FIR濾波器設(shè)計(jì)

1、1第三章第三章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法） 3.3 頻率取樣法頻率取樣法3.4 等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)23.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿(mǎn)足該特性的傳輸函數(shù)。得滿(mǎn)足該特性的傳輸函數(shù)。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器0)()()(nnjezjenhzHeHj任何線性時(shí)不變?nèi)魏尉€性時(shí)不變離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器（簡(jiǎn)都是一個(gè)數(shù)字濾波器（簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)DF）。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的）。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù)任務(wù)就

2、是尋求一個(gè)就是尋求一個(gè)因因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有具有指定的指定的頻率特性頻率特性。33.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述 DFDF的幅度特性性能要求（低通為例）的幅度特性性能要求（低通為例）)(H0psp1p1s通帶通帶過(guò)渡帶過(guò)渡帶阻帶阻帶p：通帶波紋：通帶波紋s：阻帶波紋：阻帶波紋：通帶截止頻率：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率s：過(guò)渡帶：過(guò)渡帶43.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述 DFDF的相位特性性能要求的相位特性性能要求從信號(hào)不失真角度，其相位特性通常必須滿(mǎn)足以下兩個(gè)從信號(hào)不失真角度，其相位特性通

3、常必須滿(mǎn)足以下兩個(gè)要求之一：要求之一： 相位線性。即：相位線性。即： 具有群恒時(shí)延特性。即：具有群恒時(shí)延特性。即：)(常數(shù))()(dd其中 稱(chēng)為時(shí)延常數(shù)時(shí)延常數(shù))(53.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)采用角頻率，如何與實(shí)際信號(hào)頻率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)采用角頻率，如何與實(shí)際信號(hào)頻率對(duì)應(yīng)？對(duì)應(yīng)？角頻率角頻率w w，采樣頻率，采樣頻率f fs s , ,實(shí)際信號(hào)頻率實(shí)際信號(hào)頻率f f的轉(zhuǎn)換關(guān)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系2/swff 采樣頻率的角頻率為采樣頻率的角頻率為263.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述 例如：設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，通帶可通過(guò)例如：設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，通帶可通過(guò)中心頻率中

4、心頻率為為3MHz3MHz，帶寬為帶寬為1.2MHz1.2MHz的帶通信號(hào)的帶通信號(hào)，系統(tǒng)采樣頻率為，系統(tǒng)采樣頻率為24MHz24MHz。帶通濾波器通帶。帶通濾波器通帶3dB3dB衰減處距離帶通信號(hào)通帶邊緣衰減處距離帶通信號(hào)通帶邊緣100kHz100kHz，阻帶衰減，阻帶衰減40dB40dB處距離帶通信號(hào)通帶邊緣處距離帶通信號(hào)通帶邊緣300kHz300kHz。根據(jù)數(shù)字帶通濾波器的角頻率技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)數(shù)字帶通濾波器的角頻率技術(shù)指標(biāo)： 通帶截止頻率（以通帶截止頻率（以3dB3dB衰減為準(zhǔn)）衰減為準(zhǔn)） 阻帶截止頻率（以阻帶截止頻率（以40dB40dB衰減為準(zhǔn)）衰減為準(zhǔn)） 帶通濾波器中心頻率帶通濾波器

5、中心頻率畫(huà)出數(shù)字帶通濾波器的角頻率幅頻響應(yīng)頻譜示意圖畫(huà)出數(shù)字帶通濾波器的角頻率幅頻響應(yīng)頻譜示意圖 703fM1.2BMHz100pfKHZ3000.3cfKHZMHZ24sfMHZ102 *(/2)/0.1917ppswfBff202 *(/2)/0.31ppswfBff102 *(/2)/0.175ccswfBff202 *(/2)/0.325ccswfBff002 */0.25swff解：（解：（1）3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述8（2 2）數(shù)字帶通濾波器的角頻率頻譜示意圖為：）數(shù)字帶通濾波器的角頻率頻譜示意圖為：3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述93.1 數(shù)字濾波

