第七章系統(tǒng)函數(shù)

1、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析中具有重要的地位。系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析中具有重要的地位。 （1）可描述系統(tǒng)的微（差）分方程）可描述系統(tǒng)的微（差）分方程 （2）與沖激（單位序列）響應(yīng)構(gòu)成直接變換關(guān)系。）與沖激（單位序列）響應(yīng)構(gòu)成直接變換關(guān)系。 （3）反映時域特性頻域特性）反映時域特性頻域特性 （4）與框圖、信號流圖有對應(yīng)關(guān)系）與框圖、信號流圖有對應(yīng)關(guān)系 （5）完成系統(tǒng)綜合）完成系統(tǒng)綜合 本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 一、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 三、信號流圖三、信號流圖 四、系統(tǒng)模擬四、系統(tǒng)模擬系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 一、系統(tǒng)

2、的零點與極點一、系統(tǒng)的零點與極點 二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng)二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng) 三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)一、系統(tǒng)的零點與極點一、系統(tǒng)的零點與極點 LTILTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s s或或z z的有理分式的有理分式, ,它是它是s s或或z z的有理多項式的有理多項式B() B() 與與A () A () 之比。之比。)()()( ABH對于連續(xù)系統(tǒng)對于連續(xù)系統(tǒng)niimjjmnnnmmmmpssbasasasbsbsbsbsAsBsH1101110111)()(.)()()( 對于離散系統(tǒng)對于離散系統(tǒng)niimjjmnnnmmmmpzzbazazazb

3、zbzbzbzAzBzH1101110111)()(.)()()(A()=0A()=0的根的根p p1 1，p p2 2，p pn n稱為系統(tǒng)函數(shù)稱為系統(tǒng)函數(shù)H()H()的的極點；極點； B()=0B()=0的根的根 1 1， 2 2， m m稱為稱為系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H H（）的零點的零點 極點極點p pi i和零點和零點i i的值可能是實數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。的值可能是實數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于由于A()A()和和 B()B()的系數(shù)都是實數(shù)，所以零、極點若為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，的系數(shù)都是實數(shù)，所以零、極點若為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必共軛成對。則必共軛成對。 例例1、已知系統(tǒng)函數(shù)如下所示，請求出系統(tǒng)的、已知系統(tǒng)函數(shù)如

4、下所示，請求出系統(tǒng)的零、極點，并畫出其分布圖零、極點，并畫出其分布圖) 1() 1()2(2)(22ssssH解：零點：2；極點：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j將零點、極點畫在復(fù)平面上得到零、極點分布圖（2） j j -j -1 -2極點用“”表示；零點用“o”表示。本題：由本題：由H(s)得到零極點圖得到零極點圖 例例2、已知H(s)的零、極點分布圖如下圖所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表達(dá)式。 j j2 -j2 -1解：極點p1-1j2;p2=-1-j2 零點0所以52)21)(21()(2ssksjsjskssH根據(jù)初值定理，有252lim)(lim)0(22kssksss

5、Hhss522)(2ssssH本題：由零極點圖得到本題：由零極點圖得到H(s)二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)H()與時域響應(yīng)與時域響應(yīng)h() 沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點確定。的極點確定。 下面討論下面討論H(.)極點的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。極點的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1連續(xù)因果系統(tǒng)連續(xù)因果系統(tǒng) H(s)按其極點在按其極點在s平面上的位置可分為平面上的位置可分為:在左半開平在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半平面）在左半平面 若系統(tǒng)函數(shù)有若系統(tǒng)函數(shù)

6、有負(fù)實單極點負(fù)實單極點p= (0)，則，則A(s)中有因中有因子子(s+)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-t(t) (b) 若有若有一對共軛復(fù)極點一對共軛復(fù)極點p12=-j，則，則A(s)中有因中有因子子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t) (c) 若有若有r重極點重極點，則則A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其響應(yīng)為，其響應(yīng)為Kiti e-t(t)或或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1) 以上三種情況：當(dāng)以上三種情況：當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于時，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。暫態(tài)分量。 （2）在虛軸上）在虛軸上 (a)單極點單

