自動(dòng)控制理論課件：第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2

1、 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。它不僅反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量（狀態(tài)）的信息，而且還可以方便地處理其初始條件。適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、多輸入、多輸出系統(tǒng)以及隨機(jī)過(guò)程等。 線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本的內(nèi)容，其他分支均以線性理論為基礎(chǔ)。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解9.3 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性1. 基本概念2. 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立3. 狀態(tài)空間的線性變換4. 傳遞函數(shù)矩陣9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1. 基本概念一個(gè)例

2、子狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)空間狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)空間表達(dá)式 用一個(gè) 電路，說(shuō)明什么是狀態(tài)變量，如何用狀態(tài)變量描述一個(gè)系統(tǒng)。 由電路原理可知，回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規(guī)律:( 和 表征了電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài))一個(gè)例子 定義：足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。 n 階微分方程有n個(gè)狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的數(shù)目選多了，狀態(tài)變量之間就會(huì)線性相關(guān)；選少了，就不能完全描述系統(tǒng)。狀態(tài)變量的選取不是惟一的。 對(duì)于一般的物理系統(tǒng)，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)等于儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。狀態(tài)變量定義：把描述系統(tǒng)的 n 個(gè)狀態(tài)變量 看作向量 的分量，則 稱為 n 維狀態(tài)向量，記作狀態(tài)向量定義：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)

3、軸所張成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中是一個(gè)點(diǎn)，隨時(shí)間推移，狀態(tài)在變化，在狀態(tài)空間中繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)空間定義：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。RLC電路的方程：將狀態(tài)變量用一般符號(hào) 表示，即令 ，并寫(xiě)成向量矩陣的形式，則狀態(tài)方程變?yōu)闋顟B(tài)方程或式中 對(duì)圖9-1所示系統(tǒng)，在以 作輸入時(shí)，從式 中消去中間變量 ，得二階微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為狀態(tài)方程 若改選 和 為狀態(tài)變量，即令 ，則得一階微分方程組為寫(xiě)成矩陣形式 在同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。狀態(tài)方程定義：輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為

4、系統(tǒng)的輸出方程。在圖9-1中， 為輸出，用 表示，則有用矩陣表示為其中輸出方程定義：狀態(tài)方程與輸出方程組合起來(lái)，稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的完整描述。 一般情況下，設(shè)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)方程為狀態(tài)空間表達(dá)式 輸出方程除了是狀態(tài)變量的函數(shù)外，有時(shí)還有輸入變量的直接傳遞，其一般形式為用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中狀態(tài)空間表達(dá)式 對(duì)于一個(gè) 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統(tǒng)其狀態(tài)空間表達(dá)式為式中狀態(tài)空間表達(dá)式 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，可以用圖9-2的方框圖表示圖9-2 狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)空間模型一方面可根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理

5、直接建立另一方面也可由經(jīng)典控制理論已建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，即結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)和微分方程來(lái)導(dǎo)出。2. 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1) 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式3) 由微分方程(或傳遞函數(shù))求狀態(tài)空間表達(dá)式4) 多輸入、多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2. 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立例9-1 建立如圖所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫(huà)出系統(tǒng)的狀態(tài)圖。根據(jù)牛頓第二定理有或表示成選擇位移 和速度 為狀態(tài)變量，令 則1) 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為 為了更直觀地反映各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，狀態(tài)空間表達(dá)式常用狀態(tài)圖表示。繪制方

6、法如下：（1）有多少了狀態(tài)變量，畫(huà)多少個(gè)積分器；（2）根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫(huà)出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭連接起來(lái)。1) 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 該機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)如圖所示。1) 從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式例9-2 在下圖所示系統(tǒng)中，若選取 作為狀態(tài)變量，試列寫(xiě)其狀態(tài)空間表達(dá)式，并寫(xiě)成矩陣形式。2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式由結(jié)構(gòu)圖得整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為寫(xiě)成向量矩陣形式 2) 從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)） 微分方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）3) 由微分方程(或傳遞函數(shù)

7、)求狀態(tài)空間表達(dá)式若系統(tǒng)微分方程為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)） 如果選取 為一組狀態(tài)向量，即 ，則有記成向量-矩陣形式為 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)）其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)） 一般情況下，由 階微分方程描述的系統(tǒng)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為若選 為狀態(tài)變量，那么 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)）系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如上述這樣選擇的一組狀態(tài)變量稱為相變量，得出的表達(dá)式 稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)矩陣 稱為友矩陣 微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)）三階

8、系統(tǒng)微分方程:對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 只有當(dāng)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才存在。 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）化G(s)為嚴(yán)格有理分式：式中據(jù)此可導(dǎo)出能控和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）. 串聯(lián)分解：將 分解為兩部分相串聯(lián) 為中間變量， ， 則應(yīng)滿足 選狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)方程為 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）輸出方程為考慮系統(tǒng)整體，則：可表示為 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）據(jù)此可得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳

9、遞函數(shù)中有零點(diǎn)）.并聯(lián)分解： 只含單實(shí)極點(diǎn)（或微分方程含有互不相等的特征根） 含有重極點(diǎn)（或微分方程含有重特征根） 輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) （或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)）設(shè) 可分解為則傳遞函數(shù)可展開(kāi)成部分分式之和，即 式中 為極點(diǎn) 的留數(shù)，且有 只含單實(shí)極點(diǎn) 只含單實(shí)極點(diǎn)若令狀態(tài)變量 則展開(kāi)得 只含單實(shí)極點(diǎn)若令狀態(tài)變量 則 其向量-矩陣形式為 只含單實(shí)極點(diǎn)當(dāng)傳遞函數(shù)不僅含有單實(shí)極點(diǎn)，還含有重實(shí)極點(diǎn)，其A 矩陣可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè) 可分解為式中 為三重極點(diǎn)， 為單實(shí)極點(diǎn)，則： 含有重極點(diǎn) 含有重極點(diǎn)若狀態(tài)變量 含有重極點(diǎn)取拉氏反變換:表示為 含有重極點(diǎn) 對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，當(dāng)已知微分方程或傳