6、器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)濾波器理想頻響濾波器理想頻響包含：低通，高通，帶通，帶阻包含：低通，高通，帶通，帶阻對(duì)應(yīng)到數(shù)字濾波器的頻譜為：對(duì)應(yīng)到數(shù)字濾波器的頻譜為：10低通濾波器低通濾波器1 ()0 cjwcwwH eww幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)awcw稱(chēng)為截止頻率稱(chēng)為截止頻率wcw()jwH ecw3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述 1( )sin()2 ()cccwjawjwncwwnah needww nanana11低通濾波器低通濾波器3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述 1( )sin()2 ()cccwjawjwncwwnah neednw nan

7、anaa12高通濾波器高通濾波器0 ()1 cjwcwwH eww幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)cw稱(chēng)為通帶開(kāi)始頻率稱(chēng)為通帶開(kāi)始頻率wcw()jwH ecw3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述aw1 ( )sin() 0()ccwnah nw nanna133.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述高通高通低通低通時(shí)域除時(shí)域除n=a點(diǎn)外點(diǎn)外符號(hào)相符號(hào)相反反頻域上頻域上相當(dāng)于相當(dāng)于低通平低通平移移14帶通濾波器帶通濾波器11220 01 ()0 cjwcccwwwwwH eww幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)12,ccww稱(chēng)為通帶截止頻率稱(chēng)為通帶截止頻率w1cw()jwH e1cw2

8、cw2cw3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述aw2121 ( )sin()sin() ()ccccwwnah nwnawnanana可看成是兩個(gè)低通濾波器時(shí)域相減得到可看成是兩個(gè)低通濾波器時(shí)域相減得到153.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述低通低通wc1低通低通wc2帶通帶通wc1wc216帶阻濾波器帶阻濾波器11221 00 ()1 cjwcccwwwwwH eww幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)cw稱(chēng)為通帶開(kāi)始頻率稱(chēng)為通帶開(kāi)始頻率w1cw()jwH e1cw2cw2cw3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述aw21211 ( )sin()sin() ()ccccww

9、nah nwnawnanana與帶通濾波器互補(bǔ)與帶通濾波器互補(bǔ)17（二）帶阻濾波器（二）帶阻濾波器3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述帶通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器帶阻濾波器183.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述無(wú)論哪種數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下三個(gè)基本問(wèn)題：無(wú)論哪種數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下三個(gè)基本問(wèn)題： 根據(jù)實(shí)際要求根據(jù)實(shí)際要求確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)； 用一個(gè)用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)理想性能指標(biāo)；這個(gè)理想性能指標(biāo)； 用一個(gè)用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù)。這個(gè)傳輸函數(shù)。 現(xiàn)在要討

10、論的是問(wèn)題現(xiàn)在要討論的是問(wèn)題2 2數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎荆浩湎到y(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境申P(guān)于成關(guān)于 的有理分式的有理分式1zFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎荆浩湎到y(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境申P(guān)于成關(guān)于 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式1z19FIRFIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)：數(shù)字濾波器的特點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) ：（：（1 1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理避免被處理 的信號(hào)產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在的信號(hào)產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在 寬頻帶信號(hào)處理、陣寬頻帶信號(hào)處理、陣 列信號(hào)列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （

11、2 2）可得到多帶幅頻特性可得到多帶幅頻特性； （3 3）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題；無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題； （4 4）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一 定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿(mǎn)足；因果性總是滿(mǎn)足； （5 5）無(wú)反饋運(yùn)算，）無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小運(yùn)算誤差小。3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述20缺點(diǎn)：（缺點(diǎn)：（1 1）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以較較 高的階數(shù)高的階數(shù)為代價(jià)；為代價(jià)； （2 2）無(wú)法利用

12、模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析，一般無(wú)解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述213.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述線性相位線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器102121cos)(| )()(NnNjezjnNnhezHeHj11/220()( )|1( )sin2jjz eNNjjnH eH zNeh nn223.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述下表給出了上述4種類(lèi)型的線性相位濾波器的相位響應(yīng)相位響應(yīng)、時(shí)時(shí)域幅度響應(yīng)域幅度響應(yīng)和頻域幅度響應(yīng)頻域幅度響應(yīng)

