證明，間隔時(shí)間可以證明，間隔時(shí)間T獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。 下面我們?cè)僬勔幌路?wù)時(shí)間下面我們?cè)僬勔幌路?wù)時(shí)間(shjin)的分布：的分布： 對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間(shjin)，實(shí)際是系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間，實(shí)際是系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間(shjin)間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，即：間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，即：即即T服從負(fù)指數(shù)分布，由概率論知它的期望及方差為：服從負(fù)指數(shù)分布，由概率論知它的期望及方差為：1TE21TVar dxxxfTE)(第38頁(yè)/共72頁(yè)

25、第三十九頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案40其中：其中：表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均(pngjn)服務(wù)率。服務(wù)率。 1/表示一個(gè)顧客的平均表示一個(gè)顧客的平均(pngjn)服務(wù)時(shí)間。服務(wù)時(shí)間。 3.愛(ài)爾朗愛(ài)爾朗(Erlang)分布分布 設(shè)設(shè)v1, v2，, vk是是k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量(su j bin lin)，服從相同參數(shù)，服從相同參數(shù)k的負(fù)指數(shù)分布，那么：的負(fù)指數(shù)分布，那么：tetF1)(tetf)(，則，則令令 ，則，則稱(chēng)為稱(chēng)為服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度。第39頁(yè)/共72頁(yè)第四十頁(yè)，共7

26、2頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案41 串列的串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)(cnsh)k），那么一顧客走完），那么一顧客走完k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從上述的個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從上述的k階階Erlang分布。分布。0)!1()()(1tekktktftkkk則稱(chēng)則稱(chēng)T服從服從(fcng)k階愛(ài)爾朗分布，其特征值為階愛(ài)爾朗分布，其特征值為:1TE21kTVar,kT 21的概率密度是的概率密度是(可以證明可以證明)當(dāng)當(dāng)k=1k=1時(shí)，時(shí)， Erla

27、ng分布即為負(fù)指數(shù)分布；分布即為負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)當(dāng)k增加時(shí)，增加時(shí)， Erlang分布逐漸變?yōu)閷?duì)稱(chēng)的；分布逐漸變?yōu)閷?duì)稱(chēng)的；當(dāng)當(dāng)k 30時(shí)，時(shí)， Erlang分布近似于正態(tài)分布；分布近似于正態(tài)分布；每一個(gè)服從每一個(gè)服從k ，因此，因此E(Ti)=1/ k ，且，且Ti之間相互獨(dú)立之間相互獨(dú)立bk(t)tk=1k=21/ Erlang分布曲線(xiàn)分布曲線(xiàn)k=3第40頁(yè)/共72頁(yè)第四十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案42 例例:有易碎物品有易碎物品500件件,由甲地運(yùn)往乙地由甲地運(yùn)往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,在運(yùn)輸過(guò)程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎在運(yùn)

28、輸過(guò)程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎,其概率為其概率為0.002,現(xiàn)求現(xiàn)求:1.破碎破碎3件物品的概率件物品的概率;2.破碎少于破碎少于3件的概率和多于件的概率和多于3件的概率件的概率;3.至少至少(zhsho)有一件破損的概率有一件破損的概率. 解解:1.求破碎求破碎3件物品的概率件物品的概率: =0.002500=1 則則 P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613 即物品破碎即物品破碎3件的概率為件的概率為6.13 2.破碎物品少于破碎物品少于3件的概率件的概率:第41頁(yè)/共72頁(yè)第四十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案

29、43 破碎物品少于破碎物品少于3件的概率件的概率(gil)為為91.97破碎物品多于破碎物品多于3件的概率件的概率(gil)為為:02. 098. 01!1430kkekp3.至少至少(zhsho)有一件破碎的概率為有一件破碎的概率為 Pk1=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.6329197. 02111!2120eekkknp第42頁(yè)/共72頁(yè)第四十三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案44研究對(duì)象為單隊(duì)、單服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)為研究對(duì)象為單隊(duì)、單服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)為1），包括：），包括：（1）標(biāo)準(zhǔn)）標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)M/M/1模型（模型（

30、M/M/1/）；）；（2）系統(tǒng)容量有限制（）系統(tǒng)容量有限制（M/M/1/N/）（3）有限顧客源（）有限顧客源（M/M/1/m）第43頁(yè)/共72頁(yè)第四十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案45 以后各節(jié)將介紹幾個(gè)常見(jiàn)以后各節(jié)將介紹幾個(gè)常見(jiàn)(chn jin)的排隊(duì)模型。對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)：的排隊(duì)模型。對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)： (1)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)Ls(期望值期望值)和平均隊(duì)列長(zhǎng)和平均隊(duì)列長(zhǎng)Lq期望值；期望值； (2)系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間Ws

