統(tǒng)計物理學基礎(chǔ)

1、1熱是人類最早發(fā)現(xiàn)的一種自然力，是地球上一切生命的源泉。 恩格斯2 熱學的根本內(nèi)容一個系統(tǒng)兩個方面兩種途徑兩種方法假設(shè)干規(guī)律熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的過程系統(tǒng)的過程宏觀宏觀微觀微觀熱力學方法熱力學方法統(tǒng)計力學方法統(tǒng)計力學方法宏觀宏觀微觀微觀熱力學方法熱力學方法統(tǒng)計力學方法統(tǒng)計力學方法熱學是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象規(guī)律的學科3第20章統(tǒng)計物理學根底宏觀物體是由大量不停地運動的分子組成。用牛頓力學求解每個質(zhì)點的運動，實際上不可能。熱現(xiàn)象：與宏觀物體的冷熱狀態(tài)相聯(lián)系的自然現(xiàn)象研究熱現(xiàn)象的性質(zhì)和規(guī)律 熱學實驗?zāi)Ｐ推毡樾院涂尚判?1. 熱力學宏觀理論熱力學三大定律2.統(tǒng)計物理微

2、觀理論統(tǒng)計方法邏輯推理統(tǒng)計規(guī)律揭示熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)知其然而不知其所以然4物質(zhì)的微觀模型1.宏觀物體由大量微粒分子(原子)組成的23-16.022 10 molAN 2.物質(zhì)的分子在永不停息地做無序熱運動3.物質(zhì)的分子存在相互作用力擴散布朗運動()stfstrr915s 47t 合力合力斥力斥力引力引力Ofdr0r20.1 統(tǒng)計規(guī)律與概率理論5 統(tǒng)計方法的一般概念20.1.1. 伽爾頓板實驗:- 大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.伽爾頓板實驗:單個粒子運動-偶然事件 (落入哪個槽)大量粒子運動-統(tǒng)計規(guī)律(粒子在槽中的分布)氣體系統(tǒng)的特點：大量，雜亂無章布朗運動， 無法建立動力學方程實驗發(fā)現(xiàn)，大量分子運

3、動符合統(tǒng)計規(guī)律伽爾頓板 視頻6統(tǒng)計規(guī)律特點:(2) 是與單個粒子遵循的動力學規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律.(3) 與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān).(4) 存在起伏(漲落) (1) 對大量偶然事件有效,對少量事件不適用。單個粒子遵循牛頓定律;大量粒子遵從統(tǒng)計規(guī)律 - 牛頓運動定律無法說明720.1.2 概率幾率的根本性質(zhì)一、概率的概念1.隨機現(xiàn)象 現(xiàn)象開展演化的結(jié)果不能事先預言，結(jié)局不是唯一的，這樣的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。2.隨機事件 隨機現(xiàn)象可以出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，這些結(jié)果中的每一個稱為一個隨機事件。3.統(tǒng)計規(guī)律性 在一定條件下，就大量隨機事件的整體而言，具有較穩(wěn)定的特性，存在著必然的、確定的規(guī)律，這就是統(tǒng)計規(guī)

4、律性。 統(tǒng)計規(guī)律性包容著單個隨機事件的偶然性，統(tǒng)計規(guī)律必然伴隨有漲落現(xiàn)象。8實驗總觀測次數(shù)為N ,其中出現(xiàn)結(jié)果 A 的次數(shù)為 NA 事件A 出現(xiàn)的概率 limAWNNN概率是用來衡量偶然事件出現(xiàn)可能性大小的量9概率的根本性質(zhì)(1) 01WW=0為不可能事件; W=1為必然事件.(2) A,B為互斥事件,不可能同時出現(xiàn),那么出現(xiàn)A或B的總概率:ABWWW- 概率疊加原理3歸一化條件: 對所有可能發(fā)生的事件的概率之和必為1.11lim1nniiiNiiNNNWNNN或1dw (4) J,K為相容事件(可同時出現(xiàn)，那么同時發(fā)生J和K的概率.KJWWW- 概率乘法定理limAWNNN1020.1.3

