第8章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)

1、第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 第第8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1 估計(jì)的基本概念估計(jì)的基本概念 8.2 維納維納(Wiener)濾波濾波 8.3 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 8.4 匹配濾波器匹配濾波器 習(xí)題與思考題習(xí)題與思考題 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1 估計(jì)的基本概念估計(jì)的基本概念 在通信或控制中， 常常會(huì)遇到這樣一類問題： 從包含著誤差（意味著隨機(jī)干擾， 噪聲）的測(cè)量數(shù)據(jù)中提取需要的信息。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.1 - 1 濾波器的輸入輸出關(guān)系 濾波器Z(t)

2、 X(t) N(t)(t0t)(tX第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 線性最佳濾波問題： 若濾波算法是線性的， 即 LZ1(t)+Z2(t)=LZ1(t)+LZ2(t) (8.1 - 1) LCZ(t)=CLZ(t) (8.1 - 2) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 12121212(,)(,)TnnTnnXXXXXXXxxxx xxx(8.1 - 3) (8.1 - 4) dx=dx1dx2dxn (8.1 - 5) f(x)=f(x1,x2,xn) (8.1 - 6)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 121212( , )(

3、| )(,|,)( )()()()()nmynf x yf x yf x xxy yyfyE XE XE XE X(8.1 - 7) (8.1 - 8) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.1 最小方差估計(jì) 定義：設(shè)X為被估計(jì)隨機(jī)矢量, Z是X的觀測(cè)矢量。 如果估計(jì)量 滿足: ( )MVXZ()( ) ( )|minMVTXXZEXX ZXX Z(8.1 - 9) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 定理：X的最小方差估計(jì) 是在測(cè)量矢量為Z的條件下， X的條件數(shù)學(xué)期望， 即( )MVXZ( )(|)MVXZE X Z(8.1 - 11) 其中： 11

4、12112(|,)(|)(|,)mnnmnx f xZ ZZdxE X Zx f xZ ZZdx其中: 121212( ,)(|,)(,)imimmf x Z ZZf xZ ZZf Z ZZ第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.2 極大驗(yàn)后估計(jì) 定義：設(shè)X為被估計(jì)量， Z為X的測(cè)量值， f(x|z)為Z=z條件下X的條件概率密度(也叫X的驗(yàn)后概率密度)， 如果估計(jì)值 在一切x中有( )MAxz( | )|maxMAx xf x z(8.1 - 12) ln( | )maxln( | )0MAMAx xx xf x zf x zx(8.1 - 14) (8.1 - 13)

5、 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.3 貝葉斯(Bayes)估計(jì) (1) 當(dāng)X2X1時(shí)， L(X2)L(X1)0； (2) 當(dāng)X=0時(shí)， L(X)=0； (3) L(X)=L(-X); 性質(zhì)(1)說明損失函數(shù)非負(fù)， 且偏差大時(shí)損失大； 性質(zhì)(2)說明沒有偏差就沒有損失； 性質(zhì)(3)保證了正、 負(fù)偏差具有相同的損失。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 一個(gè)好的估計(jì)應(yīng)使蒙受的損失最小， 但損失函數(shù)是隨機(jī)變量， 應(yīng)采用平均損失來衡量損失的大小。 引入() () ( )BXE LXE L XX Z(8.1 - 15) 把期望值具體寫出來就是 ()( )

6、( , )( ) ( | )( )zB XL xx z f x z dxdzL xx z f x z dx fz dz (8.1 - 16) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.4 極大似然估計(jì) 定義:設(shè)X是被估計(jì)量, Z是X的測(cè)量值, f(z|x)是X=x的條件下測(cè)量值Z的條件概率密度, 稱為X的似然函數(shù)。 如果已得到觀測(cè)矢量( | )|maxMLx xf z x(8.1 - 24) ln( | )|0MLx xf z xx( | )|0MLx xf z xx(8.1 - 25) (8.1 - 26) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.5

7、 線性最小方差估計(jì) 定義：設(shè)X為被估計(jì)量， Z是X的觀測(cè)值， 如果 XaBZ， 且min|)()()(ZXXTLXXXXE(8.1 - 27) 定理 1： 為X的線性最小方差估計(jì)的充要條件為 LX0)(0)(ZXXEZZXXELTL(8.1 - 28) (8.1 - 29) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例 8 - 1 設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t), 期望X=0, 相關(guān)函數(shù): , 被估計(jì)量為X(t+T)， 觀測(cè)值為X(t)， 求X(t+T)在X(t)上的線性最小方差估計(jì) 。 eRtXtXEX21)()()()(TtXL第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例