31、與隊(duì)列中平均等待時(shí)間與隊(duì)列中平均等待時(shí)間Wq； 本節(jié)只研究本節(jié)只研究M/M/1模型，下面分三種情況討論：模型，下面分三種情況討論：第44頁(yè)/共72頁(yè)第四十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案461、輸入過(guò)程：顧客源無(wú)限，顧客單個(gè)到達(dá)，相互獨(dú)立，服從普阿松分布，平穩(wěn)；2、排隊(duì)規(guī)則：?jiǎn)侮?duì)，隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制，F(xiàn)CFS。3、服務(wù)機(jī)構(gòu)：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)，各顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從負(fù)指數(shù)分布。此外：假設(shè)到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型即為模型即為M/M/1/FCFS模型模型第45頁(yè)/共72頁(yè)第四十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建

32、設(shè)課程電子(dinz)教案47區(qū)間(t,t+t)情況時(shí)刻t 的顧客 到達(dá) 離去時(shí)刻t+t的顧客(t, t+t)的概率0, t+t的概率(略去(t)Ann1-t+(t)1-t+(t)Pn(t)(1-t)(1-t)Bn+1n1-t+(t)t+(t)Pn+1(t) (1-t)(t)Cn-1nt+(t)1-t+(t)Pn-1(t) (t)(1-t)Dnnt+(t)t+(t)Pn(t) (t)(t)第46頁(yè)/共72頁(yè)第四十七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案48 由于這四種情況是互不相容由于這四種情況是互不相容(xin rn)的，所以的，所以Pn(t+t)應(yīng)是

33、這四項(xiàng)之和，將所有的高階無(wú)窮小合并，則有：應(yīng)是這四項(xiàng)之和，將所有的高階無(wú)窮小合并，則有：tttPtttPtttPttPnnnn)1)()()1)(1)()(1)()1 ()(1ttttPn)()()()()()(1)(11ttPttPtPtttttPnnnn)()()()(11tttPttPnn第47頁(yè)/共72頁(yè)第四十八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案49)()()()1)(11tttPttPtttPnnntttPtPtPttPttPnnnnn)()()()()()()(11令令t0，得關(guān)于，得關(guān)于Pn(t)的微分差分的微分差分(ch fn)方程：方程

34、：)()()()()(11tPtPtPdttdPnnnn(1) 當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，只有表中的（時(shí)，只有表中的（A）、（）、（B）兩種情況，因?yàn)樵谳^小的）兩種情況，因?yàn)樵谳^小的t內(nèi)不可能內(nèi)不可能(knng)發(fā)生（發(fā)生（D）（到達(dá)后即離去），若發(fā)生可將）（到達(dá)后即離去），若發(fā)生可將t取小即可。取小即可。第48頁(yè)/共72頁(yè)第四十九頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案50)()1)()1)()(100tttPttPttP)()()(100tPtPdttdP(2) 這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化的過(guò)程(guchng)就是生滅過(guò)程(guchng)（Birth and D

35、eath Process），它可以描述細(xì)菌的生滅過(guò)程(guchng)。 對(duì)于方程(1)、(2)求解很麻煩，即便求得解也是瞬態(tài)解，無(wú)法應(yīng)用。為此,我們只要求得穩(wěn)態(tài)解即可。 穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pn(t)與時(shí)間無(wú)關(guān)，可以寫(xiě)成Pn， 它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0，所以由(1)、(2)兩式得：在時(shí)刻t系統(tǒng)處于無(wú)顧客狀態(tài)(zhungti)，而在t+t時(shí)刻內(nèi)又沒(méi)有顧客來(lái)到系統(tǒng)（必然沒(méi)有離去事件）在時(shí)刻t系統(tǒng)有一個(gè)顧客接受服務(wù)，在t+t時(shí)刻內(nèi)服務(wù)完畢離去，且在t+t時(shí)刻內(nèi)又沒(méi)有顧客來(lái)到系統(tǒng)第49頁(yè)/共72頁(yè)第五十頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案510)(11nnnPPP010PP(3

36、)(4) 上式即為關(guān)于上式即為關(guān)于(guny)Pn的差分方程。由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：的差分方程。由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：012n-1nn+1. .狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖由（由（4）得：）得：001PPP其中其中服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度 將其代入（將其代入（3）式并令）式并令n=1,2,(也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡(pnghng)方程方程)得：得：第50頁(yè)/共72頁(yè)第五十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案520)(120PPPn=10)(020PPP020202)()(1PPPPn=20)(231PPP0)(0230P

