第四章_相似原理和量綱分析

1、第四章第四章相似原理和量綱分析相似原理和量綱分析4.14.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似4.24.2 動力相似準則動力相似準則4.34.3 流動相似條件流動相似條件4.44.4 近似的模型試驗近似的模型試驗4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似三類表征流動過程的物理量：三類表征流動過程的物理量：流場的幾何形狀 流體的運動狀態(tài) 流體的動力性質(zhì) 模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等L一、幾何相似一、幾何相似 L長度比例尺長度比例尺面積比例尺面積比例尺體積比例尺體積比例尺llkl222lAkllAAk333lVkllVVk線性長度對應(yīng)成比例，則對應(yīng)角度必

2、然相等。 l l 4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似 模型與原型的流場在滿足幾何相似的基礎(chǔ)上，所有對應(yīng)點和對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、運動相似二、運動相似 vvkvvltkkvlvlttk/lvtvakkkktvtvaak2/速度比例尺速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺時間比例尺時間比例尺4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似 模型與原型的流場在滿足幾何相似的基礎(chǔ)上，所有對應(yīng)點和對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、運動相似（續(xù)）二、運動相似（續(xù)） vltlVVqkkkktltlqqkV2333/體積流量比例尺體積流量比例尺運動粘度比例尺運動粘度比

3、例尺角速度比例尺角速度比例尺vltlkkkktltlk222/lvkklvlvk/4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似 模型與原型的流場所有對應(yīng)點和對應(yīng)時刻，作用在流體上的所有力彼此方向相同，而它們大小的比例相等。三、動力相似三、動力相似 FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFma .giPFPgiFFFFkFFFF力的比例尺力的比例尺PFFgFiF總壓力總壓力切向力切向力重力重力慣性力慣性力4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似四、幾何相似、運動相似和動力相似三者間的關(guān)系四、幾何相似、運動相似和動力相似三者間的關(guān)系 動力相似是決定運動相似的主導(dǎo)因素。 幾何相似

4、、運動相似和動力相似是模型流場和原型幾何相似、運動相似和動力相似是模型流場和原型流場相似的重要特征。流場相似的重要特征。 幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件。 運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺 lk長度比例尺長度比例尺速度比例尺速度比例尺密度比例尺密度比例尺vk22/vlFVaFiikkkkkkaVFVaFk常選取、l、v的比例尺為為基本比例尺 4.1 4.1 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺（續(xù)）五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺（續(xù)） 用基本比例尺表示的其

5、它動力學(xué)比例尺22FlvFkk k kF力的比例尺力的比例尺力矩（功、能）比例尺力矩（功、能）比例尺壓強（應(yīng)力）比例尺壓強（應(yīng)力）比例尺23vllFMkkkkkFllFMMk 功率比例尺功率比例尺動力粘度比例尺動力粘度比例尺2/vAFPPpkkkkAFAFppk32vlvFPkkkkkFvvFPPk/()lvxxF dyFdykk k kA dvAdv4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則一、牛頓相似準則一、牛頓相似準則dtVdvt dvdVFF/2222vlFvlF 122vlFkkkkNevlF22牛頓數(shù)牛頓數(shù) 模型與原型的流場動力相模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等。似，它

6、們的牛頓數(shù)必定相等。Fm aFma FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFm a 4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則二、各單項力相似準則 模型與原型的流場動力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、黏性力、壓力、彈性力、表面張力等）都要服從牛頓相似準則，即各單項力作用下的相似準則）。重力相似準則重力相似準則黏性力相似準則黏性力相似準則表面張力相似準則表面張力相似準則彈性力相似準則彈性力相似準則壓力相似準則壓力相似準則()mamamgmg ()xxmamadvdvAAdydy ()mamapApA ()mamaKAKA ()mamall 4.2 4

7、.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）1.重力相似準則在重力作用下相似的流動，其重力場相似。glggFkkkVggVFFk31)(2/1glvkkk代入代入Frglvlgv 2/12/1)()( FrFr弗勞德數(shù)，表征慣弗勞德數(shù)，表征慣性力與重力的比值。性力與重力的比值。122vlFkkkk兩個流場重力相似，它們的弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。弗勞德數(shù)反映重力對流體的作用，與重力有關(guān)的現(xiàn)象由Fr決定，例如波浪運動，興波阻力等。FrFr 4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）2.黏性力相似準則在黏性力