13、的示意圖。23四種線性相位四種線性相位FIR DFFIR DF特性，特性，第一種情況第一種情況 ，偶對(duì)稱(chēng)、奇數(shù)長(zhǎng)度，四種濾波器都可設(shè)計(jì)偶對(duì)稱(chēng)、奇數(shù)長(zhǎng)度，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶對(duì)稱(chēng)、偶數(shù)長(zhǎng)度，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器第二種情況，偶對(duì)稱(chēng)、偶數(shù)長(zhǎng)度，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。在，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。在處有零點(diǎn)處有零點(diǎn)第三種情況，奇對(duì)稱(chēng)、奇數(shù)長(zhǎng)度，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，第三種情況，奇對(duì)稱(chēng)、奇數(shù)長(zhǎng)度，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。在其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。在0 0，2 處都有零點(diǎn)處都有零點(diǎn)第四種情況，奇對(duì)稱(chēng)、偶數(shù)長(zhǎng)度，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波第四種情況，奇對(duì)稱(chēng)、偶數(shù)長(zhǎng)度，可設(shè)

14、計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。0 0， 2 2 處有零點(diǎn)處有零點(diǎn)3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述243.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述例例1 1 N N=5, =5, h h (0) = (0) = h h (1) = (1) = h h (3) = (3) = h h (4) = -1/2, (4) = -1/2, h h (2) = 2 (2) = 2，求頻響函數(shù)，求頻響函數(shù)H H () ()，畫(huà)出幅頻響應(yīng)，畫(huà)出幅頻響應(yīng)253.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述例例1 1 N N=5, =5, h h (0) = (0) = h

15、 h (1) = (1) = h h (3) = (3) = h h (4) = -1/2, (4) = -1/2, h h (2) = 2 (2) = 2，求頻響函數(shù)，求頻響函數(shù)H H () ()，畫(huà)出幅頻響應(yīng)，畫(huà)出幅頻響應(yīng)H () = e-j2w (2 - cos- cos2)26 四種四種FIRFIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的相位特性相位特性只取決于只取決于h(n)h(n)的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性，而與而與h(n)h(n)的值無(wú)關(guān)。的值無(wú)關(guān)。幅度特性取決于幅度特性取決于h(n)h(n)。設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器時(shí)，在保證時(shí)，在保證h(n)h(n)對(duì)稱(chēng)的條件下，對(duì)稱(chēng)的條件下，只只要完

16、成幅度特性的逼近即可。要完成幅度特性的逼近即可。注意：當(dāng)注意：當(dāng)H()H()用用H()H()表示時(shí)，表示時(shí)，H()H()為為奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)固定相移固定相移。3.1 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述結(jié)論：結(jié)論：273.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）FIRFIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù) 去逼近去逼近 ，逼近方法有三種：，逼近方法有三種： 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近）頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近） 時(shí)間窗口設(shè)計(jì)法

17、時(shí)間窗口設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列h hd d(n)(n)。我們知道。我們知道h hd d(n)(n)可以從可以從理想頻響通過(guò)付氏反變換獲得理想頻響通過(guò)付氏反變換獲得 10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh28理想頻響理想頻響 是分段恒定，在邊界頻率處有突變是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)點(diǎn)理想單位脈沖響應(yīng)理想單位脈沖響應(yīng)h hd d(n)(n)往往都是往往都是無(wú)限長(zhǎng)序列無(wú)限長(zhǎng)序列，而且，而且是非因果是非因果辦法辦法: :直接截取一段直接截取一段 h hd

