工程隨機(jī)數(shù)學(xué)：第3章 工程隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題_答案

1、第3章 多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題 31設(shè)二維隨機(jī)變量只能取下列數(shù)組中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。且取這些組值的概率依次為1/6，1/3，1/12，5/12，求表示這二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律的矩形表格。解： 0-1201/605/12101/301/301/1202一口袋中裝有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2。從這袋中任取一球，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺颉ＴO(shè)每次取球時(shí)，袋中各個(gè)球被取到的可能性相同。以分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布律。解：12101/321/31/33一整數(shù)n等可能地在1，2，3，10十個(gè)值中取一個(gè)值，設(shè)是能整除n的

2、正整數(shù)的個(gè)數(shù)，是能整除n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)(注意：1不是素?cái)?shù))，試寫出和聯(lián)合分布律。解：依題意有：n12345678910 x(n)1223242434h(n)0111121112 因此x=1，2，3，4；h=0，1，2。由此易求得x和h聯(lián)合分布律為： h (n) x (n)123401/10000104/102/101/1020002/104設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 (1)確定常數(shù)k； (2)求；(3)求； (4)求。(1) 由概率密度的性質(zhì)知： ,即 8k=1 k=1/8;(2) (3) ;(4)。5設(shè)二維隨機(jī)變量(x，h)的聯(lián)合分布函數(shù)為： 試求(1)聯(lián)合概率密度；(2)。解：（1） （2）

3、6已知在有一級(jí)品2件，二級(jí)品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用表示所含的一級(jí)品件數(shù)，表示二級(jí)品件數(shù)。試求：(1) 的聯(lián)合分布律；(2) 關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律；(3) 。解：(1)按古典概型計(jì)算，從8件中取3件，共有種取法。在取出的三件中，一級(jí)品有i件，二級(jí)品有j件，剩下3-i-j件為次品，且其不超過1件。有所以得聯(lián)合分布律如下：0120001/56105/285/5625/285/14035/2800(2)關(guān)于的邊緣分布律：012P5/1415/283/28關(guān)于的邊緣分布律0123P1/5615/5615/565/28(3)Px1.5，h2.5= Px=0，h=0+ Px=1，h=0

4、+ Px=0，h=1+ Px=1，h=1+ Px=0，h=2+Px=1，h=2=40/56Px2=1，Ph0=0。7已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 試確定待定系數(shù)c，并求關(guān)于的邊緣概率密度。解：根據(jù)解得c=關(guān)于的邊緣概率密度，有 同理8設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域G上服從均勻分布，其中試求的聯(lián)合概率密度及和的邊緣概率密度。解： 為區(qū)域G的面積故9已知服從參數(shù)的(0-1)分布，且在及下，關(guān)于的條件分布分別如下表表示： 1 2 3 1 2 3 1/4 1/2 1/4 1/2 1/6 1/3求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，以及在時(shí)關(guān)于的條件分布。解：因服從參數(shù)的(0-1)分布，有B（1，0.6）知易知，x取

5、1，2，3有則二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合概率為： 0111/103/1021/51/1031/101/5在1時(shí)， 0121/31/631/61/310在第2題中的兩個(gè)隨機(jī)變量與是否獨(dú)立？當(dāng)時(shí)，的條件分布是什么？解：重寫聯(lián)合分布律如下： 12101/31/321/31/32/31/32/31因，和并不獨(dú)立=1時(shí)，條件分布如下：12P0111設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為試求 (1)條件概率密度； (2)。解：（1）由為在條件下，的條件概率密度，則先求出為：當(dāng)時(shí)當(dāng)y0時(shí) 可知因有 從而得：12設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求條件概率密度。 解： 當(dāng)0 x1時(shí) 當(dāng)-1y0時(shí) 19設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

6、其概率密度分別為： 試求 的概率密度。解：利用公式 按函數(shù)的定義知，僅當(dāng) 即 時(shí)，上述積分的被積函數(shù)才不等于0，如圖3-2知 即有 若利用公式 知僅當(dāng) 時(shí)，上述積分的被積函數(shù)才不等于0，如圖知 即有 20設(shè)的聯(lián)合概率密度為試求的概率密度。解： 當(dāng)時(shí)，顯然,對(duì)z求導(dǎo)，得的概率密度： 21設(shè)某種型號(hào)的電子管壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從分布。隨機(jī)地抽取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率 。 解：以記所選取的第只元件的壽命，有題設(shè)一只元件壽命小于180小時(shí)的概率為 =可認(rèn)為相互獨(dú)立，故選取的四個(gè)元件沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率為 22對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次，得到的觀察值。設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù)的瑞利(Rayleigh)分布，即概率密度為： 的分布。(1)求的分布函數(shù)；(2)求的分布函數(shù)；(3)計(jì)算。解：（1）(2)=(3) 23設(shè)二維隨機(jī)變量在G上服從均勻分布，其中 試求的聯(lián)合分布函數(shù)。解：因在G上服從均勻分布，其概率密度可知為：其中為G的面積=故故 (1)當(dāng)x1,