8、 8 - 2 設(shè)上例中被估計(jì)量為X(t)(X=0)， 觀測(cè)值為Z(t)=X(t)+V(t)， 其中V(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程， 期望值V=0， 相關(guān)函數(shù)為 ， 且與X(t)不相關(guān)， 求X(t)的線性最小方差估計(jì) (濾波問題)。421)(eRV)(tXL第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 定理 2： X在Z上的線性最小方差估計(jì)為)()(),cov()()(1ZEZZDZXXEZXL(8.1 - 30) 證明：由于 是Z 的線性函數(shù))(ZXLBZaZXL)(根據(jù)線性最小方差估計(jì)的充要條件: 0)(),cov(),cov()(0)(ZBDZXZBZaXZBZaXEBZaXET第第8 8

9、章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 可解出)()(),cov()()()(),cov()()(11ZEZZDZXXEZXZDZXBZBEXEa第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.6 線性最小方差的性質(zhì) 1. 正交及正交投影 定義 1: 設(shè)X、 Y為兩個(gè)隨機(jī)變量, 若E(XYT)=0 , 則稱X、 Y相互正交。 定義 2: 設(shè)X與Z分別為具有前兩階矩的n維和m維隨機(jī)向量， 如果存在一個(gè)與X同維的隨機(jī)向量 ， 具有以下性質(zhì)： X第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (1) 可由Z線性表出， 即 ;(2) 對(duì)X無偏， 即 ;(3) 與Z正交， 即 ,

10、XXXXXBZaXEXXE0TZXXE第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2. 線性最小方差估計(jì)(正交投影)的性質(zhì) 性質(zhì) 1: 如果X1、 X2是兩個(gè)隨機(jī)矢量, A、 B是兩個(gè)非隨機(jī)的系數(shù)矩陣, r為非隨機(jī)矢量, W是與Z正交的零均值隨機(jī)矢量, 則有WZXEBZXEAZWrBXAXErZXEBZXEAZWrBXAXE)|()|(| )()|()|(| )(21212121(8.1 - 31) (8.1 - 32) 2121XBXAYXBXAY(8.1 - 33) (8.1 - 34) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 性質(zhì) 2： 如果Y、 Z不相關(guān)， 則)

11、()|()|(),|(XEZXEYXEZYXE(8.1 - 35) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.1.7 最小二乘估計(jì) 1. 基本算法 設(shè)X為n維被估計(jì)矢量， Zi=HiX+Vi為第i次m維觀測(cè)矢量， 其中Hi為mn階矩陣, Hi可認(rèn)為是“放大”作用， Vi為m維測(cè)量噪聲(通常認(rèn)為Vi具有零均值， 若不是零均值， 則存在系統(tǒng)誤差， 可一次性消除)。 假設(shè)作了k次獨(dú)立測(cè)量， 為了盡可能消除噪聲， 測(cè)量數(shù)據(jù)應(yīng)足夠。 k次測(cè)量總的測(cè)量矢量為 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) kkkVVVXHHHZZZ212121(mk維矢量) (8.1 - 36) k

12、kkkkkVVVVHHHHZZZZ212121,(8.1 - 37) 則總測(cè)量矢量可寫成 kkkVXHZ(8.1 - 38) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 定義：如果估計(jì)量 使得誤差函數(shù)kXmin)()(kkkTkkkXHZXHZJ(8.1 - 39) kTkkTkkkkkTkxxxxZHHHxxHZHxJxJ1)(0)(20(8.1 - 40) (8.1 - 41) (8.1 - 42) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.1 - 2 曲線擬合 Z1Z2Z3Z4ZkZtOt1t2t3t4tk第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè)

13、 例 8 - 3 (曲線擬合)為要根據(jù)測(cè)量結(jié)果， 估計(jì)出Z與t的關(guān)系， 進(jìn)行k次獨(dú)立測(cè)量， 得到k個(gè)測(cè)量點(diǎn)(t1, Z1), (t2, Z2), , (tn, Zn), 如圖8.1 - 2所示。 由于測(cè)量誤差， 測(cè)量點(diǎn)(ti, Zi)不一定在曲線Z(t)上， 現(xiàn)在要用曲線 Z(t)=a0+a1t+a2t2+antn 來擬合這些點(diǎn)， 即用這個(gè)多項(xiàng)式代替真實(shí)的Z(t)。 求a0, a1, ,an的最小二乘估計(jì)。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2. 一般的最佳參數(shù)擬合 設(shè)u是變量z1, z2, , zn的函數(shù)， 含有m個(gè)參數(shù)a1, a2, , am, 即 u=f(a1, a2