18、 d(n) (n) 代替代替 h(n)h(n) )(jdeH 3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）29 3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）h(n)h(n)是通過(guò)一個(gè)是通過(guò)一個(gè)“窗口窗口”所看到所看到的一段的一段h hd d(n) (n) 表達(dá)為表達(dá)為h(n)h(n)和一和一個(gè)個(gè)“窗函數(shù)窗函數(shù)”的的乘積，即乘積，即 h(n)=w(n) hh(n)=w(n) hd d(n) (n) 在這里窗口函數(shù)在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函就是矩形脈沖函數(shù)數(shù)R RN N（n n）30設(shè)計(jì)步驟：設(shè)計(jì)步驟：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd設(shè)10)(Nn

19、jnjenheH由定義3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）該式為有限項(xiàng)，該式為有限項(xiàng)，NN越大，誤差越小。但對(duì)越大，誤差越小。但對(duì)矩形窗截取還存在矩形窗截取還存在“吉吉布斯（布斯（GibbsGibbs）效應(yīng)）效應(yīng)”，這將使濾波器的特性很這將使濾波器的特性很差。差。31一一. .矩形窗口法矩形窗口法)(jdeH則 以一個(gè)截止頻率為 c的線性相位理想低通濾波器線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設(shè)計(jì)問(wèn)題。a. 對(duì)于給定的理想低通濾波器 ，計(jì)算：低通濾波器的延時(shí)：低通濾波器的延時(shí))(nhd3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域） ( )sin() ()cdcwnah nw nanan

20、a為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí)延時(shí) a應(yīng)為應(yīng)為h(n)長(zhǎng)度長(zhǎng)度N的一半的一半,即(1)/2N32為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNRb.計(jì)算)(nh3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）33c.計(jì)算 。設(shè) 為窗口函數(shù)的頻譜: 用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來(lái)表示，則有 其線性相位部分 則是表示延時(shí)一半長(zhǎng)度 ， )(jeWnNnjjNnjnjRjeeeenweW1011)()()2/sin()2/sin(21NeNjjRjeWeW)()(je2/ ) 1( N)(jeH)(*)()(jRjdjeWeHeH3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法

21、（時(shí)域）34兩個(gè)信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積，所以有deWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）()1( )()21( )()2jjdRjdRHeWedeHWd 相頻響應(yīng)未發(fā)生變化相頻響應(yīng)未發(fā)生變化35則實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。jjeHeH)()(dWHHRd)()(21)(3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）363.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）37)(RWNc2)(RW4 4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：個(gè)特殊頻率點(diǎn)

22、看卷積結(jié)果：（1 1）=0=0時(shí)時(shí),H(0),H(0)等于等于在在-c, c-c, c內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積因一般因一般故故H(0) H(0) 近似為近似為在在-, -, 內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）(2)=(2)=c c時(shí)，一半重疊，時(shí)，一半重疊，H(H(c c)=0.5 H(0);)=0.5 H(0);(3)=(3)=c c2/N2/N時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)出現(xiàn)正肩峰正肩峰； (4)=(4)=c c+2/N +2/N 時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)出現(xiàn)負(fù)肩峰負(fù)肩峰。38窗口

23、函數(shù)對(duì)理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過(guò)渡帶，寬為 ， 等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長(zhǎng)） 過(guò)渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng) ，與 N無(wú)關(guān)。（決定于窗口形狀） N增加,過(guò)渡帶寬減小,肩峰值不變。 因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（）的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。 xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N43900.250.5

24、0.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設(shè)計(jì)的c=/2 FIR濾波器的幅度響應(yīng)3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）40 改變窗函數(shù)的形狀改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶；相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實(shí)際上對(duì)同樣長(zhǎng)度的窗同樣長(zhǎng)度的窗這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。 肩峰值的大小肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰

25、減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。的衰減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）41幾種常用的窗函數(shù)： 1. 矩形窗，矩形窗，上面已講過(guò)，不再細(xì)述 2. 漢寧窗漢寧窗（升余弦窗） 利用付氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為： )(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）42)12(

26、)12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為 。 N83.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）433. 漢明窗漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗） 它是對(duì)漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)中在窗譜的主瓣內(nèi)。 4. 布萊克曼窗布萊克曼窗（三階升余弦窗） 增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加寬度進(jìn)一步增加，為 。增加N可減少過(guò)渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：