8、作用下相似的流動，其黏性力場相似。代入代入122vlFkkkklvxxFkkkAdydvAydvdFFk)/()/(1vlvlk k kk kkkRev lvlv lvl Re雷諾數(shù)，表征慣性雷諾數(shù)，表征慣性力與粘滯力的比值。力與粘滯力的比值。兩個流場黏性力相似，它們的雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。雷諾數(shù)反映黏性力對流體的作用，與黏性力有關(guān)的現(xiàn)象由Re決定，比如流動的流態(tài)：湍流，層流。ReRe l為定型尺寸4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）3.壓力相似準則在壓力作用下相似的流動，其壓力場相似。代入代入122vlFkkkk2lpppFkkpA

9、ApFFk12vpkkkEuvpvp22 Eu歐拉數(shù)，表征壓力與歐拉數(shù)，表征壓力與慣性力的比值。慣性力的比值。兩個流場壓力相似，它們的歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。歐拉數(shù)反映壓力對流體的作用，與壓力有關(guān)的現(xiàn)象由Eu決定，比如空泡現(xiàn)象、空泡阻力等。EuEu 4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）4.彈性力相似準則對于可壓縮流的模型試驗，由壓縮引起的彈性力場相似。代入代入122vlFkkkk2/lKeeFkkVKAdVVVdAKdpAApdFFk12KvkkkCaKvKv22 Ca柯西數(shù)，表征慣柯西數(shù)，表征慣性力與彈性力的比值。性力與彈性力的比值。

10、CaCa 4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）4.彈性力相似準則彈性力相似準則（氣體）222, vvvCaMaKcc Ma馬赫數(shù)，表征慣性力馬赫數(shù)，表征慣性力與彈性力的比值。與彈性力的比值。對于氣體滿足2/cK（c c為聲速），為聲速），兩個流場彈性力相似，它們的馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。馬赫數(shù)反映彈性力對流體的作用，與彈性力有關(guān)的現(xiàn)象由Ma決定，比如氣體高速流動的特征等。MaMa 4.2 4.2 動力相似準則動力相似準則二、各單項力相似準則（續(xù)）二、各單項力相似準則（續(xù)）5.表面張力相似準則在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布相似

11、。代入代入122vlFkkkklFkkllFFk 12kkkkvlWelvlv22 We韋伯數(shù)，表征慣性韋伯數(shù)，表征慣性力與表面張力的比值。力與表面張力的比值。兩個流場表面張力相似，它們的韋伯數(shù)必定相等，反之亦然。韋伯數(shù)反映表面張力對流體的作用，與表面張力有關(guān)的現(xiàn)象由We決定，比如液體射流的分裂與霧化等。WeWe 4.3 4.3 流動相似條件流動相似條件一、流動相似條件一、流動相似條件保證流動相似的必要和充分條件。1.相似的流動都屬于同一類的流動，應(yīng)為相同的微分方程所描述。2.單值條件相似幾何條件3.由單值條件中的物理量所組成的相似準則數(shù)相等。邊界條件（進口、出口的速度分布等）物性條件（密度、

12、黏度等）初始條件（初瞬時速度分布等）4.3 4.3 流動相似條件流動相似條件二、相似條件解決的問題二、相似條件解決的問題2.試驗中應(yīng)測定準則數(shù)中包含的需要測定的一切物理量,并把它們整理成相似準則數(shù)。3.按相似準則數(shù)去整理試驗結(jié)果,總結(jié)得出的準則方程式,可推廣應(yīng)用到原型及其相似流動中。1.根據(jù)單值條件相似和定性準則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型,選擇模型中的流動介質(zhì)。相似條件解決的問題定性物理量定性物理量: :單值條件中已知的各物理量定性準則數(shù)定性準則數(shù): :定性物理量組成的相似準則數(shù)4.4 4.4 近似的模型試驗近似的模型試驗 在設(shè)計模型和組織模型試驗時，在與流動過程有關(guān)的定性準則中只考慮那些對流動過