14、, , am; z1, z2, , zn) (8.1 - 43)min),;,()(22112121niiimkiikiiizzzaaafuuuQ(8.1 - 44) miaQi, 2 , 10(8.1 - 45) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例 8 - 4 r與t的函數(shù)關(guān)系為r=A sin(t+)， 現(xiàn)對(duì)(t,r)作了k次觀察得(t1, r1), (t2, r2), , (tk, rk)，求(A, , )的最小二乘擬合。 0, 0, 0)sin(21QQAQtArQkiii 解： 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.2 維納維納(Wiener)

15、濾波濾波 8.2.1 維納濾波問題 這里考慮的濾波系統(tǒng)是一線性定常系統(tǒng)， 且是無限記憶的。 線性是指 Lx1(t)+x2(t)=Lx1(t)+Lx2(t) LCx(t)=CLx(t)(8.2 - 1) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 若將輸入x(t)寫成 )(),(),()()()()()(ttLtthtdtthtxtytdtttxtxt(8.2 - 2) (8.2 - 3) (8.2 - 4) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.2 - 1 系統(tǒng)脈沖響應(yīng) L)(ttt),( tthtOtttOh第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢

16、測(cè) 考慮物理上可實(shí)現(xiàn)(即沒有輸入時(shí)， 系統(tǒng)沒有輸出)， 系統(tǒng)的輸出式(8.2 - 3)變成 tdtthtxtyt)()()(8.2 - 5) 定常是指輸入輸出之間的關(guān)系不隨時(shí)間推移而改變。 即如果Ltx(t)=y(t), 則對(duì)任意的t， 有 Ltx(t-t)=y(t-t) (8.2 - 6) Lt(t-t)=h(t-t)=h() (8.2 - 7)0)()()(dhtxty(8.2 - 8) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 1. 維納濾波問題 設(shè)濾波系統(tǒng)輸入s(t)的觀測(cè)值為 z(t)=s(t)+n(t) (8.2 - 9) 其中有用信號(hào)s(t)與噪聲n(t)都是零均值的

17、平穩(wěn)且平穩(wěn)相關(guān)隨機(jī)過程， 其相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)Rs()、 Rn()、 Rsn()、 Rns()及譜密度, 互譜密度Ss()、 Sn()、 Ssn()、 Sns()都是已知函數(shù)。濾波器的理想輸出(被估計(jì)量)為dtsht)()()(1(8.2 - 10) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (1) 若(t)=s(t), 則hI(t)=(t), 則I(i)=1; (2) 若(t)=s(t+T), 則hI(t)=(t+T), I(i)=eiT; (3) 若(t)=s(t), 則hI(t)=(t), I(i)=i。 問題： 求出一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的定常線性濾波系統(tǒng)L的頻率特性(i)。d

18、ehii0)()(8.2 - 11) min)()()()()(220tytEdtzhtY(8.2 - 12) (8.2 - 13) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 在以上問題中， 包含三個(gè)基本假設(shè)： (1) 濾波系統(tǒng)是物理上可實(shí)現(xiàn)的(h()=0, 0時(shí)， 即沒有激發(fā)時(shí)應(yīng)沒有輸出)無限記憶定常系統(tǒng)； (2) 輸入中的s(t)、 n(t)都是零均值的平穩(wěn)且平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程; (3) 系統(tǒng)的最佳輸出就是線性最小方差估計(jì)(從式(8.2 - 12)可知估計(jì)量y(t)是測(cè)量值z(mì)的線性函數(shù))。第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2. 最佳脈沖響應(yīng)的積分方程 1)

19、均方誤差 的表達(dá)式濾波器實(shí)際輸出為20)()()(dtzhty對(duì)理想輸出(t)的誤差為 0)()()()()()(dtzhttytt(8.2 - 14) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 平方值為 01110022)()()()()()()(2)()(dtzhdtzhdtzthtt(8.2 - 15) 于是均方誤差表達(dá)式為 001110222)()()()()()()(2)()()(ddtztzEhhdtztEhtEtEh第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 即 1100102)()()()()(2)0()(ddRhhdRhRhzz (8.2 - 16) 第