27、 )(12cos46.054.0)(nRNnnwN)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRRN1244下圖為N=31時(shí)，矩形窗矩形窗、三角窗三角窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及布萊布萊克曼克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）45下圖為下圖為N=51N=51時(shí)時(shí)矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及及布萊克曼布萊克曼4 4種窗口種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)函數(shù)的幅度響應(yīng)3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）465 . 051cN下圖為

28、下圖為N=51N=51時(shí)用時(shí)用矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及及布萊克曼布萊克曼設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)的低通濾波器的幅度響應(yīng)的低通濾波器的幅度響應(yīng)3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）475.凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來(lái)降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取 49。=5.44 接近漢明=8.5 接近布萊克曼=0 為矩形3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）483.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗

29、口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）2crc1）根據(jù)逼近濾波器的理想頻率響應(yīng)，計(jì)算截止頻率）根據(jù)逼近濾波器的理想頻率響應(yīng)，計(jì)算截止頻率設(shè)計(jì)過(guò)程設(shè)計(jì)過(guò)程2）確定通帶和阻帶波動(dòng)，通帶最大衰減為）確定通帶和阻帶波動(dòng)，通帶最大衰減為Ap，阻帶，阻帶最大衰減為最大衰減為Ar0.050.05101101ppApA3）由于通帶和阻帶等波動(dòng)，因此選擇最小的波動(dòng)）由于通帶和阻帶等波動(dòng)，因此選擇最小的波動(dòng)0.0510rAr4）用最小波動(dòng)重新計(jì)算）用最小波動(dòng)重新計(jì)算Ap， Ar5）計(jì)算過(guò)渡帶）計(jì)算過(guò)渡帶 =wr-wp6）計(jì)算）計(jì)算值值210!)2/(1)(kkkxxI49過(guò)渡帶寬過(guò)渡帶寬 Ar為最小衰減，此為經(jīng)驗(yàn)公式為最小衰減，此為經(jīng)

30、驗(yàn)公式0.40.1102(8.7),500.5842(21)0.07886(21),21500,2182.286rrrrrrrAAdBAAdBAdBAdBAN3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）503.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域） 過(guò)渡帶 通帶波紋（ dB） 阻帶最小衰減(dB) 2.120 3.00 /N 0.27 -30 3.384 4.46 /N 0.08647 -40 4.538 5.86 /N 0.0274 -50 5.658 7.24 /N 0.00868 -60 6.764 8.64 /N 0.00275 -70 7.865 10.0 /N 0.000868

31、-80 8.960 11.4 /N 0.000275 -90 10.056 12.8 /N 0.000087 -100 513.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器步驟：窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器步驟：1 1、根據(jù)要求求出理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)，通常無(wú)限長(zhǎng)、根據(jù)要求求出理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)，通常無(wú)限長(zhǎng)2 2、根據(jù)阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)類(lèi)型；根據(jù)過(guò)渡帶寬、根據(jù)阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)類(lèi)型；根據(jù)過(guò)渡帶寬要求，估計(jì)窗口的長(zhǎng)度要求，估計(jì)窗口的長(zhǎng)度3 3、計(jì)算、計(jì)算FIRFIR濾波器的窗函數(shù)濾波器的窗函數(shù)h h（n n）hdhd（n n）w w（n n）4 4、計(jì)算、計(jì)算h h（n

32、 n）的）的DFTDFT驗(yàn)證頻譜響應(yīng)是否滿(mǎn)足技術(shù)要求，如不驗(yàn)證頻譜響應(yīng)是否滿(mǎn)足技術(shù)要求，如不滿(mǎn)足，重復(fù)滿(mǎn)足，重復(fù)2 2，3 3，4 4H edj()H edj()02nkMjkMjdMkMeeHMnh2210)(1)(hnd( )若得不到 封閉式或不能用上式計(jì)算 時(shí)，可對(duì) 在 到 間等間隔采樣M，用下式代替上式的積分523.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）例例1 1：根據(jù)下面的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)：根據(jù)下面的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)FIRFIR線性相位低通濾波器線性相位低通濾波器0.99()1.01, 00.19()0.01, 0.21jwjwH ewH ew例例2 2：確定幅度頻響應(yīng)為下圖的理想