5、統(tǒng)計平均 系統(tǒng)的宏觀量是在測量時間內(nèi),系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)中相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計平均值!統(tǒng)計平均值1122121212limlimlim.limnnNNNnnnNA NA NA NNNAAANNNNNNAN 12nNNNN 對物理量M進行N次測量，其統(tǒng)計平均值為11221nnniiiAAWA WA WAW lim(iiiNNWAN即 出現(xiàn)的概率）所以11熱學的研究對象：大量微觀粒子組成的宏觀體系熱力學系統(tǒng) 或簡稱系統(tǒng)宏觀量:如: 氣體的 V, P, T.描述系統(tǒng)整體特征的物理量.微觀量: ,vpm如: 粒子的系統(tǒng)中描述單個粒子特征的物理量.宏觀狀態(tài)參量 阿伏伽德羅常數(shù) NA= 6.023 10 23

6、 /mol20.2.1 微觀量與宏觀量20.2 溫度與壓強宏觀量是微觀量的統(tǒng)計平均值廣延量：有累加性(如質(zhì)量、體積)強度量：無累加性(如溫度、壓強)12平衡態(tài)：在不受外界影響的條件下，一個系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)。動態(tài)平衡動態(tài)平衡20.2.2 平衡態(tài)與非平衡態(tài)TVp,TVp,真真 空空 膨膨 脹脹1單一性;2穩(wěn)定性；3自發(fā)過程的終點；4熱動平衡.平衡態(tài)的特點平衡態(tài)的特點系統(tǒng)處于平衡態(tài)時,系統(tǒng)的宏觀量具有穩(wěn)定值,而單個粒子的微觀量在不斷變化.13平衡態(tài)是概率最大的狀態(tài)a b c d 4個可分辨熱運動粒子，在等容體A,B兩室中：中間隔板翻開A AB BABa b c da b cda b

7、dca c dbb c daa b c da cb db ca da b c da cb cb da da b ca b da c db c ddcbaa b c d14641(平衡態(tài)概率最大)NNNNln!ln斯特令公式)!( !xNxN)!ln(!ln!lnlnxNxN)()ln()(lnlnxNxNxNxxxNNN)ln()(lnlnxNxNxxNN0)(ln由0)ln() 1() 1() 1(lnxxNxxNxNxxx0)ln(lnxxNx)ln(lnxNx2Nx 1420.2.3 理想氣體壓強思路: 壓強由大量氣體分子不斷碰撞容器壁而產(chǎn)生. 壓強為大量氣體分子在單位時間內(nèi)作用在器壁

8、單位面積上的平均沖量.建立理想氣體微觀模型利用牛頓運動定律處理單個粒子的運動利用統(tǒng)計規(guī)律處理大量粒子的行為得到理想氣體壓強公式21233tpnmvn推導:理想氣體微觀模型.(1)氣體分子看成質(zhì)點(2)除碰撞外,忽略其它力(3)完全彈性碰撞15速度在iiivdvv的分子一次碰撞ds后的動量變化為ixmv2dt時間內(nèi),但凡在底面積為ds, 高為vixdt 的斜柱體內(nèi), iiivdvv的分子都能與 ds 相碰.這些分子作用于 ds 沖量為 推導理想氣體壓強公式用圖v vivvidsx xvviv vivi =2vix而且速度在,2dtdsvnmvixiixdt內(nèi)各種速度分子對ds 的總沖量為:02i

9、xvixiixdtvdsnmvdIv vd ds sx xv vixixd dt tiixivviixdsdtvmndsdtnmvii20, 0222116因而 壓強iixivmndtdsdIp2由于,22nvnvixix所以2212123323tpnmvnmvn其中212tmv為分子的平均平動動能這些分子作用于 ds 沖量為,2dtdsvnmvixiixdt內(nèi)各種速度分子對ds 的總沖量為:iixiiiixvixiixdsdtvmndsdtnmvdtvdsnmvdIix2202212222213xyzvvvv平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢17推導中用到的統(tǒng)計概念和統(tǒng)計假設(shè):分子以各