7、極點p=0或或p12=j，則響應(yīng)為則響應(yīng)為K(t)或或Kcos(t+)(t)-穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 (b) r重極點重極點，相應(yīng)，相應(yīng)A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其響應(yīng)函數(shù)為，其響應(yīng)函數(shù)為Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)遞增函數(shù)遞增函數(shù) （3）在右半開平面在右半開平面 ：均為均為遞增函數(shù)遞增函數(shù)。 綜合結(jié)論綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。的極點確定。 H(s)在左半平面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。在左半平面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于時，響應(yīng)均趨于0。

8、 H(s)在虛軸上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。在虛軸上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。 H(s)在虛軸上的高階極點或右半平面上的極點，其所在虛軸上的高階極點或右半平面上的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于時，響應(yīng)均趨于。 2離散因果系統(tǒng)離散因果系統(tǒng) H(z)按其極點在按其極點在z平面上的位置可分為平面上的位置可分為:在在單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)、在在單位圓上單位圓上和在和在單位圓外單位圓外三類。三類。根據(jù)根據(jù)z與與s的對應(yīng)關(guān)系，有的對應(yīng)關(guān)系，有結(jié)論結(jié)論： H(z)在單位圓內(nèi)的極點所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。在單位圓內(nèi)的極點所對應(yīng)的響應(yīng)序

9、列為衰減的。即當(dāng)即當(dāng)k時，響應(yīng)均趨于時，響應(yīng)均趨于0。 H(z)在單位圓上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)在單位圓上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。態(tài)響應(yīng)。 H(z)在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k時，響應(yīng)均時，響應(yīng)均趨于趨于。 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與其極點的關(guān)系：系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與其極點的關(guān)系： 根據(jù)收斂域的定義，H(.)收斂域不能含收斂域不能含H(.)的極點。的極點。 例3、某離散系統(tǒng)函數(shù)為35 . 0)(zzzzzH（1）若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k)；（2）若系統(tǒng)

10、為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k) ；（3） 若系統(tǒng)為雙邊序列，求單位序列響應(yīng)h(k) ；解解： （1）因為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|3; 所以)(3)21()(kkhkk（2）因為系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|1/2; 所以) 1(3)21()(kkhkk（3）因為系統(tǒng)為雙邊序列，所以收斂域為1/2|Z|0niimjjmpssbsAsBsH11)()()()()(結(jié)論結(jié)論：1 1）LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的自由響應(yīng)（書連續(xù)系統(tǒng)的自由響應(yīng)（書P 42 P 42 ）、沖擊響應(yīng)的函數(shù)形）、沖擊響應(yīng)的函數(shù)形式由式由H(s)H(s)的極點確定。的極點確定。2 2）H(s)H(s)在左半開平

11、面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是衰減的，在左半開平面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是衰減的， 當(dāng)當(dāng)t - t - 時，對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)趨近于零。極點全部在左半時，對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)趨近于零。極點全部在左半平面的系統(tǒng)是平面的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)（見（見7.27.2）。）。3 3）H(s)H(s)在虛軸上的一階極點對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)的幅度不隨時間變在虛軸上的一階極點對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)的幅度不隨時間變化。化。4 4） H(s)H(s)在虛軸上的二階及二階以上的極點或在右半開平面上的在虛軸上的二階及二階以上的極點或在右半開平面上的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都隨極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都隨t t的增長而增大，當(dāng)?shù)脑鲩L而增大，當(dāng)

12、t t趨于無限時，趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。見書P2372、離散系統(tǒng)、離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)的極點，按其在的極點，按其在z z平面的位置平面的位置可分為：可分為：在單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三類。在單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三類。S S域與域與Z Z域的關(guān)系域的關(guān)系zTsezsTln1,T為取樣周期S表示為直角坐標(biāo)形式,jsjTjTTjeeeez)(TeT,Z表示為坐極標(biāo)形式可見，可見，S平面的左半平面(0)對應(yīng)Z平面的圓內(nèi)(|Z|= 時，對應(yīng)的響應(yīng)序列趨近于零。極點全部在時，對應(yīng)的響

