2021-2022學(xué)年河南省九師聯(lián)盟高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2021-2022學(xué)年河南省九師聯(lián)盟高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1設(shè)集合，集合，則（）ABCD【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，然后利用交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以故選：C2若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）AB3CD2【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)相等，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再求.【詳解】由題設(shè)，則.故選：A3如圖所示，程序框圖的輸出值（）A15B22C24D28【答案】A【分

2、析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】根據(jù)給定的程序框圖，可得：第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，不滿足判斷條件，輸出.故選：A.4若實(shí)數(shù)且，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分和兩種情況解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若，當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，所以，綜上若，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5若，且，則的值為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)已知求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.【詳

3、解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所?故選：C.6若，則（）A80B50CD【答案】D【分析】由題可得，然后利用展開式的通項(xiàng)公式即得.【詳解】，故展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，.故選：D7已知函數(shù)若在上的最大值為5，則在上的最小值為（）ABCD【答案】B【分析】由題知函數(shù)是上的增函數(shù)，令，結(jié)合其奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，令，故是奇函數(shù)，所以，在上的最大值為，所以，又在的最小值為，所以故選：B.8設(shè)函數(shù)（，）圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)B，若B是的圖象與x軸的所有交點(diǎn)中距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）ABC

4、D【答案】D【分析】先根據(jù)周期求出，由最小值求出，得到函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的減區(qū)間，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)B，所以，所以，而，解得：.所以.又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：.所以要求函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間，只需,解得：.對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)k=-1時(shí)，.故選：D9隨著新冠疫苗的成功研發(fā)，某地區(qū)開始對(duì)重點(diǎn)人群進(jìn)行新冠疫苗接種為了配合社區(qū)對(duì)新冠疫苗接種人員講解注意事項(xiàng)，某醫(yī)科大學(xué)共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與該地區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會(huì)被分為2組派往該地區(qū)的2個(gè)不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨(dú)成組，若每組不超過4

5、人，則不同的分配方法種數(shù)為（）A32B40C48D56【答案】C【分析】法一：首先按每組人數(shù)不同分、兩類，再求組內(nèi)人員安排的方法數(shù)，進(jìn)而求兩組安排到兩個(gè)不同社區(qū)的方法，最后加總；法二：先安排一個(gè)社區(qū)，討論有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)女志愿者的安排方法數(shù)，再加總即可.【詳解】法一：分兩種情況，分為3，3的兩組時(shí)，2名女志愿者不單獨(dú)成組，有種分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時(shí)共有種分配方法.分為2，4的兩組時(shí)，有種分組方法，其中有1種兩名女志愿者單獨(dú)成組的情況，則有14種符合條件的分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時(shí)共有種分配方法.共有種分配方法.法二：先安排第一個(gè)社區(qū)

6、，若沒有女志愿者，則有種；若有1名女志愿者，則有種；若有2名女志愿者，則有種，不同的分配方法種數(shù)為，故選：C.10已知矩形ABCD，將沿AC折起到的位置若，則二面角平面角的余弦值的大小為（）ABCD【答案】C【分析】作，垂足分別為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得即為二面角的平面角，再根據(jù)，兩邊平方求出，即可得解.【詳解】解：作，垂足分別為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以即為二面角的平面角，由矩形ABCD，可得，則，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所?所以二面角平面角的余弦值的大小為.故選：C.11定義在R上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知判斷函數(shù)

7、的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，所以函?shù)為減函數(shù)，所以，即，所以.故選：D.12已知直線l與曲線C：在y軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是Q，P，且以線段PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則的值不可能為（）A6B8CD【答案】A【分析】設(shè)OP的斜率為k，求出，利用基本不等式求出，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】因?yàn)橐跃€段PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以.因?yàn)镼，P分別在雙曲線的左、右兩支，所以O(shè)P,OQ的斜率均存在，可設(shè)OP的斜率為k，則OQ的斜率為，直線的方程為.由，解得：，所以.同理可求：.所以，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故.故選：A【點(diǎn)睛】解析幾何中最值的計(jì)算方法

8、有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把最值表示出來，利用函數(shù)（基本不等式）求最值.二、填空題13設(shè)三個(gè)單位向量，滿足，則向量，的夾角為_【答案】【分析】根據(jù)，可得，等式兩邊同時(shí)平方，整理即可求出向量，的夾角的余弦值，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，即，即，所以，又因，所以向量，的夾角為.故答案為：.14找規(guī)律填數(shù)字是一項(xiàng)很有趣的游戲，特別能鍛煉觀察和思考能力，按照“17”“214”“342”“4168”的規(guī)律，可知5_【答案】840【分析】先根據(jù)題中所給的信息推理，并驗(yàn)證，得到規(guī)律后就可以計(jì)算出結(jié)果.【詳解】觀察規(guī)律有，所以.故答案為：840.15已知長(zhǎng)方體，點(diǎn)