33、脈沖響應(yīng)：確定幅度頻響應(yīng)為下圖的理想脈沖響應(yīng)21/6/3533.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）例：根據(jù)下面的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)例：根據(jù)下面的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)FIRFIR線性相位線性相位LPFLPF20log(0.01)40dB 阻帶衰減：阻帶衰減：過(guò)渡帶：過(guò)渡帶：0.21 0.190.02漢寧漢寧：0.026.6 / 6.6/0.02330N N漢明：漢明：0.026.2 / 6.2/0.02310N N布萊克曼：布萊克曼：0.0211 / 11/0.02550N N543.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）例：確定幅度頻響應(yīng)為下圖的理想脈沖響應(yīng)例：確定幅度頻響應(yīng)為下圖的理想脈沖

34、響應(yīng)21/6/3121/3 ( )( )( )sin ()/3sin ()/6,()dddnah nhnhnnananana553.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）56nnnndeenhccnjjdcc/,)()(sin21)(2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 03.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）573.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）58 wn=kaiser(30,4.55);nn=0:1:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(pi*(nn-alfa);h=hd.*

35、wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(歸一化頻率/)ylabel(幅度/dB)3.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）593.3 頻率采樣法頻率采樣法一、基本思想一、基本思想 使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點(diǎn)點(diǎn)頻率取樣確定內(nèi)插公式60二二.設(shè)計(jì)方

36、法設(shè)計(jì)方法1）確定頻率采樣值2）利用IDFT計(jì)算3）計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)或頻率響應(yīng),kkH(),()jwHeHZ)(nh,)()(2kjkNkjdeHkHeH0,1,1kN,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn1010()( )( )( )NjwjwnnNnnH eh n eH zh n z3.3 頻率采樣法頻率采樣法61三、 約束條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿(mǎn)足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖濾波器，其單位脈沖響應(yīng)響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿(mǎn)足是實(shí)序列，且滿(mǎn)足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的

37、約束。)1()(nNhnh3.3 頻率采樣法頻率采樣法下面以偶對(duì)稱(chēng)條件下面以偶對(duì)稱(chēng)條件h(n)=h(N-n-1)為例說(shuō)明設(shè)計(jì)公式為例說(shuō)明設(shè)計(jì)公式。62kNjeHkH2)()(H ej()( )02 對(duì) 在 等間隔N點(diǎn)采樣得H(k) ,k=0,1,N-1 ) 1(21)(N對(duì)線性相位濾波器，其相位響應(yīng)為： )()()(jgjeHeH 幅度響應(yīng)幅度響應(yīng))(nh)()()(kjgekHkH令kNggHkH2)()(則：kNk2)()(,3.3 頻率采樣法頻率采樣法63)(kHg對(duì)頻率采樣的幅度值 有：)()(kNHkHggN N為奇數(shù)為奇數(shù) )()(kNHkHgg0)2()2(NHNHgg及N N為

38、偶數(shù)為偶數(shù) 按線性相位的偶對(duì)稱(chēng)條件: )(gH)2()(ggHH若若N N為偶數(shù)，為偶數(shù)，對(duì)對(duì)為奇對(duì)稱(chēng)為奇對(duì)稱(chēng): : )(gH)2()(ggHH對(duì)對(duì)為偶對(duì)稱(chēng)為偶對(duì)稱(chēng): : 若若N為奇數(shù)，為奇數(shù)，kNNNkNNNkN1) 1()(1)(kNNkNNk12) 1(21)( ，k =0,1,(N-1)/2按式 對(duì)相位進(jìn)行頻率采樣得： 2/) 1()(N3.3 頻率采樣法頻率采樣法64NkNjjNkNjNjee) 1() 1() 1(對(duì)對(duì)N N為偶數(shù)為偶數(shù)，(N-1)為奇數(shù) 取kNNkN1)( ，k=0,1,N/2-1NkNjNkNjNjee) 1() 1() 1(對(duì)對(duì)N N為奇數(shù)為奇數(shù)，(N-1)為