10、種方向入射角去碰ds的概率相同平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢，因而有:討論: 壓強公式將宏觀量 p 和微觀量 n,t 的統(tǒng)計平均值聯(lián)系在一起 注意推導中的思維方法 氣體分子相互碰撞時,一個分子失去多少動量必有另一個分子得到相同的動量. 分子相互碰撞導致分子與ds碰撞的次數(shù)增加和減少的時機是相同的, 推導未考慮分子間的相互碰撞.222231vvvvzyx18二、溫度的定義熱平衡熱接觸傳熱(能量)系統(tǒng)1平衡態(tài)系統(tǒng)2平衡態(tài)傳熱停止a系統(tǒng)1平衡態(tài)a系統(tǒng)2平衡態(tài)bb熱平衡熱平衡定律 熱力學第零定律實驗說明：如果兩個熱力學系統(tǒng)都與第三個熱力學系統(tǒng)處于熱平衡，那么它們彼此處于熱平衡溫度決定一個熱力

11、學系統(tǒng)是否與其他系統(tǒng)處于熱平衡的宏觀性質(zhì)。19301930福勒福勒R.H.FowlerR.H.Fowler 19理想氣體的狀態(tài)方程RTRTMmPVkNRA111111kmollatm082. 0kmolcal987. 1kmolJ31. 8R氣體普適常數(shù)123mol10022. 6AN阿伏伽德羅常數(shù)123kJ1038066. 1k玻爾茲曼常數(shù)nkTP 給出了一個熱力學參量：溫度T 一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。熱力學第零定律說明：互為熱平衡的系統(tǒng)必然存在一個相同的性質(zhì)或特征。2023tpnpnkTkTt23 4.溫度-溫度是氣體分子平均平動動能的量度 2.溫度-分子熱運動劇烈程度1.溫

12、度-描述宏觀熱力學系統(tǒng)平衡態(tài)的一個物理量3.溫度-一個統(tǒng)計概念，是大量分子的集體行為5.溫度-氣體分子熱運動的方均根速率212tmkT2323kTm3AAkN TmN3RTMMRT32 分子質(zhì)量越小，平均運動速率越大20.2.4 理想氣體溫度公式212) 分子的平均平動動能32tkT2331.38 103002216.21 10J23.88 10 eV1) 常溫常壓下，分子的數(shù)密度25310/mn3) 氧氣的方均根速率23RTM33 8.31 30032 10483m/s2220.3 三種統(tǒng)計規(guī)律大量粒子熱運動遵從統(tǒng)計規(guī)律經(jīng)典粒子微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別 費密子 玻色子尋找并掌握平衡狀態(tài)概率最

13、大的狀態(tài)下粒子的分布規(guī)律麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計M-B 分布經(jīng)典粒子按能量的分布。 費米-狄拉克統(tǒng)計F-D 分布 費密子電子按能級的分布。玻色-愛因斯坦B-E 分布玻色子光子按能量 h的分布。 熱輻射規(guī)律23麥克斯韋玻耳茲曼分布 經(jīng)典分布 平衡狀態(tài)下，多粒子體系的分布規(guī)律。粒子如何按能級分布的。 1 經(jīng)典的眼光看粒子； 1粒子可以分辨的可以跟蹤，可以編號。 2一個能級可以容納多個粒子， 每一個狀態(tài)可以容納多個粒子。 2 理論依據(jù)； 1等概率假設(shè) 2平衡態(tài)是幾率最大的狀態(tài) 最概然分布24一 等概率假設(shè)處在平衡態(tài)的孤立體系, 其可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等 - 平衡態(tài)統(tǒng)計理論的根底 如果可能微觀態(tài)總數(shù)