9、P為空間一點(diǎn)，滿足，則四棱錐的外接球的表面積為_【答案】【分析】先由和判斷出點(diǎn)為和的交點(diǎn)，連接，其交點(diǎn)為，進(jìn)而得到球心在上，由勾股定理求出半徑，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由得即，所以，故點(diǎn)在直線上，由，所以點(diǎn)在直線上，故點(diǎn)為和的交點(diǎn)，易知點(diǎn)為和的中點(diǎn)，連接，其交點(diǎn)為，連接，則，設(shè)四棱錐的外接球球心為，則在上，設(shè)球的半徑為，則，解得.故球的表面積為.故答案為：.16已知函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【分析】首先設(shè)，結(jié)合已知條件得到在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，再將轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，為增函

10、數(shù).又因?yàn)?，所?所以， 即為偶函數(shù).所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).因?yàn)?，所以，解得?故答案為：.三、解答題17在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，(1)求角C的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)a，b的值【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最大值為6，此時(shí)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角恒等變換及三角形內(nèi)角關(guān)系，求得，即可得解；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，即，又因，所以，所以，則，即，又因，所以，所以，因?yàn)?，所以?2)解：由余弦定理得：，則，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為6，此時(shí).18202

11、2年3月5日是我國(guó)二十四節(jié)氣中的節(jié)氣之一驚蟄，農(nóng)諺描述“驚蟄過，暖和和，蛤蟆老角唱山歌”“驚墊不耙地，好像蒸鍋跑了氣”等，隨著氣溫升高，冬眠的動(dòng)物和昆蟲都陸陸續(xù)續(xù)出來了，人們也開始了田間的勞作某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)驚蟄前后青蛙外出活動(dòng)時(shí)間與平均氣溫之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，分別記錄了3月3日至3月8日的平均氣溫x（）與活動(dòng)時(shí)間y（小時(shí)），得到如下數(shù)據(jù)：日期3月3日3月4日3月5日3月6日3月7日3月8日平均氣溫x（）121418231922活動(dòng)時(shí)間y（小時(shí)）123534(1)若先從這六組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；(2)假設(shè)在驚蟄前后，青蛙外出活動(dòng)時(shí)間和平均氣溫符合線性相關(guān)關(guān)

12、系，請(qǐng)根據(jù)所給6組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程（結(jié)果精確到0.0001）；(3)根據(jù)（2）中所得的線性回歸方程，若天氣預(yù)報(bào)3月12日的白天平均氣溫是26（），請(qǐng)預(yù)測(cè)青蛙外出活動(dòng)時(shí)間（結(jié)果精確到0.01）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)；(2)；(3)5.55小時(shí).【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；（2）利用最小二乘法即得；（3）利用回歸直線方程即得.【詳解】(1)設(shè)“抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)”為事件A，則所有的基本事件有，共有15種，其中事件A包括的基本事件有共5種，所求的概率為；(2)，y關(guān)于x的線性回歸方程為；(3)當(dāng)時(shí)，所以預(yù)測(cè)青蛙外出活動(dòng)時(shí)間大約為5.55小時(shí).

13、19已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足：，證明：對(duì)，【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，是，的等差中項(xiàng)，求出首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，最后證明當(dāng)時(shí)，不等式也成立，即可得證.【詳解】(1)解：因由，是，的等差中項(xiàng)，得，解得，則，解得或（舍去），所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，所以；(2)證明：當(dāng)時(shí)，故左式右式，所以不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，則，當(dāng)時(shí)

14、，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，則，所以，及，所以，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立，綜上所述，對(duì)，20雞公山，位于河南省信陽市境內(nèi)，是中國(guó)四大避暑勝地之一，也是新中國(guó)第一批對(duì)外開放的全國(guó)八大景區(qū)之一，雞公山是大別山的支脈，主峰雞公頭又名報(bào)曉峰，像一只引頸高啼的雄雞，因名之雞公山.主峰海拔814m，山勢(shì)奇?zhèn)?，泉清林翠，云海霞光，風(fēng)景秀麗旅游區(qū)管委會(huì)在山上建設(shè)別致涼亭供游客歇腳，如圖為設(shè)計(jì)圖，該涼亭的支撐柱高為m，頂部為底面邊長(zhǎng)為2的正六棱錐，且側(cè)面與底面所成的角都是45(1)求該涼亭及其內(nèi)部所占空間的大小；(2)在直線PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理

15、由【答案】(1)；(2)不存在，詳見解析.【分析】（1）利用棱錐及棱柱的體積公式即得；（2）利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法可列出方程，即得.【詳解】(1)由題可知涼亭的頂為正六棱錐，側(cè)面與水平面成，取的中點(diǎn)，連接，則，易求，所以，所以該涼亭的體積分為兩部分，上半部分為正六棱錐，其體積為，下半部分正六棱柱，其體積為，所以該涼亭及其內(nèi)部所占空間為；(2)取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則假設(shè)直線PC上存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，化簡(jiǎn)可得，該方程不存在實(shí)數(shù)解，所以在直線PC上不存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面

16、所成角的正弦值為.21設(shè)橢圓C：（），分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，面積的最大值為，離心率(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)曲線E：，若不經(jīng)過的直線l與曲線E于A、B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最大值【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，結(jié)合，即得；（2）設(shè)直線的方程為，利用拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法可得，然后通過換元利用基本不等式即得.【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的短軸端點(diǎn)時(shí)，面積的最大，又，橢圓C的方程為；(2)設(shè)直線的方程為，由，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，解得或（舍去），所以直線的方程為，