13、應(yīng)序列趨近于零。極點全部在 單單位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。3)、 H(z)H(z)在單位圓上的一階極點對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度不隨在單位圓上的一階極點對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度不隨時間變化。時間變化。4)、 H(z)在單位圓上的二階及二階以上的極點或在單位圓外的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都隨k的增長而增大，當(dāng)k趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng) 在在s s平面上，任意復(fù)數(shù)（常數(shù)或變數(shù)）都可以平面上，任意復(fù)數(shù)（常數(shù)或變數(shù)）都可以用有向線段表示用有向線段表示j j i pi jj oAiBj零、極點矢量圖零、極點矢量圖)(

14、)(| )()(11iinjjmmjspjjbsHjH1、連續(xù)系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)要求系統(tǒng)函數(shù)的極點都在左半開平面要求系統(tǒng)函數(shù)的極點都在左半開平面 對于任意極點對于任意極點 p pi i和零點和零點j j 令令jijjjjiieBjeApj式中式中Ai、Bj分別是差矢量（分別是差矢量（ j-pi)和（和（ j- j ） 的模，的模， i、 j 是它們的輻角。于是，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為：是它們的輻角。于是，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為：)()(21)(21)()(2121jjnjmmejHeAAAeBBBbjHnm 相頻響應(yīng)：相頻響應(yīng)：式中幅頻響應(yīng)式中幅頻響應(yīng)：nmmAAABBBbjH 2121)( )()()(21

15、21nm 提示：提示：把頻率把頻率 從從0（或（或- ）變化到）變化到+ ,根據(jù)各矢量根據(jù)各矢量模和幅角的變化，就可大致畫出幅頻響應(yīng)和相頻響模和幅角的變化，就可大致畫出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。應(yīng)曲線。 例例1、某線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點如圖所示,已知H(0)=1。 (1)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) (2)若該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為)(2121)(32teeetytttzs求其激勵求其激勵(3)大致畫出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性 j -1 -2 -3 0 解解:(1) 根據(jù)零極點圖，得根據(jù)零極點圖，得)3)(2()(ssksH因為H(0)=1K=62626)3)(2(6)(sssssH)(21

16、)()()()(6)(32032teedhtgteethttttt（2）) 1(61)()()()3)(2)(1(1)(ssHsYzssFssssYzs)(61)(tetft (3)因為極點均在左半開平面，所以因為極點均在左半開平面，所以) 3)(2(6| )()(jjsHjHjsjjjejwHeAeA| )(|62121根據(jù)上式可分別畫出其幅頻曲線和相頻曲線 j -1 -2 -3 0A1A221-8-6-4-202468-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5)(|6| )(|2121AAjH-80-60-40-2002040608000.10.20.30.40.50.60.

17、70.80.91-80-60-40-20020406080-4-3-2-101234幅頻曲線相頻曲線 全通函數(shù)：全通函數(shù)： 如果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)| |H H( (jj) )對所有的對所有的均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)函均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。數(shù)稱為全通函數(shù)。 以二階系統(tǒng)為例說明。以二階系統(tǒng)為例說明。如有二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)在左平面有如有二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)在左平面有 一對共軛極點：一對共軛極點： p p1,21,2= = j j ，令，令s s1 1= =p p1 1， s s2 2= =p p2 2，它在右半平面上，它在右半平