37、PP030302223)()(1PPPP第51頁(yè)/共72頁(yè)第五十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案53以此類(lèi)推以此類(lèi)推(y c li tu)，當(dāng)，當(dāng)n=n時(shí)，時(shí)，00)(PPPnnn(5)1(否則排隊(duì)無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)法服務(wù)完否則排隊(duì)無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)法服務(wù)完)10nnP以及概率性質(zhì)知：以及概率性質(zhì)知：111000PPnn(數(shù)列的極限為 )1110PnnP)1 (6)當(dāng)=1時(shí)，似乎好象來(lái)一個(gè)顧客服務(wù)一個(gè)顧客，但這是在均衡條件下和所有的顧客的服務(wù)時(shí)間都相等(xingdng)時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)不存在排隊(duì)現(xiàn)象的這種理想的現(xiàn)象。在隨機(jī)的情況下，這是不可能的。第52頁(yè)/共72頁(yè)第五十三

38、頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案54 上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以 算出系統(tǒng)的運(yùn)行算出系統(tǒng)的運(yùn)行(ynxng)指標(biāo)。指標(biāo)。 2. 系統(tǒng)的運(yùn)行系統(tǒng)的運(yùn)行(ynxng)指標(biāo)計(jì)算指標(biāo)計(jì)算 (1) 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值Ls）nnnnsnPnL001.)1(.)1 ( 3)1 ( 2)1 (32nn.3322143322nnnn1.32n(01)1第53頁(yè)/共72頁(yè)第五十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案55Ls即:(7)nnnnqnPn

39、L111) 1() 1(nnnnn111)1 (12sL(8) (3) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間(shjin)Ws 顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間(shjin)是隨機(jī)變量，可以證明，它服從參數(shù)為是隨機(jī)變量，可以證明，它服從參數(shù)為-的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)(2) 隊(duì)列中等待的平均隊(duì)列中等待的平均(pngjn)顧客數(shù)顧客數(shù)Lq（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）第54頁(yè)/共72頁(yè)第五十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案56和密度和密度(md)函數(shù)為：函數(shù)為：wewF)(1)(wewf)()()(

40、（w0） 1wEWs)(WsLs (4)顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間的期望值顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間的期望值Wq 顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間應(yīng)為顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間應(yīng)為Ws減去平均服務(wù)減去平均服務(wù)(fw)時(shí)間。時(shí)間。111WsWq)(WqLq第55頁(yè)/共72頁(yè)第五十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案57四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系(gun x)為為(Little 公式公式)： 3. 系統(tǒng)(xtng)的忙期與閑期系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：10P系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：01) 0(PNPLsLq1swqwWsLsWqLq

41、1qswwqsLL下標(biāo)s表示系統(tǒng)下標(biāo)q表示隊(duì)列第56頁(yè)/共72頁(yè)第五十七頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案58排隊(duì)系統(tǒng) 服務(wù)臺(tái)顧客 N 4 3 2 1被拒絕第57頁(yè)/共72頁(yè)第五十八頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程(kchng)電子教案59)()()(100tPtPdttdP(2)對(duì)于對(duì)于(duy)(1)式，當(dāng)式，當(dāng)n=1,2,N-1時(shí)，也仍能成立。時(shí)，也仍能成立。)()()()()(1tPtPtPdttdPnnnn(1)(n=1,2,N-1)但當(dāng)?shù)?dāng)n=N時(shí)，有下面兩種情況：時(shí)，有下面兩種情況：第58頁(yè)/共72頁(yè)第五十九頁(yè)，共72頁(yè)

42、。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案60情 況時(shí) 刻t的 顧 客區(qū) 間 t, t+ t時(shí) 刻t+ t的 顧 客 數(shù)概 率AN無(wú) 離 去 （ 肯 定 不 到 達(dá) ）NPN(t) (1- t)BN-1一 人 到 達(dá) （ 無(wú) 離 去 ）NPN-1(t) tttPttPttPNNN)()1 ()()(1)()()(1tPtPdttdPNNN(8)其狀態(tài)其狀態(tài)(zhungti)轉(zhuǎn)移圖為轉(zhuǎn)移圖為:012n-1nn+1. .狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖. .N-1N第59頁(yè)/共72頁(yè)第六十頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案61在穩(wěn)態(tài)情況在穩(wěn)態(tài)情況(qngk