14、為 ，那么系統(tǒng)的任意微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 1/ : 121P tP tPt 系統(tǒng)自發(fā)趨向于最概然分布求經(jīng)典粒子例：氣體分子按能量的最概然分布的思路:(1)求將N個粒子按 12,iN NN12, ,i 的各種量子態(tài)中去的可能占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量為2 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個能級上的粒子數(shù)20.3.2 麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計25能級上每個量子態(tài)被占據(jù)的概率討論過程中要用到等概率假設(shè)和約束條件約束條件: 孤立體系?Ni？）（gNiiifiiiiEiNNN恒量能量守恒恒量粒子數(shù)守恒- - -(1)求將N個粒子按 iNNN21, i,21的各種量子態(tài)中去的可能

15、占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量為2 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個能級上的粒子數(shù)26二. 麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計 ( M-B分布 )經(jīng)典粒子彼此可以區(qū)分, 每個量子態(tài)中的粒子數(shù)不受限制. 2個經(jīng)典粒子在3個量子態(tài)中的可能分布共9種)(M-B分布)哈爾濱哈爾濱飛機飛機火車火車汽車汽車飛機飛機火車火車汽車汽車北京北京上海上海共有共有93332種方案種方案2個不同粒子放入3個盒子，分2步完成。2個不同色子扔下，先扔1個，再扔另1個，共62種狀態(tài)27)!(!) 1()2)(1(mnnmnnnnAmn例：從 n 個不同物體中，任選m 個作為一組，共有多少種選法？)!( !m

16、nmnCmn例：把n個不同物體分成r組，第一組有n1個，第二組有n2個，第r 組有 nr個，共多少種分法？!21rnnnnN例：從n個不同物體中取出m個(mn)，允許重復(放回取樣)，共多少種方法？mnnnnnN!211rriinnnn例：從n個不同物體中取出m個(mn)按順序排成一列，共多少種方法？28 (2) 個粒子分別占用能級個粒子分別占用能級 的的 個量子態(tài)的占據(jù)方式為個量子態(tài)的占據(jù)方式為.,21NNNi.,21i.,21gggiigiNi因而iiiNNNNNNNNNNNNNNNCCC!21321211!iNiiiiiNgNiNNiigN N 個可區(qū)分個可區(qū)分 粒子，分為粒子，分為 個

17、粒子的組合方式為個粒子的組合方式為.,21NNNi(3)(3) Ni個經(jīng)典粒子分布在個經(jīng)典粒子分布在i i 能級的能級的 個量子態(tài)上的占據(jù)方式為個量子態(tài)上的占據(jù)方式為gigiNi(1)29(2) 為使 極大, 令ln0BM利用斯特令公式) 1(ln!lnNNNiii10NiiiiiiiiiiiiiiiiiiBMgNNNNNgNNNgNNNNNlnlnlnln) 1(ln) 1(lnln!ln!lnln 因而iiiiiiBMNNgNln) 1(lnln0lniiiiNgN!iNiiiiiNgNiNNiigNy1 1 2 2 3 3x xxylnNNln2ln1ln!ln1ln)ln(ln)ln(

18、ln!ln|111NNNxxxxxdxxdxdxNNNN)0(iiiiNN這里30由宏觀約束條件0iiNN0iiNiEiiiiiBMNgNEN0lnlnNNNNi 21,NNiiiiiiBMgNln) 1(lnln0lnNiiiigN!iNiiiiiNgNiNNiigN0lniiigNiiigNe（3） 由宏觀約束條件確定由宏觀約束條件確定 ,由拉格朗日乘子法原理個為任意變量中有)2(31最后可得/iikTigNe ()1iiiKTiNfgekT1egiiiN由可得0lnlnNiiiiBMgN!iNiiiiiNgNiNNiigNiiigNe,經(jīng)典粒子按能級的最概然分布M-B分布理論和實驗證明e