18、面上有一對共軛零點有一對共軛零點 1 1= = j= sj= s1 1， 2 2= = j= sj= s2 2，那么系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點對于那么系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點對于jj軸是鏡像對稱的。軸是鏡像對稱的。其系統(tǒng)函數(shù)可寫為：其系統(tǒng)函數(shù)可寫為：)()()()()(*11*112121sssssssssssssssssH 其頻率特性為：其頻率特性為：對所有的對所有的有有A A1 1=B=B1 1， A A2 2=B=B2 2，所以幅頻特性，所以幅頻特性)(21212121212)()()( jeAABBsjsjsjsjjH1)( jH相頻特性：相頻特性：)2arctan(22)(2222121 上述

19、幅頻響應(yīng)為常數(shù)的系統(tǒng)，對所有頻率的正弦信號都一律平上述幅頻響應(yīng)為常數(shù)的系統(tǒng)，對所有頻率的正弦信號都一律平等地傳輸，因而被稱為全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。等地傳輸，因而被稱為全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。無失真?zhèn)鬏?？無失真?zhèn)鬏敚? 1 jjoA1B1s2 -s1-s222s1A2B22 1H| j |H| j |() ()如下圖所示：如下圖所示： 最小相移函數(shù)最小相移函數(shù):右半開平面沒有零點的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。最小相移函數(shù)。全通函數(shù)全通函數(shù):若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)| H(j)|為常數(shù)，則稱為為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的其相應(yīng)的H(s)稱為稱為全通函數(shù)全通函

20、數(shù)。凡極點位于左半開平面，零點位。凡極點位于左半開平面，零點位于右半開平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱于右半開平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。 2、離散因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、離散因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 若H(z)的極點均在單位圓內(nèi)，則它在單位圓上也收斂，頻率響應(yīng)為：)()(| )()(11ijnijjmjmezjpeebzHeHj式中式中 Ts, 為原來信號的角頻率，為原來信號的角頻率， Ts為取樣周期為取樣周期系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) 例7.1-2 某離散

21、因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)13) 1(2)(zzzH求其頻率響應(yīng)。求其頻率響應(yīng)。解：解：由H(z)的表達(dá)式可知，其極點在p=1/3處，故收斂域包括單位圓，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（= Ts）)3()(213) 1(2| )()(222222jjjjjjjjezjeeeeeeeezHeHj)2tan(12)2sin(4)2cos(2)2cos(4jj 其幅頻響應(yīng)為)2(tan412| )(|2jeH相頻響應(yīng)為)2tan(2arctan)(響應(yīng)曲線？響應(yīng)曲線？ 01234567-2-1.5-1-0.500.511.52一、系統(tǒng)的因果性一、系統(tǒng)的因果性 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

22、y yzszs()()不出現(xiàn)不出現(xiàn)于激勵于激勵f f()()之前的系統(tǒng)。即對于任意的之前的系統(tǒng)。即對于任意的f(.)=0,t(f(.)=0,t(或或k)0,k)0,如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有y yzszs(.)=0,t(.)=0,t(或或k)0k)0; 00 ; 0=0 ?系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：離散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：0, 0)(kkh或者，系統(tǒng)函數(shù)或者，系統(tǒng)函數(shù)H H( (z z) )的收斂域為的收斂域為0z即其收斂域為半徑等于0的圓外區(qū)域，或者說H(z)的極點都在收斂圓|z|= 0內(nèi)部二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的

23、穩(wěn)定性一個系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對任意的有界輸入，一個系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的系統(tǒng)，輸出穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說，設(shè)也就是說，設(shè)M Mf f，M My y為正常數(shù)，如果系統(tǒng)對于所有的激勵為正常數(shù)，如果系統(tǒng)對于所有的激勵fMf )(其零狀態(tài)響應(yīng)其零狀態(tài)響應(yīng)yzsMy)(則稱則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分充分和必要條件：和必要條件： Mdtth )( 0)(Mdtth連續(xù)因果系統(tǒng)離散系統(tǒng)是