20、第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2) 取極值的充要條件 是h(t)的泛函數(shù)， 因此求 極小值的問題就是變分法中求泛函極值的問題。 對(duì)于這個(gè)較簡單的問題， 也可利用求函數(shù)極值的方法： 若 在h(t)處取極小值， 則對(duì)任意實(shí)數(shù)及任一g(t)， 必有)(2h)(2h)(2h)(2h)()(22hgh0)()()(0)(11010dRhRIzz0 (8.2 - 17) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.2.2 關(guān)于Wiener-Hopf方程的解 引 理 1 ( J o r d a n 引 理 ) : 設(shè) g ( z ) 沿 半 圓 周 R: z=Rei(0,

21、 R充分大)上連續(xù)， 且00)(lim0)(limmdzezgzgRimzRR(8.2 - 22) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) Jordan引理還可描述成： 設(shè)g(z)沿半圓周R:z=Rei(-0, R充分大)上連續(xù)， 且00)(lim0)(limmdzezgzgRimzRR(8.2 - 23) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.2 - 2 引理 1 用圖 iyxOR第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 引理 2: 如果f(t)是一個(gè)在(-，0)上等于零的絕對(duì)可積函數(shù)， 則其傅里葉變換dtetfdtetfFtiti)()()

22、(為平面中下半平面的解析有界函數(shù)。 反之， 如果F()為f(t)的傅里葉變換， 且在平面的下半平面解析有界， 則函數(shù)deFtfti)(21)(第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 證明：充分性： f(t)=0(t0), 則F在下半平面解析有界。 當(dāng)f(t)=0(t0)時(shí): dteetfidtetfFtitti00)()()(令 在下半平面(0)時(shí): dttfdtetfFt00)()()(即F()在下半平面有界。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 另外 ),(),(sin)(cos)()sin(cos)()(000iutdtetfitdtetfdttitetf

23、Fttt顯然 uu Cauchy-Riemann條件第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.2 - 3 引理 2 用圖 RO Ri R第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 必要性： 若F()在下半平面為解析有界， 則 f(t)=0 t0 (3) 再求B(t)的積分, 得 dtetBiti0)()(第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (4) 給出(i): )()()(1ii 例 8 - 6 設(shè)s(t)與n(t)互不相關(guān)， 且 ,11)(2SSSN()=C2 (白噪聲)求系統(tǒng)最佳濾波預(yù)測(cè)頻率特性。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的

24、最佳檢測(cè) 8.3 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 8.3.1 被估計(jì)量的信息模型狀態(tài)差分方程 離散型卡爾曼濾波所要估計(jì)的信息是一個(gè)具有隨機(jī)擾動(dòng)的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)矢量序列X(tk),假設(shè)它的動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)差分方程為 Xk=k,k-1Xk-1+k-1Wk-1 (8.3 - 1)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 其中： Xk=X(tk)為n維狀態(tài)矢量； k,k-1為nn階的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， 它是具有以下性質(zhì)的非奇異矩陣: (1) k,k-1=I(單位陣)； (2) k,k-1=-1k-1,k; (3) k,k-1k-1,k-2= k,k-2。 klkTlkkQWEWEW0

25、(8.3 - 2) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 按照式(8.3 - 1)， 有 X1= 1,0X0+0W0X2= 2,1X1+1W1 = 2,0X0+(1W1+2,10W0)X3= 3,2X2+2W2 = 3,0X2+(2W2+3,21W1+3,10W0)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.3.2 觀測(cè)值的模型測(cè)量方程 要估計(jì)X(tk)， 必須先對(duì)X(tk)進(jìn)行觀測(cè)。 但是一般的觀測(cè)手段所能得到的常常是X(tk)的一部分分量， 或者是X(tk)的某些變換， 并且?guī)в杏^測(cè)誤差。 離散型卡爾曼濾波要求觀測(cè)手段是線性的， 也就是要求觀測(cè)矢量Zk與狀態(tài)矢

26、量Xk及觀測(cè)誤差Vk具有線性關(guān)系式線性的測(cè)量方程。 即 Zk=HkXk+Vk k0 (8.3 - 6)klkTlkkRVEVEV0(8.3 - 7) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 在一般情況下， 動(dòng)態(tài)噪聲序列Wk與觀測(cè)噪聲序列Vk之間沒有直接聯(lián)系。 又由于X0不受Wk的影響， 因此可以假定X0、 Wk與Vl(k=0, 1, 2, ；l=0, 1,2, )為互不相關(guān)的隨機(jī)矢量。 又注意到Wk、 Vl是零均值， 故有0, 0, 000TkTkTlkXEVVEWVEW k=0, 1, 2, ; l=0, 1, 2, (8.3 - 8) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信