39、偶數(shù)kNNkN1)( 取 ，k=0,1,(N-1)/2綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：3.3 頻率采樣法頻率采樣法65綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：綜合以上分析，可得到設(shè)計(jì)公式如下：)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,對(duì)對(duì)N N為奇數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：為奇數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：k=0,1,(N-1)/20)2(,NHg)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,，k=0,1,N/2-1對(duì)對(duì)N N為偶數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：為偶數(shù)，設(shè)計(jì)公式為：3.3 頻率采樣法頻率采樣法66 濾波器的頻率響應(yīng)jez 將 代入頻率采樣公式頻率采樣公式得：)2()(

40、)()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中Nk21, 2 , 1 , 0,Nk1)2(Nk在采樣點(diǎn)在采樣點(diǎn)與NkjkkeH/2)(無(wú)誤差)()(2NkjdeHkH但在采樣點(diǎn)之間在采樣點(diǎn)之間， 兩者誤差與 特性的平滑程度有關(guān)： )(jdeH在 幅度曲線的平滑段，誤差較小幅度曲線的平滑段，誤差較小，但在曲線的間曲線的間斷點(diǎn)附近，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差斷點(diǎn)附近，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，使得濾波器的阻帶性能變壞 。誤差還與采樣點(diǎn)數(shù)N有關(guān)，N越大誤差越小越大誤差越小。)(jdeH3.3 頻率采樣法頻率采樣法67為提高阻帶衰減，常用增加過(guò)渡帶法如右圖為提高阻帶衰減，常

41、用增加過(guò)渡帶法如右圖3.3 頻率采樣法頻率采樣法68| )()(|jdjeHeH優(yōu)化原則：優(yōu)化原則：在通帶內(nèi)要求min| )()(|maxjdjeHeH在阻帶內(nèi)要求例例 用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，通帶截止頻率radp2 . 0的偶對(duì)稱(chēng)情況。，采樣點(diǎn)數(shù)N=20，采用h(n)=h(N-n-1)2 , 0解解：N=20，在范圍內(nèi)等間隔采樣，顯然，在通帶共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0,1,2radN1 . 0/2采樣間隔為：173019181201)(kkkkHg1918)20(95. 02095. 02025 . 9)(kkkkkk又N為偶數(shù)，可得：3.3 頻率采樣法頻率采樣法69)()()(k

42、jgekHkH)(kHg)(k將 和 代入)(kH)(zH)(nh求得 ，進(jìn)而求得或其相位響應(yīng)為線性相位。過(guò)渡帶為：2/20 /10其幅度響應(yīng)如下圖，圖中還給出了其單位脈沖響應(yīng)3.3 頻率采樣法頻率采樣法70346035, 53904. 03936, 401)(kkkkkkHg3935)40(975. 050975. 04025 .19)(kkkkkk)(nh)(kHg)(k由上圖 d）可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶衰減很小，只有-16dB。為了改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，為了保證過(guò)渡帶寬不變，將采樣點(diǎn)數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過(guò)渡點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=0.3904，得到

43、和 分別為過(guò)渡帶為（2/402） /10，求得的單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示。3.3 頻率采樣法頻率采樣法713.3 頻率采樣法頻率采樣法72)(kHg)(k由上圖 d）可見(jiàn)，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到了-43dB。為了進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再增加一個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，并將采樣點(diǎn)數(shù)增加到60，兩個(gè)過(guò)渡樣點(diǎn)值經(jīng)優(yōu)化分別為=0.5925和=0.1099, 相應(yīng)的 和 分別為106,54590.59257,53( )0.10998,520851gkkkkHkkkk5952)60(983. 080983. 06025 .29)(kkkkkk)(nh過(guò)渡帶為（2/603） /10所得單位脈沖響應(yīng)和幅度響應(yīng)如下圖所示