24、穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件： kMkh)( 0)(kMkh離散因果離散因果系統(tǒng)系統(tǒng) 若若H(z)H(z)的收斂域的收斂域包括單位圓包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 對于既是穩(wěn)定的又是因果的連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)對于既是穩(wěn)定的又是因果的連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) H H( (s s) )的極點都在的極點都在s s平面的平面的左半開平面左半開平面；其；其逆也成立。逆也成立。若存在虛軸上的一階極點，按上面的定義是不穩(wěn)定的，若存在虛軸上的一階極點，按上面的定義是不穩(wěn)定的，但有時也稱為邊界穩(wěn)定系統(tǒng)。但有時也稱為邊界穩(wěn)定系統(tǒng)。 對于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)

25、函對于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)數(shù) H H( (z z) )的極點都在的極點都在z z平面的單位圓內(nèi)；平面的單位圓內(nèi)；其逆也成立。其逆也成立。 例1、如圖所示的反饋因果因果系統(tǒng)，問當(dāng)k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為)2)(1(1)(sssG F(s)G(s)KY(s)X(s)解：解：設(shè)加法器的輸出信號為X(s),有)()()(skYsFsX)()()()()()()(sFsGsYskGsXsGsYkssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2 H(s)的極點為kssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2kp2)23(2322, 1為

26、使極點在左半平面，必須為使極點在左半平面，必須2223223k K2),()2()21(4 . 0)(kkhkk系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，0.5|z|2;所以),1()2(4 . 0)()21(4 . 0)(kkkhkk問，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)嗎？若問，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)嗎？若|z|0.5，系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？，系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？ 例3、下圖為離散因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)框圖，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍。 F(z)Z1Y(z) 2 a解：解：設(shè)加法器輸出信號為X(z),有)()()(1zaXzzFzX)()1/()2()()2()(111zFazzzXzzYazzazzzH121)2()(11為使系統(tǒng)穩(wěn)定為使

27、系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點必須在單位圓內(nèi)，即有即有|a|0當(dāng)當(dāng)k1/4時，為復(fù)極點，時，為復(fù)極點，21412, 1kjp為使極點在單位圓內(nèi)，必須滿足|p1,2|1,可得k1;所以當(dāng)0k0，不難得，不難得出，出，A(s)為霍爾維茲多項式的條件為：為霍爾維茲多項式的條件為：a10，a00 例例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列：羅斯陣列： 2 12 2 1 8 041811222 8.5 02第第1列元素符號改變列元素符號改變2次，因此，有次，因此，有2個根位于右半平面。個根位于右半平面。 注意：注意：在排羅斯陣列在排羅斯陣列時，可能遇到一些特時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的

28、殊情況，如第一列的某個元素為某個元素為0或某一行或某一行元素全為元素全為0，這時可斷，這時可斷言：該多項式不是霍言：該多項式不是霍爾維茲多項式。爾維茲多項式。 例例2 已知某因果系統(tǒng)函數(shù)已知某因果系統(tǒng)函數(shù) kssssH1331)(23為使系統(tǒng)穩(wěn)定，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？ 解解 列羅斯陣列列羅斯陣列 33 1+k(8-k)/31+k所以，所以， 1k0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|奇數(shù)行，其第奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。個元素必大于最后一個元素的絕對值。 特例特例：對二階系統(tǒng)。

29、：對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 例例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解解4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15209 -210 5641 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 (-1)4A(-1)=50排朱里列表排朱里列表A(1)=10信號流圖信號流圖 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 信號流圖信號流圖 梅森公式梅森公式信號流圖信號流圖是用有向的線段和點描述線性方程組變量間因果關(guān)系的一種圖。信號流圖信號流圖用來描述系統(tǒng)較較方框圖更為簡便；而且通過梅森公式梅森公式將系統(tǒng)函數(shù)與相