19、giiiiiiiNE3220.3.3 費米狄拉克分布費米子：自旋是1/2的奇數(shù)倍。電子，子，質(zhì)子，中子等全同性粒子。 每個狀態(tài)只容納一個粒子。平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)， N個粒子能級,321l狀態(tài)數(shù)粒子數(shù),321lgggg,321lNNNNNl個粒子占據(jù)gl個狀態(tài))!( !lllllNgNgW)!( !lllllNgNg分布的微觀態(tài)總數(shù)33得1iegNii0d0d0lndiiiNN平衡狀態(tài)利用 /11iiKTiiNfge 1/ KT3420.3.4 玻色愛因斯坦分布玻色子：自旋是1/2的偶數(shù)倍。光子，介子等全同性粒子。 每個狀態(tài)可容納多個粒子。平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)， N個粒子能級,321l狀態(tài)數(shù)粒

20、子數(shù),321lgggg,321lNNNN將i個粒子放在i個位置上，每個位置可容納多個粒子。第一個量子態(tài)是固定的。Nl個粒子占據(jù)gl個狀態(tài)lN1lg)!1( !)!1(lllllgNgNW)!1( !)!1(lllllgNgN平衡狀態(tài)下1iegNii /11iiKTiiNfge 35iegNiiieNgiiF-D1iegNii或ieNgii1B-E1iegNii或ieNgii1當 時，量子統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計1iigNkT1一般，當T 高時 空位子多iigN M-B 三種統(tǒng)計的比較3620.4 麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用1. 麥克斯韋分子速度分布律 利用M-B分布可導出在沒有勢場情況下，理想

21、氣體按速度的分布規(guī)律。 對理想氣體，在溫度T的平衡態(tài)下:分子速度在zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv的概率2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT37egNkTiii/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdN3/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdNN3/32/1222hdpdpdpedxdydzNezyxmkTpppzyx3233222/)2(/222hmkTNVhdpedpedpeNVezmkTpymkTpxmkTpzyxdxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(dxdydz

22、dpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(zyxkTmvmvmvdvdvdvekTmNdNzyx223222)2(2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT2xedx利用附近中 pV的粒子382. 麥克斯韋分子速率分布律如果不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,由2222zyxvvvvzyxdvdvdvdddvvsin2并對并對由由積分由20,0 在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在 v-v+dv 范圍 內(nèi)的概率2322242mvkTdNmdWev dvNkT速率分布函數(shù) dNf vNdv- 概率密度麥克斯韋速率分布函數(shù) 23/2224

23、2mvkTmfvv ekT滿足歸-化條件: 10dvvfovyvzvxv) 1)(00NNNdNdvvf*39 dNf vNdv 23/22242mvkTmfvevkT 23/22242mvkTdNmfv dvev dvNkT0 0v vf(v)f(v). . . . . . . . .。T銀蒸汽銀蒸汽真空真空麥克斯韋速率分布實驗銀相對厚度40 23/22242mvkTdNdWmfvevNdvdvkTvv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1討論:(1) f (v)曲線下面積的物理意義 寛度為dv的窄條面積:曲線下總面積:( )vdNf v dvNNNNdNdvvfvvvvvv21

24、2121)(1)(00NNNdNdvvf12vv區(qū)間的面積：413 最概然速率最可幾速率- f(v)-v曲線極大值所對應(yīng)的速率 vpvp 的物理意義： vp 附近概率密度最大同樣速率間隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子數(shù)最多)由0)(dvvdf及pVdvvfd可得0)(22vv2vv+dvo f (v)v12 由( )vdNf v dvN2121)(vvvvdvvNfN0( )vdNdNvvvf v dvNN同理，220( )vv f v dvpv)(pvf42vo f (v)3 三種速率 222/3224vekTmvfkTmv平均速率 08kTvvf v dvm方均根速率22