13、程起主導(dǎo)作用的定性準則，而忽略那些對過程影響較小的定性準則，以達到模型流動與原型流動的近似相似。例如例如: :不可壓縮黏性流體管內(nèi)流動不可壓縮黏性流體管內(nèi)流動對流動起主導(dǎo)作用的力是黏性力,故主要保持模型與原型Re相等。對流動起主導(dǎo)作用的力是重力,故主要保持模型與原型Fr相等。特例：特例：“自模化自?；爆F(xiàn)象現(xiàn)象有自由面的流動（明渠流動）有自由面的流動（明渠流動）4.4 4.4 近似的模型試驗近似的模型試驗例：某大壩的泄洪道寬為20m，設(shè)計泄洪能力為125m3/s?，F(xiàn)準備用1:15的模型來研究此泄洪道的流通特性。試確定模型的寬和流量。對應(yīng)于泄洪道泄洪24h，模型應(yīng)工作多長時間？解：按照幾何相似，

14、模型的寬應(yīng)為1201.33 m15lbb k 除了寬以外，其他的幾何尺寸也應(yīng)具有同樣的比例尺。這種有自由面的流動主要是重力起作用，故模型和原型Fr相等則可認為動力相似，即/vglvgl由于g=g，則/ (1)lvvllk4.4 4.4 近似的模型試驗近似的模型試驗VqvA由于流量 ，則25/2115VVqv AllqvAll 所以5/2311250.143 m /s15Vqtlkk時間比例系數(shù)、長度比例系數(shù)和速度比例系數(shù)之間有關(guān)系式vltkkvlvlttk/ (1)lvvllk所以1/50246.2 httk t 可見模型的實驗時間比對應(yīng)原型的工作時間短得多。只要長度的比例系數(shù) ，模型的實驗時

15、間就可比對應(yīng)原型的工作時間短。這一點很有用，這說明發(fā)生在原型的漫長過程，可以在模型實驗中短時間內(nèi)完成。 1lk 4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則1.量綱物理量單位的種類，用符號dimx或x表示?；玖烤V：基本量綱：長度（L）、時間（T）、質(zhì)量（M）、溫度（）具有獨立性、唯一性彼此獨立、不能互相導(dǎo)出的量綱稱為基本量綱。任何物理方程中各項的量綱必定相同，這就是量綱的一致性原理。只有同種量才能相加減，長度和重量相加減沒有意義。4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則( (續(xù)）續(xù)）1.量綱（續(xù)）導(dǎo)出

16、量綱：導(dǎo)出量綱：速度dimv = LT-1 加速度dima = LT-2 密度dim = ML-3 力dimF = MLT-2 壓強dimp = ML-1T-2 表面張力dim = MT-2 體積模量dimK = ML-1T-2 動力粘度dim = ML-1T-1 運動粘度dim = L2T-1 比熱容dimcp= dimcv = L2T-2-1 氣體常數(shù)dimR = L2T-2-1。4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則( (續(xù)）續(xù)）2.物理方程量綱一致性原則 正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其各項的量綱必然相同。 用量綱表示的物理方程必定是齊次

17、性的。 滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變?yōu)闊o量綱方程，即準則方程式。為無量綱方程，即準則方程式。例如例如: :伯努利方程伯努利方程Hgpzgv22122gHpHzgHv無量綱方程無量綱方程4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法二、瑞利法二、瑞利法 假設(shè)一種物理量（被定量）y受另一些物理量（主定量）x1、 x2、. 、xn的影響并由其決定，則可用主定量的冪次之積的函數(shù)來表示被定y。基本思想：假定各物理量之間是指數(shù)形式的乘積組合。1212k.naaanyx xx式中，k為無量綱系數(shù)，由試驗確定。 a1、 a2、. 、an

18、為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。 已知管流的特征流速已知管流的特征流速vc與流體的密度與流體的密度、動力粘度、動力粘度和管徑和管徑d有關(guān)，試有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立用瑞利量綱分析法建立vc的公式結(jié)構(gòu)。的公式結(jié)構(gòu)。解式中k為無量綱常數(shù)。各物理量的量綱為：1311dim, dimdim, dimcvLTMLML TdL代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程假定kcvdLTMLMLLT)()(11314.5 4.5 量綱分析法量綱分析法根據(jù)量綱齊次性原理，有1:31:0:TLM解上述三元一次方程組得：1, 1, 1故得：dkvc其中常數(shù)k需由實驗確定。w瑞利法一般用于影響流動的參數(shù)個數(shù)不超過瑞利法一般用于影響流動的