30、應(yīng)的信號流圖聯(lián)系起來，不僅有利于系統(tǒng)分析，而且也便于系統(tǒng)模擬。一一.信號流圖信號流圖Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框圖方框圖信號流圖信號流圖)()()(FHY一般而言，信號流圖是一種一般而言，信號流圖是一種賦權(quán)賦權(quán)的有向圖。的有向圖。它由連接在結(jié)點間的有向支路構(gòu)成。它的它由連接在結(jié)點間的有向支路構(gòu)成。它的一些術(shù)語定義如下：一些術(shù)語定義如下：2、源點：、源點：僅有出支路的結(jié)點稱為源點源點。 匯點：匯點：僅有入支路的結(jié)點稱為匯點匯點。信號流圖基本術(shù)語信號流圖基本術(shù)語1、結(jié)點和支路、結(jié)點和支路 信號流圖中的每個結(jié)點對應(yīng)于一個變量或信

31、號，連接兩結(jié)點間的有向線段稱為支路支路，每條支路的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）。3 3、通路通路 從任一任一結(jié)點出發(fā)沿著箭頭方向連續(xù)經(jīng)過各相連的不同的支路和結(jié)點到達(dá)另一結(jié)點的路徑路徑稱為通路通路。通路包含有：通路包含有：開通路、閉通路或回路（或環(huán)路）、不接觸回路、自回路（自環(huán)）等。 前向通路前向通路：從源點到匯點的開通路。 閉通路或回路（或環(huán)路）閉通路或回路（或環(huán)路）:通路的起點就是通路的終點（與其余節(jié)點相遇不多于一次） 不接觸回路不接觸回路:相互沒有公共節(jié)點的回路。 自回路（自環(huán)）自回路（自環(huán)）:只有一個節(jié)點和一條支路的回路。開通路開通路:如果通路與任一節(jié)點相遇不多于

32、一次； d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e前向通路前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5回路回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4不接觸回路：不接觸回路： x2 x3 x2與x4 x4自回路：自回路： x4 x4通路通路(開通路或回路開通路或回路)中各支路增益的乘積稱為中各支路增益的乘積稱為通路增通路增益（或回路增益）益（或回路增益）流圖化簡的規(guī)則流圖化簡的規(guī)則 （2）兩條增益分別為）兩條增益分別為a和和b的支路相并聯(lián)，可以的支路相并聯(lián)，可以合并為一條增益為（合并為一條增益為（a+b）的支路。）的支路。（1）兩條增益分別

33、為）兩條增益分別為a和和b的支路相串聯(lián)，可以合并的支路相串聯(lián)，可以合并為一條增益為為一條增益為 ab的支路，同時消去中間的結(jié)點。的支路，同時消去中間的結(jié)點。（3 3）一條）一條x x1 1 x x2 2 x x3 3的通路，如果的通路，如果x x1 1 x x2 2支路的增益為支路的增益為 a a， x x2 2 x x3 3的增益為的增益為c c，在，在x x2 2處有增益為處有增益為b b的自環(huán)，的自環(huán)，則可以化簡為增益為則可以化簡為增益為ac/(1-b)ac/(1-b)的支路，同時削去的支路，同時削去結(jié)點結(jié)點x x2 2。（1 1）將串聯(lián)支路合并從而減少結(jié)點；）將串聯(lián)支路合并從而減少結(jié)點

34、；（2 2）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；信號流圖化簡步驟信號流圖化簡步驟（3 3）消除自環(huán)。）消除自環(huán)。 反復(fù)運用以上步驟，可將復(fù)雜的信號流圖簡化為反復(fù)運用以上步驟，可將復(fù)雜的信號流圖簡化為只有一個源點和一個匯點的信號流圖，從而求得系只有一個源點和一個匯點的信號流圖，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。統(tǒng)函數(shù)。例例7.3-1 7.3-1 求圖下圖所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)求圖下圖所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)解解 根據(jù)串聯(lián)支路合并規(guī)則，將圖根據(jù)串聯(lián)支路合并規(guī)則，將圖(a)(a)中回路中回路x x1 1 x x2 2 x x1 1和和x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x1 1化簡為自