25、033( )1.73kTRTRTvv f v dvmMM最概然速率221.41pkTRTRTvmMMpvvv2vp81.60RTRTMM2vv可以看出21322mvkT231vnmP kTvm23212nkTP 前面說明kT1是合理的43 麥克斯韋速率分布實驗施特恩實驗：銀相對厚度銀相對厚度實驗裝置實驗裝置llvv2lHg金屬蒸汽金屬蒸汽顯示屏顯示屏狹縫狹縫接抽氣泵接抽氣泵 f(v)-變化規(guī)律vf(v)T T1 1T T2 2TT1 1 vf(v)m2 2 m1 1m1 144v vf(v)f(v)溫度T相同，哪個是H2? 哪個是O2?都是H2, 溫度不同，哪個溫度高？221.41pkTRTR

26、TTvmMMMVp1Vp20例45例、關(guān)于速率分布函數(shù),說明各式的意義:21(1)( )dvvNf vv21(2)( )dvvf vv21(3)( )vvNvf v dv解：由速率分布函數(shù)( )vdNf vNdv的物理意義可以知道：2211()()(1)( )vN vvN vNf v dvdNN 表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。21201(4)( )2vvm v Nf v dv222111(2)( )vvvvvvdNdNf v dvNN表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。462211(3)( )vvvvNvf v dvvdN222111220011(4)( )22vvvkv

27、vvm v Nf v dvm v dNE dN表示在v1-v2 速率區(qū)間內(nèi)所有分子速率的總和。表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)所有分子平動動能的總和。47?)()(11vvdvvfdvvvf物理意義？11)()(vvdvvfdvvvf11vvNdNNdNv11vvdNvdN速率大于V1的速率平均值( )dNf v dvN由例48例、圖中v0將速率分布曲線下的面積分為相等的兩局部,試說明v0的意義.f(v)v0v0解：根據(jù)Maxwell速率分布函數(shù)，可以知道f(v)v0v0( )dNf v dvN所以根據(jù)題意，兩局部面積相等，也就是說在v0的兩邊的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率相同。所以v0的意義是：速率大于

28、v0的分子數(shù)=速率小于v0的分子數(shù)490( )vf v dv求得v2220( )vv f v dvv用求出在統(tǒng)計方法和氣體分子速率分布律這一局部中，給定分布函數(shù)f(v)，可以用( )0pdf vvv用求出最概然速率2112( )vvNf v dvvv用求出速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)0如果分布函數(shù)中有待定常數(shù)時，需要用到歸一化條件f(v)dv=1求出待定常數(shù)。50例、設(shè)由 個氣體分子組成的熱力學系統(tǒng)，其速率分布函數(shù)為：N00() (0)( )0A vv vvvf v其分布曲線圖如下圖。求： 1分布函數(shù)中的常數(shù) ；2分子的最概然速率；3分子的平均速率和方均根速率；4分子在0-0.3v0 之間的分子數(shù)。v

29、f(v)v0OA51分析：分布函數(shù)中的常數(shù)可以由歸一化條件求得。在此根底上，可以求得各種速率和某個區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。解： 1由歸一化條件，0( )1f v dv0003300000011( )( )0()132vvvf v dvf v dvdvA vv vdvAvAv 306Av可以得到：解得：所以0306( )()f vvv vv 2由( )0pv vdf vdv可以得到：32001260pvvv所以012pvv523平均速率為：0200300061( )()2vvvf v dvvv v dvvv0223200300063( )()10vvv f v dvvv v dvvv220030.551

30、0vvv所以，方均根速率為：4由速率分布函數(shù)( )dNf vNdv可以得到：000.30.3030006( )()0.216vvNdNNf v dvNvv vdvNv即：速率在0-0.3) 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的21.6%。0v53例、判斷下述論斷是否正確：“最概然速率相同的兩種不同氣體，它們的速率分布曲線一定相同。解：這種說法正確。由麥克斯韋速率分布函數(shù)：23222( )4()2mvkTdNmf vveNdvkT( )0pv vdf vdv由得到：2pkTvm54這樣將麥克斯韋速率分布函數(shù)進行變換，以vp 的形式表示出來：23222( )4()22mvkTpmf vvekTkTvm2()3

