《數(shù)學(xué)歸納法》

1、招遠(yuǎn)市第九中學(xué)招遠(yuǎn)市第九中學(xué) 問題情境一問題情境一已知數(shù)列已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為na22) 55(nnan （1 1）求出其前三項(xiàng)，你能得到什么樣的猜想？）求出其前三項(xiàng)，你能得到什么樣的猜想？（2 2）你的猜想正確嗎？）你的猜想正確嗎？12341,1,1,1aaaa(1)(1)由由，*1().nanN猜想：（2）事實(shí)上，5625,121aa故猜想不成立。111nnnaaa（1 1）求出數(shù)列前）求出數(shù)列前4 4項(xiàng)項(xiàng), ,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2）你認(rèn)為你的結(jié)論一定正確嗎？如何證明猜想是你認(rèn)為你的結(jié)論一定正確嗎？如何證明猜想是正確的？正確的？對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列，na)(*

2、Nn11,a 問題情境二問題情境二12341111,1234aaaa(1)(1)由由，*1().nanNn猜想：(2)從n=5開始逐個(gè)往下驗(yàn)證的想法價(jià)值不大，我們需要尋求一種方法：通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。 為了證明此類與正整數(shù)有關(guān)的問題，我們需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法！目標(biāo)：1.初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理.2.理解和記住數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟.3.初步體會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式.4.掌握歸納與猜想的關(guān)系，能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題實(shí)驗(yàn)演示，探索解題途徑 在多米諾骨牌游戲中，要讓這些骨牌全部倒下，必 須具備哪些條件呢？（1）第一塊骨牌

3、倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一 塊倒下。 思考： 第一塊不推倒行嗎？從中間拿走幾塊行嗎？ 演示小節(jié)：可以看出條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系； 當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也會(huì)倒下。 這樣， 只要第一塊倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下。演示演示任意相鄰的兩塊牌，任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導(dǎo)前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊牌倒下致后一塊牌倒下第一項(xiàng)第一項(xiàng)成立成立第第k k項(xiàng)成立，項(xiàng)成立，第第k+1k+1項(xiàng)成立項(xiàng)成立第一塊第一塊骨牌倒下骨牌倒下1234kK+1n=1時(shí)11a如果n=k時(shí)猜想成立即21kak那么當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即12(1) 1kak猜想成立骨牌

4、全倒下，需要哪些條件呢？問題探究問題探究我們先從多米諾骨牌游戲說起。 當(dāng)n=k證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立從而命題對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.(1)證明當(dāng)n取 時(shí)命題成立;(2)假設(shè) .證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,按下列步驟進(jìn)行第一個(gè)值n0歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推(n0N+)（kn0,kN+)時(shí)命題成立， 生成概念生成概念兩個(gè)步驟兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論1、用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與 有關(guān)的命題。正整數(shù)2、在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可。3、書寫必須規(guī)范(1)證明當(dāng)n取第1個(gè)值時(shí)，命題成立(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立(3)由(1) 、(2)得出結(jié)論

5、例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明： 222(1)(21)1 +2 +=6n nnnnN，其中證明：1n (1)當(dāng)時(shí)，N+(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k)時(shí)等式成立，=1左邊，1 (1 1)(2 1 1)=1,6 右邊=左邊 右邊，所以等式成立。222(1)(21)+=6k kkk即12成立.那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)22222=123(1) =kk左邊2(1)(21)(1)6k kkk6) 1( 6) 12)(1(2 kkkk6)672)(1(2 kkk6)32)(2)(1( kkk6 1) 1( 21) 1)(1( kkk這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由（由（1）和（）和（2）

6、，可知的等式對(duì)任何），可知的等式對(duì)任何 都成立都成立 Nn用上假設(shè)用上假設(shè)遞推才真遞推才真寫完結(jié)論寫完結(jié)論才算完整才算完整需要證明需要證明的式子是的式子是?怎樣用假怎樣用假設(shè)設(shè)?帶入原題帶入原題中，不帶中，不帶假設(shè)中假設(shè)中1、證明：1211+2 +2 +221()nnnN1211211+2 +2 +221+11+2 +2 +2 +2=kkkknknk假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立,即成立那么當(dāng)時(shí)，11 11=1+23=21=3=n證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊 右邊，命題成立由、由、 可知對(duì)任何可知對(duì)任何nN*時(shí)，等式都成立時(shí)，等式都成立這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n n= =k k+1+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等

7、式也成立1121+2kk2(1) 1=21=21kk需要證明需要證明的式子是的式子是?找準(zhǔn)起點(diǎn)找準(zhǔn)起點(diǎn)奠基要穩(wěn)奠基要穩(wěn)用上假設(shè)用上假設(shè)遞推才真遞推才真寫完結(jié)論寫完結(jié)論才算完整才算完整題型二題型二 歸納歸納猜想猜想證明證明 例 2、 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 其中 anSnn2n1且a113.(1)求 a2，a3.(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并證明 平面內(nèi)有n(n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，試猜想交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)，并證明你的結(jié)論。1 6 3 2條直線3條直線4條直線(1)=(2)2n nf nnNn猜想 ( )且f n猜想 ( )=?請(qǐng)證明你請(qǐng)證明你的結(jié)論

8、的結(jié)論下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2.(1)=211(1)(1)+2( +1)+1 =+ =+ =222nnk kk kkf knkkkkkf kkk kk kkkkf kf kkk（1）當(dāng)時(shí)，顯然公式成立（2）假設(shè)當(dāng)（2）時(shí)，公式成立，即條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù) ( )成立則當(dāng)時(shí),第條直線與前 條直線中的每一條有一個(gè)新的交點(diǎn)，則增加 個(gè)新的交點(diǎn),此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為:條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù) ( )再加上 ，即() ( )由由(1) 、(2) 可知對(duì)任何可知對(duì)任何 時(shí)，公式成立時(shí)，公式成立這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n n= =k k+1+1時(shí)，公式也成立時(shí)，公式也成立2nNn且思考：(1) 用數(shù)學(xué)歸納法來證明問題需要幾個(gè)步驟？這些步驟能否缺少，書寫上要注意什么？(2)數(shù)學(xué)歸納法蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)思想？(3) 前面學(xué)習(xí)的歸納法和數(shù)學(xué)歸納法一樣嗎？反思提高反思提高1.與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，要掌握數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式，即兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論。2.數(shù)學(xué)歸納法是一種方法，更是一種思想，是一種用“有限”的手段解決“無限”的問題。3.歸納法與數(shù)學(xué)歸納法是兩個(gè)貌合神離的概念：歸納法是根據(jù)