27、號(hào)的最佳檢測(cè) 8.3.3 卡爾曼濾波問題 先引入兩個(gè)記號(hào)。 設(shè)Xk及Zk為被估計(jì)量及觀測(cè)矢量序列， 記)|(|21lklkTTlTTlZXEXZZZZ第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 卡爾曼濾波所要解決的問題根據(jù)的是以下幾點(diǎn)： (1) tk-1時(shí)刻的狀態(tài)矢量Xk-1的線性最小方差濾波值 (即Xk-1在Zk-1上的正交投影); (2) tk時(shí)刻的新觀測(cè)值Zk; (3) 求出tk時(shí)刻狀態(tài)矢量Xk的線性最小方差濾波值 (即Xk在Zk上的正交投影)的遞推方程。 1| 1 kkXkkX|第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.3.4 的遞推方程 kkX| (1) 求

28、預(yù)測(cè)值 ， 即Xk在Zk-1上的線性最小方差估計(jì)。 (2) 求 , 即根據(jù) 和新的觀測(cè)值Zk綜合出 。 下面對(duì)下式：1|kkXkkX|1| 1 kkXkkX|)|()|(1|kkkkkkkZZXEZXEX(8.3 - 19) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (3) 卡爾曼濾波的計(jì)算步驟： 預(yù)先算出k,k-1, Hk, Qk, Rk； 給定初值P0|0及 ； 隨著系統(tǒng)觀測(cè)值Zk的不斷輸入， 濾波系統(tǒng)就不斷地算出最佳估計(jì)值 及估計(jì)的均方誤差Pk|k。 0 | 0XkkX|第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例 8 - 7 設(shè)有定常線性系統(tǒng) Xk=Xk-1+W

29、k-1 Zk=Xk+Vk 其中Xk及Zk均為標(biāo)量， 為常數(shù)。 Wk及Vk均為零均值的白噪聲序列， 分別具有協(xié)方差 EWkWl=qkl, EVkVl=rkl Wk及Vk與Xk不相關(guān)。 求 的遞推方程。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例 8 - 8 -濾波器。 在濾波計(jì)算中， 建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型常常是最困難的一步。 對(duì)于測(cè)距等緩變信號(hào)的測(cè)量，可采用以下模型。 設(shè)被估計(jì)量信息序列Sk可表示為2211TSTSSSkkkk但 具有模型誤差wk-1T。 wk為零均值的白噪聲序列， 其協(xié)方差為1kSkkkkllkVSZqESk的測(cè)量值為 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最

30、佳檢測(cè) Vk也是零均值白噪聲序列， 其協(xié)方差為 kllkrVEV 求Sk的穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波序列。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.3.5 狀態(tài)方程中含有已知控制項(xiàng)時(shí)的遞推方程組 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 Xk=k,k-1Xk-1+Uk-1+k-1Wk-1 (8.3 - 48) 其中Uk-1為已知的控制項(xiàng)， 是非隨機(jī)函數(shù)， 測(cè)量方程仍為 Zk=HkXk+Vk (8.3 - 49)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 按同樣方法可以得到卡爾曼濾波遞推方程組為 1|1111,1| 11|1|1|1|1|11| 11|1|)()(kkkkkkTkkkTkkkkkkkk

31、kTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPHKIPQPPRHPKXHZKXXUXX(8.3 - 50) (8.3 - 51) (8.3 - 52) (8.3 - 53) (8.3 - 54) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 例 8 - 9 設(shè)雷達(dá)測(cè)定飛行目標(biāo)的徑向距離為X， 且目標(biāo)向著雷達(dá)方向的徑向加速度為a, 則目標(biāo)的徑向運(yùn)動(dòng)方程為adtXd22求X的Kalman遞推濾波序列(假設(shè)每秒測(cè)量一次)。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 表 8.3 - 1 由d2X/dt2=-1計(jì)算的距離、速度和測(cè)量值 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳

32、檢測(cè) 下面給出計(jì)算 的流程。 (1) 根據(jù)式(8.3 - 50)計(jì)算 :1 | 1X0 | 1X15 .9515 . 01951011 00 | 00 , 10 | 1UXX第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (2) 由式(8.3 - 53)計(jì)算P1|0(注意這里Qk-1=0, 因?yàn)閃k=0):111111101100101011 0 , 10 | 00 , 10 | 1TPP第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (3) 把式(8.3 - 54)代入式(8.3 - 52)可解出1211211 10111111010111111 )()(11110 | 1110