31、24( )pvvpf vv ev所以，只要最概然速率vp 相同，f(v)就一定相同，與氣體種類無關(guān)。55232222()32( )4()24pmvkTvvpNmf vvevvNkTvevv2()24()pvvppvvevv2pkTvmMRT2pv用簡化運算例56例：求300K時，空氣中速率在vp附近和10vp附近單位速率區(qū)間)/1(smv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比各是多少？解：2()24()pvvppNvvevNvmkTvp2)/29(molgM空氣3102930031. 82sm/415%2 . 04151141 eNNpv%102 . 0415110044210010 eNNpvMRT2

32、57例、設(shè)某氣體的速率分布函數(shù))0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：解：1常量a 和 v0 的關(guān)系1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf 1歸一化條件303v a)(vfvv00為3速率在01/2v0 之間分子的平均速率2平均速率vv582設(shè)總分子數(shù)為N，3求速率在01/2v0 之間分子的平均速率？000v2v2/230000v3vv(v)dv64vdNfav dvvN那么對否？不對！上式分母上的N應(yīng)為 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 0830vvdNN 0d)(vvvf404va

33、 002dvvvv a0403043)3(41vvv 59例、設(shè)氣體分子的平動動能：212mvd( )dwFd在之間的概率為：試用麥克斯韋速率分布函數(shù)求：1分布函數(shù)( )F2最概然能量； 3平均能量解：氣體分子速率在 之間的概率為：23222( )4()2mvkTmdwf v dvvedvkTvvdv 60把上述方程改寫成能量的形式為：31222()( )kTdwkTedFd232224()2mvkTmdwvedvkT所以，能量分布函數(shù)31222( )()kTFkTe6131222( )()kTFkTe2pkTvm211222ppkTmvmkTm2由麥克斯韋速率分布函數(shù)得到：所以最概然能量：正

34、確嗎？事實上，最概然能量必須滿足：( )0pdFd 所以：311222( )211()()02pkTkTdFkTeedkT 得到最概然能量：12pkT623平均能量：3133222200022( )()()32kTkTFdkTedkTedkT63vdsdsx xvx xdtdt用麥克斯韋速度分布函數(shù)，求單位時間內(nèi)碰撞到單位面積容器壁的分子數(shù)X軸方向垂直ds，那么碰到ds的分子數(shù)為：xvxNdn v dtds()xvxxdnn f v dv/()xxdN dtdsn f v dv 21/2202xmvkTxxmdnev dvkT 21/22()2xmvkTxmf vekT積分只取vx0，因為小于

35、零不能撞ds1/2124KTnnvm 64外勢場中, 粒子在速度在的分子數(shù)30/22kpEEkTxyzmdNedv dv dv dzkTnxdyd對所有速度積分,3/20()2kpEEkTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkTxxdxyydyzzdzxxxvvdvyyyvvdvzzzvvdv由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得0pEkTdNn edxdydz得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):22232212xyzmvvvkTxyzmedv dv dvkT20.4.3 重力場中粒子按高度的分布3/20()2pkEEkTkTxyzmdNedv dv dvn edxdydzkT650pEkTd

36、Nn edxdydz用空間粒子數(shù)密度表示: 0pEkTdNnn edxdydzn0為 Ep =0 處的粒子數(shù)密度重力場中pEmgh重力場中粒子按高度的分布0mghkTnn epnkT00lnlnppkTRThmgpgp- 恒溫氣壓公式0mghkTn kTe0mghkTp e66nmnmgdhgdh1nkTP 0mghkTnn ekTdndP dhkTmgndnnmgdhkTdn dhkTmgndnhnn00kTmghnn0ln空氣密度氣體壓強P可以看作單位面積上空氣柱重量由dhhPdPPh重力場中粒子按高度的分布0mghkTnn e另一種推導方法：gdVdP6720.5 能量按自由度均分定理