44、。 3.3 頻率采樣法頻率采樣法733.3 頻率采樣法頻率采樣法74增大阻帶衰減三種方法：增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。 2）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)利用線性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。上例中H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時(shí) 的阻帶衰減大大改善。 3）增大增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。75小結(jié)

45、：小結(jié)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度； 缺點(diǎn)：截止頻率難以控制截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。76最優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常用的準(zhǔn)則有 最小均方誤差準(zhǔn)則 最大誤差最小化準(zhǔn)則。3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)77

46、deEdeHeHjjjd22221211) 均方誤差最小化準(zhǔn)則， 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為)()(jjdjeHeHeE）（3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差 ，這一方，這一方法注重的是在整個(gè)法注重的是在整個(gè)-頻率區(qū)間內(nèi)頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小總誤差的全局最小，但，但不不能保證局部頻率點(diǎn)的性能能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差。，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差。min278對(duì)于窗口法窗口法FIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為

47、：如果采用矩形窗 則有ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnh3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)這是一個(gè)最小均方誤差。矩形窗窗口設(shè)計(jì)法是一個(gè)最小均方矩形窗窗口設(shè)計(jì)法是一個(gè)最小均方誤差誤差FIR設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)其優(yōu)點(diǎn)是過(guò)渡帶較窄過(guò)渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大局部點(diǎn)誤差大,或者說(shuō)誤差分布不均勻。792) 最大誤差最小化準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳一致逼近準(zhǔn)則）表示為其中F是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇選擇N個(gè)頻率采樣值個(gè)頻率采樣值 （ 或或時(shí)域時(shí)域 h(n) 值值

48、），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達(dá)），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達(dá)到最小。也叫等波紋逼近。到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，誤差分布均勻， 相同指標(biāo)下，可用相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)最少的階數(shù)達(dá)到最佳化達(dá)到最佳化。 min| )(|maxjeEF3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)80切比雪夫最佳一致逼近切比雪夫最佳一致逼近用等波紋逼近法設(shè)計(jì)濾波器需要確定五個(gè)參數(shù)： M、c、r、1、2按上圖所示的誤差容限設(shè)計(jì)低通濾波器，就是說(shuō)要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差 1 逼近1，在阻帶r 內(nèi) 以最大誤差2逼近零。 3.4 最大誤差最小

49、化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)cr813.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)要同時(shí)確定上述五個(gè)參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法兩種逼近方法： 1）給定M、1、2，以c和r為變量。 缺點(diǎn)：邊界頻率不能精確確定。 2）給定M、c和r，以1和2為變量，通過(guò)迭代運(yùn)算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切比雪切比雪 夫最佳一致逼近夫最佳一致逼近。 特點(diǎn)：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 82一.誤差函數(shù)誤差函數(shù) 定義逼近誤差函數(shù)： )()(HHWEd E 為所設(shè)計(jì)的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值， 是已知的權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值， 所要設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻特性 理想濾

50、波器的幅頻特性 W H dH3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)83 rcdH001 rckW101例如，希望在固定 M, c, r 的情況下逼近一個(gè)低通濾波器，這時(shí)有21k21cos)()(0NMnnaHMn21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha對(duì)于第一種線性相位濾波器（偶對(duì)稱(chēng)，奇數(shù)長(zhǎng)度）3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)840( )( )( )( )cosMdnEWHa nn切比雪夫逼近問(wèn)題變?yōu)?，尋求一組系數(shù)使逼近誤差的最大切比雪夫逼近問(wèn)題變?yōu)?，尋求一組系數(shù)使逼近誤差的最大值達(dá)到最小，即值達(dá)到最小，即, 1 , 0),(Mnna2minmaxE 給定后等效于求 最小。c0r21/k3.4 最大誤差最小化設(shè)計(jì)最大誤差最小化設(shè)計(jì)85二二.交替定理（最佳逼近定理）交替定理（最佳逼近定理） 令F表示閉區(qū)間 的任意閉子集，為了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要條件是誤差函數(shù) 在 F 上至少應(yīng)