35、環(huán)，如圖化簡為自環(huán)，如圖b b所所例例7.3-17.3-1示，將示，將x x1 1到到Y(jié)(s)Y(s)之間各串聯(lián)、并聯(lián)支路合并，得圖之間各串聯(lián)、并聯(lián)支路合并，得圖（c c）。并利用并聯(lián)支路合并規(guī)則，將）。并利用并聯(lián)支路合并規(guī)則，將x x1 1處兩個自環(huán)合處兩個自環(huán)合并，然后消除自環(huán)，得圖（并，然后消除自環(huán)，得圖（d d）。于是得到系統(tǒng)函數(shù)）。于是得到系統(tǒng)函數(shù)01201222011201121)()()(asasbsbsbsasasbsbbsFsYsH)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 這正是二階微分方程這正是二階微分方程的系統(tǒng)函數(shù)。的系統(tǒng)函數(shù)。二、梅森公式二、

36、梅森公式)93 . 7(,1 rqprqpnmnmjjLLLLLL梅森公式為梅森公式為)83 . 7(1iiiPHjjLnmnmLL,rqprqpLLL,式中：式中： 稱為信號流圖的特征行列式，其中稱為信號流圖的特征行列式，其中是所有是所有不同回路不同回路的增益之和；的增益之和；是所有兩兩不接觸回路的增益乘積和是所有兩兩不接觸回路的增益乘積和是所有三個都互不接觸回路的增益乘積之是所有三個都互不接觸回路的增益乘積之 和。和。 i表示由源點到匯點的第第i條前向通路條前向通路的標(biāo)號； Pi是由源點到匯點的第i條前向通路的增益； i是第i條前向通路特征行列式的余因子，它是與與第i條前向通路不相接觸不相

37、接觸的子圖的子圖的特征行列式。)83 . 7(1iiiPH例7.3-2求右圖信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)。例例 7.3-27.3-2解解 為了求出特征行列式，先求出有關(guān)參數(shù)。上圖共有4個回路，各回路的增益為 x1x2 x1回路，L1=G1H1 x2 x3 x2回路，L2=G2H2 x3 x4 x3回路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4它只有一對兩兩互不接觸的回路x1 x2 x1與x x3 3 x x4 4 x x3 3，313131HHGGLL31314321332211,)(11HHGGHGGGHGHGHGLLLnmnmjj53211HHHHP 542HHP 其

38、回路增益乘積為其回路增益乘積為沒有三個以上的互不接觸的回路。所以得沒有三個以上的互不接觸的回路。所以得再求其它參數(shù)。圖中有兩條前向通路，對于前向通路再求其它參數(shù)。圖中有兩條前向通路，對于前向通路F F x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 Y Y , ,其增益為其增益為由于各回路都與該通路有接觸，故由于各回路都與該通路有接觸，故1 1=1=1對于前向通路對于前向通路F F x x1 1 x x4 4 Y Y ，其增益為，其增益為最后，按式（最后，按式（7.3-87.3-8）得）得22211HGLjj31314321332211225453211)1 (HHGGHGGGHGHG

39、HGHGHHHHHHFYH不與不與P P2 2接觸的回路有接觸的回路有x x2 2 x x3 3 x x2 2，所以，所以 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 直接實現(xiàn)直接實現(xiàn) 級聯(lián)實現(xiàn)級聯(lián)實現(xiàn) 并聯(lián)實現(xiàn)并聯(lián)實現(xiàn)為了對信號為了對信號(連續(xù)或離散的信號連續(xù)或離散的信號)進行處理（如濾波），進行處理（如濾波），就必須構(gòu)造出合適的實際結(jié)構(gòu)（硬件實現(xiàn)結(jié)構(gòu)或軟件就必須構(gòu)造出合適的實際結(jié)構(gòu)（硬件實現(xiàn)結(jié)構(gòu)或軟件運算結(jié)構(gòu)）。運算結(jié)構(gòu)）。 對于同一系統(tǒng)函數(shù)，對于同一系統(tǒng)函數(shù)，通過不同的運算，可以得通過不同的運算，可以得到多種形式的實現(xiàn)方案，常用的有直接形式、到多種形式的實現(xiàn)方案，常用的有直接形式、級聯(lián)和并聯(lián)形式等。級聯(lián)和并聯(lián)形式