43、ung)下有：下有：010PP0)(11nnnPPP01NNPP(9)解（解（9）式得：）式得：01PP022PP0PPNNNnnNnnNnnPPP000001 而等比數(shù)列而等比數(shù)列(dn b sh li)10111NnNn第60頁(yè)/共72頁(yè)第六十一頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)(jinsh)課程電子教案621011NPnNnP111(1,nN)(10) 注：當(dāng)注：當(dāng)=1時(shí)，試討論其概率時(shí)，試討論其概率Pn下面下面(xi mian)計(jì)算其運(yùn)行指標(biāo)：計(jì)算其運(yùn)行指標(biāo)：(1) 平均平均(pngjn)隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)Ls：nPnLnNnNNnns01011nNnNn0111111) 1(1N

44、NN(1)試證=1時(shí),Ls=N/2第61頁(yè)/共72頁(yè)第六十二頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案63（2）隊(duì)列）隊(duì)列(duli)長(zhǎng)（期望值）長(zhǎng)（期望值）NnsnqPLPnL10)1 () 1( 有效到達(dá)率有效到達(dá)率e的引入：的引入： Little公式可應(yīng)用的條件是：其平均到達(dá)率公式可應(yīng)用的條件是：其平均到達(dá)率是在系統(tǒng)是在系統(tǒng)有空時(shí)有空時(shí)的平均到達(dá)率。當(dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)員時(shí)，就不能再應(yīng)用了。要用就應(yīng)該應(yīng)用有效到達(dá)率。的平均到達(dá)率。當(dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)員時(shí)，就不能再應(yīng)用了。要用就應(yīng)該應(yīng)用有效到達(dá)率。 因?yàn)橄到y(tǒng)容量有限，當(dāng)滿(mǎn)員時(shí)，顧客將被拒絕，因此實(shí)際的顧客到達(dá)率為因?yàn)橄到y(tǒng)容量有限，當(dāng)

45、滿(mǎn)員時(shí)，顧客將被拒絕，因此實(shí)際的顧客到達(dá)率為0，與，與不一樣，為了求其他指標(biāo)，需要求得有效到達(dá)率為不一樣，為了求其他指標(biāo)，需要求得有效到達(dá)率為e：)1 (NeP)1 (0Pe可以驗(yàn)證：可以驗(yàn)證：第62頁(yè)/共72頁(yè)第六十三頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案64esesqLLLesSLWeqqLW此種情況此種情況(qngkung)的公式與的公式與前類(lèi)似，前類(lèi)似，只有只有Ls不不同，同，e與與 不同。求不同。求e必須先求必須先求得得P0或或Pn才行。才行。1)1 ()1 (0NqssPLPLw（3）顧客逗留）顧客逗留(duli)時(shí)間（期望值）時(shí)間（期望值）（4）

46、顧客等待時(shí)間（期望值）顧客等待時(shí)間（期望值）1sqwwLittle公式第63頁(yè)/共72頁(yè)第六十四頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(dinz)教案65例例2某單人理發(fā)館共有某單人理發(fā)館共有(n yu)六把椅子接待顧客排隊(duì)，六把椅子接待顧客排隊(duì)，無(wú)座時(shí)將離去，顧客平均到達(dá)率為無(wú)座時(shí)將離去，顧客平均到達(dá)率為3人人/h，理發(fā)時(shí)間平均為，理發(fā)時(shí)間平均為15分鐘，求：分鐘，求：(1) 求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率;(2) 求需要等待的顧客數(shù)的期望值求需要等待的顧客數(shù)的期望值;(3) 求有效到達(dá)率求有效到達(dá)率;(4) 求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平

47、均值求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平均值;(5) 在可能到來(lái)的顧客中，有百分之幾不等待就離開(kāi)？在可能到來(lái)的顧客中，有百分之幾不等待就離開(kāi)？解：解：N=6+1=7，=3，=42778. 075. 0175. 0111810NP(1)11. 275. 0175. 0825. 075. 01) 1(18811NNsNL39. 1)2778. 01 (11. 2)1 (0PLLsq(2)第64頁(yè)/共72頁(yè)第六十五頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)(zhngdin)建設(shè)課程電子教案66(3)89. 2)2778. 01 (4)1 (0Pemin8 .4373. 089. 211. 2hLWessmin86.2848. 089. 239. 1hLWeqq(4)(5)%71. 375. 075. 0175. 01117817NNPP0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720 = 0.9629=96.29%P4=0.08790 故拒絕的概率為3.71%P5=0.06593P6=0.04944第65頁(yè)/共72頁(yè)第六十六頁(yè)，共72頁(yè)。2022-7-6運(yùn)籌學(xué)校級(jí)重點(diǎn)建設(shè)課程電子(di