37、理想氣體內(nèi)能1、自由度確定一物體的位置所需的獨立坐標的數(shù)目 sccc1)平動自由度 t 3t222212121zyxtmmm 動能為三個獨立的速度分量的平方項之和2)轉(zhuǎn)動自由度 r cyxz3r232221212121zyxrIII 轉(zhuǎn)動動能為三個獨立的角速度分量的平方項之和68剛體的自由運動 ccccc6rts(平動) 加 (轉(zhuǎn)動)rt 3)振動自由度v兩個質(zhì)點間相對位置的變化1v動能為六個獨立的平方項之和r221122vmrkr能量為二個平方項之和假設(shè)有 v 個振動自由度，能量為2v個平方項之和v 個動能，v個勢能692、分子的自由度單原子分子(He、Ne、Ar等)3t只有平動自由度能量表

38、達式中有三個獨立平方項雙原子分子(O2、H2、CO等)剛性3t2rsrti5能量表達式中有五個獨立平方項多原子分子H2O、CH4剛性6i t r 能量表達式中有六個獨立平方項70分子、平衡態(tài)kTmmmzyx21212121222vvv20.5.1 能量按自由度均分定理：動能表達式中，每一個平方項的平均值都是動能表達式中，每一個平方項的平均值都是 kT21在溫度為在溫度為T T的的平衡態(tài)平衡態(tài)下，系統(tǒng)中分子能量表達下，系統(tǒng)中分子能量表達式中每一個獨立的平方項都具有相同的式中每一個獨立的平方項都具有相同的平均平均熱熱運動能量，其大小等于運動能量，其大小等于 kT21一個分子的總平均能量kTivrt

39、kT222PKkTt23 7120.5.2 理想氣體內(nèi)能內(nèi)能是狀態(tài)量.通常),(VTEE 理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)2MiER T 廣義內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有粒子各種能量的總和. 熱力學內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子熱運動動能和分子間 相互作用 勢能之和. 理想氣體內(nèi)能：僅為分子熱運動動能之和.()EE T只含有一種分子的 1 mol 理想氣體2AAiENNkTRTi272kTNiNEAA2 RTi2單原子分子 雙原子分子 多原子分子kT23kT25kT26平均動能1 mol 理想氣體的內(nèi)能RT23RT25RT37373例、 以下各式中那一式表示氣體分子的平均平動動能？.23)(,23)(,23)(,23

40、)(pVMMDnpVCpVMMBpVMmAmolmol解 氣體分子的平均平動動能為32kT答案 (A)032RTN03 12m olMpVNM32mpVM0()m olMN mm olMpVR TM74例、一個氧氣瓶的容積為 ，充入氧氣的壓強為 ，用了一段時間后壓強降為 ，那么瓶中剩下的氧氣的內(nèi)能與未用前氧氣的內(nèi)能之比為解：內(nèi)能：11122222iERTiERT2222211 11 1ETN TETN T111222NPkTVNPkTV壓強：22211 1PN TPN T由以上兩式：2211EPEP21PPV1P2P75例、一絕熱容器，體積為2V0，由絕熱板將其分隔成相等的兩局部A和B，如下圖

41、。設(shè)A內(nèi)貯有1mol的單原子分子的氣體，B內(nèi)貯有2mol的雙原子分子的氣體，A、B兩局部的壓強均為p0。如果把兩種氣體都看作理想氣體。現(xiàn)在抽去絕熱板，求兩種氣體混合后到達平衡狀態(tài)時的溫度和壓強。AB分析：一定量理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。當抽去絕熱板后，因為容器是絕熱的，所以兩種氣體混合后的內(nèi)能等于混合前兩種氣體的內(nèi)能之和，即內(nèi)能保持不變，由此可以計算出混合氣體的溫度。再由理想氣體的狀態(tài)方程可以求出壓強。解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：003322AAAERTp V005522BBBERTp V76因此兩種氣體的總內(nèi)能為：10000035422ABEEEp Vp Vp V23535131222222A