10、遞函數(shù)時(shí)要求其狀態(tài)空間表達(dá)式，可先畫(huà)出每個(gè)方程的狀態(tài)圖，然后把互相牽連的信號(hào)線加上，選每個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量，根據(jù)狀態(tài)圖，就可直接寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式。4)多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 以雙輸入、雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)微分方程為把最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)留在左邊，其余移項(xiàng)到右邊后得4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立對(duì)每一個(gè)方程積分故得狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-11所示4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立取每個(gè)積分器輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，則式 的一種實(shí)現(xiàn)為或表示為4) 多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1) 等價(jià)系統(tǒng)方程2) 線性變換的基本特性及系統(tǒng)的不變量3) 化系統(tǒng)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)型3.

11、 狀態(tài)向量的線性變換設(shè)給定系統(tǒng)為令 ，則 ， 為非奇異線性變換矩陣；它將變換為 ，變換后的狀態(tài)方程為兩方程表示同一系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，稱為等價(jià)系統(tǒng)方程1) 等價(jià)系統(tǒng)方程線性變換不改變系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程 的根 系統(tǒng)的不變量：把系統(tǒng)的特征方程寫(xiě)成多項(xiàng)式形式由于特征值不變，那么特征多項(xiàng)式的系數(shù) 也不變，稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。2) 線性變換的基本特性及系統(tǒng)的不變量 A的標(biāo)準(zhǔn)型是指A陣為對(duì)角型、約當(dāng)型和模態(tài)型。一般形式的A陣可以由線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，其關(guān)鍵在于確定變換矩陣。將A陣化為對(duì)角型、約當(dāng)型和模態(tài)型的變換矩陣用A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量來(lái)構(gòu)成。

12、設(shè) 是 型矩陣A的特征值，若存在一個(gè)n維非零向量 ，使 或 成立，則稱為A的對(duì)應(yīng)特征值 特征向量3) 化系統(tǒng)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)型 A為任意形式 A為友矩陣3) 化系統(tǒng)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)型.化A為對(duì)角陣.化A為約當(dāng)陣.化A為模式矩陣 A為任意形式當(dāng) 陣為任意形式的方陣且有 個(gè)互異實(shí)數(shù)特征根 ，每一個(gè)特征根對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，根據(jù)特征向量的定義，有令那么.化A為對(duì)角陣兩邊左乘 ，得由此可知，變換矩陣 由 陣的實(shí)數(shù)特征向量 組成， 表示對(duì)角矩陣。若 陣具有 重特征根，其余為 個(gè)互異實(shí)特征根，但 重特征根只有一個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量 ，這時(shí)只能把 化為約當(dāng)陣 。 .化A為約當(dāng)陣變換矩陣 ，式中 互異特征根對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向

13、量。 是廣義特征向量，滿足即當(dāng)矩陣 有復(fù)數(shù)特征根時(shí)，可以用上述方法把 化成標(biāo)準(zhǔn)型。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè) 只有一對(duì)復(fù)數(shù)特征根， 在此情況下， 的模態(tài)形為設(shè) 為對(duì)應(yīng) 的特征向量，根據(jù)特征向量的定義有 ，令 .化A為模式矩陣則由此可見(jiàn)，變換矩陣 是以 的特征向量 的實(shí)部和虛部為列所構(gòu)成的矩陣。.A的特征根無(wú)重根時(shí).A的特征根有重根，重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量.A的特征根有五重根，有兩個(gè)獨(dú)立的特征向量.A有共軛復(fù)根 A陣為友矩陣已知 A陣為友矩陣其變換矩陣是一個(gè)范德蒙德（Vandermonde）矩陣，為.A的特征根無(wú)重根時(shí).A的特征根有重根，重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量 設(shè) 陣具有五重特征值 ，但有二個(gè)獨(dú)立實(shí)特

14、征向量 和 ，其余為 個(gè)互異實(shí)特征根，這時(shí)， 陣一定存在兩個(gè)約當(dāng)塊。. A的特征根有五重根，有兩個(gè)獨(dú)立的特征向量 有共軛復(fù)根時(shí)，以四階系統(tǒng)中有一對(duì)共軛復(fù)根為例即 ，而此時(shí).A有共軛復(fù)根1)傳遞函數(shù)陣2)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 4. 傳遞函數(shù)矩陣 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中， 為 維狀態(tài)向量， 為 維輸入向量， 為 維輸出向量， 為滿足矩陣運(yùn)算的矩陣。1) 傳遞函數(shù)陣對(duì)式 進(jìn)行拉氏變換，并設(shè)初始條件為零，則有式中 為狀態(tài)向量對(duì)輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣，是一個(gè) 型矩陣1) 傳遞函數(shù)陣 為輸出向量對(duì)輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱傳遞函數(shù)矩陣，是一個(gè) 型矩陣式中各元素 都是標(biāo)量函數(shù)，表征第 個(gè)輸入對(duì)第 個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng) 時(shí)，意味著不同標(biāo)號(hào)輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。 同一系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式不惟一，但傳遞函數(shù)矩陣是不變的1) 傳遞函數(shù)陣復(fù)雜的控制系統(tǒng)，可能由多個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接而成。討論兩個(gè)子系統(tǒng) 和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為2) 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣并聯(lián)連接串連連接反饋連接2) 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣并聯(lián)連接：如圖9-12(a)所示，兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)連接時(shí)，并聯(lián)連接系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)的