40、等。一、直接實現(xiàn)一、直接實現(xiàn)0120122)(asasbsbsbsH將上式分子、分母除以將上式分子、分母除以s2,上式可寫為上式可寫為)(11)(201120112201120112sasasbsbbsasasbsbbsH設(shè)二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)iiipH1 根據(jù)梅森公式根據(jù)梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括號內(nèi)表示有兩個互相接觸的回路，其增益分別為-a1s-1和-a0s-2。 H(s)的分子表示三條前向通路，其增益其增益分別為b2、b1s-1和b0s-2，并且不與各前向通路相接觸的子圖特征行列式i （i=1,2,3)均等于1，也就是說，信號流圖中的兩個回路都與各前向回

41、路相接觸，這樣就以得到(a) 信號流圖，其對應(yīng)的s域框圖如圖(b) 。 還可以得到如下的信號流圖和框圖。以上的分析方法可以推廣到高階的情形。見書以上的分析方法可以推廣到高階的情形。見書P348P348例 7.4-1 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)35342)(23SSSSSH用直接形式模擬系統(tǒng)。解解 將H(s)改寫為)353(142)(32132ssssssH根據(jù)梅森公式，可畫出上式的信號流圖如圖（a)信號流圖的轉(zhuǎn)置信號流圖的轉(zhuǎn)置二、級聯(lián)和并聯(lián)實現(xiàn)二、級聯(lián)和并聯(lián)實現(xiàn) 級聯(lián)形式級聯(lián)形式是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)(或H(s)分解分解為幾個簡單的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即 liilzHzHzHzHzH121)()()()(

42、)(其框圖形式如下圖所示 ，其中每一個子系統(tǒng)Hi(z)可以用直接形式實現(xiàn)。并聯(lián)實現(xiàn)并聯(lián)實現(xiàn)并聯(lián)形式是將并聯(lián)形式是將H(z)或或H(s)分解為幾個較簡單的子系分解為幾個較簡單的子系統(tǒng)之和，即統(tǒng)之和，即 liiizHzHzHzHzH121)()()()()(其框圖形式如圖所示，其中各子系統(tǒng)可用直接形式實現(xiàn)。其框圖形式如圖所示，其中各子系統(tǒng)可用直接形式實現(xiàn)。通常各子系統(tǒng)選用一通常各子系統(tǒng)選用一階函數(shù)和二階函數(shù)，階函數(shù)和二階函數(shù)，分別分別稱為一階節(jié)、二稱為一階節(jié)、二階節(jié)。階節(jié)。其函數(shù)形式分別為其函數(shù)形式分別為 201120112101011)(1)(zazazbzbbzHzazbbzHiiiiiiii

43、ii一階和二階子系統(tǒng)的信號流圖和相應(yīng)的框圖如圖所示一階和二階子系統(tǒng)的信號流圖和相應(yīng)的框圖如圖所示解解:（1）級聯(lián)實現(xiàn)）級聯(lián)實現(xiàn) 首先將首先將H(s)的分子、分母多項式分解為一次因式與二的分子、分母多項式分解為一次因式與二次因式的乘積。于是次因式的乘積。于是35342)(23sssssH)32)(1()2(2)()()(221sssssHsHsH例例7.4-3 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別用級聯(lián)和并聯(lián)形式模擬系統(tǒng)。分別用級聯(lián)和并聯(lián)形式模擬系統(tǒng)。2121221113212322)(1212)(ssssssssHssssH將上式分解為一階節(jié)與二階節(jié)的極聯(lián)，令將上式分解為一階節(jié)與二階節(jié)的極聯(lián)，令上式中一階節(jié)和二階節(jié)的信號流圖如下圖所示上式中一階節(jié)和二階節(jié)的信號流圖如下圖所示（