33、 | 1111|,RHPHHPKRHPHHPKTTkTkkkkTkkkk第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (4) 由式(8.3 - 51)計(jì)算 :1 | 1X375. 0625.99 )5 .95100(121121105 .95 )(0 | 11110 | 11 | 1XHZKXX第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (5) 由式(8.3 - 54)計(jì)算P1|1:12111211211211 111110112112111001)(0 | 1111 | 1PHKIP第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.3.6 預(yù)測(cè)問題 1. 最佳線性一

34、步預(yù)測(cè)值 的遞推方程 kkX| 10, 11kWXXkkkkk(8.3 - 55) 測(cè)量方程為 Z=HkXk+Vk k0 (8.3 - 56)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2. s步預(yù)測(cè)值 的計(jì)算式 可以推出： kskX|kkskkskXX|(8.3 - 61) 例 8 - 10 設(shè) xk+1=Xk+wk, Zk=xk+vk其中為常數(shù), wk、 vk為白噪聲序列， Qk=Ew2k=a2、 Rk=Ev2k=b2， 求 xk+1的線性最小方差一步預(yù)測(cè) 的遞推方程(穩(wěn)態(tài)情形， 即k時(shí)Pk+1|k=Pk|k-1=P)。 kkx| 1第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最

35、佳檢測(cè) 8.4 匹匹 配配 濾濾 波波 器器 8.4.1 匹配濾波器的傳輸函數(shù) 設(shè)測(cè)量信號(hào)為 z(t)=si(t)+ni(t) (8.4 - 1) 假定ni(t)為零均值白噪聲， 其功率譜分布為2)(onNS(8.4 - 2) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 該濾波器仍為線性的， 則輸出仍然包括信號(hào)和噪聲兩部分: (8.4 - 4)dtetsStiii)()(8.4 - 3) )()()(tntstyoo其中 deSHtstiio)()(21)(8.4 - 5) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 關(guān)于匹配濾波器的說明: (1) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行匹配濾波， 等

36、效于信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理， 匹配濾波器的輸出為dtstnKdtntsKdtKstntsdhtxiiiiiii0000000)()()()()()()()()(8.4 - 15) 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) (2) 匹配濾波器有最大信噪比2E/No, 與信號(hào)波形無關(guān)， 增加輸入信號(hào)能量， 就可獲得高信噪比。 輸出是相關(guān)函數(shù)， 不是信號(hào)本身， 但與信號(hào)振幅成正比。 (3) 波形相似而振幅和時(shí)延不同的信號(hào)(si(t)=asi(t-)有相同的匹配濾波器頻率特性函數(shù), 但頻移信號(hào)對(duì)應(yīng)不同的頻率特性函數(shù)。 (4) 有色噪聲時(shí)， 功率譜為N()， 需專門處理(白化)， 然后再進(jìn)行匹配濾

37、波。 詳細(xì)情況可參見有關(guān)文獻(xiàn)。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.4.2 相關(guān)檢測(cè) 1. 自相關(guān)檢測(cè) 設(shè)輸入信號(hào) x(t)=si(t)+ni(t) (8.4 - 16) 則 RXX()=RSS()+RNN()+RSN()+RNS() (8.4 - 17) 如圖 8.4 - 1 所示。第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.4 - 1 自相關(guān)檢測(cè)模型 積分延時(shí)Rxx()X(t)X(t )第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 假設(shè)信號(hào)與噪聲互不相關(guān)， 則 RXX()=RSS()+RNN() (8.4 - 18) 由于噪聲在時(shí)間上不相關(guān)或

38、相關(guān)性很差， RNN() 將隨增加而很快衰減至零。 于是有 RXX()=RSS() (8.4 - 19)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 2. 互相關(guān)檢測(cè) 利用一個(gè)與待測(cè)信號(hào)si(t)同頻的信號(hào)sr(t)， 與被噪聲干擾的信號(hào)x(t)=si(t)+ni(t)作互相關(guān)處理， 則)()()()()(rirririrSSXSSNSSXSRRRRR(8.4 - 20) (8.4 - 21) 等效地濾除了噪聲。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 3. 鎖相放大器(Lockin Amplifier) 鎖相放大器是一種利用互相關(guān)原理設(shè)計(jì)的相關(guān)檢測(cè)儀器， 用途很廣, 其

39、原理如圖8.4-2 所示。 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 圖 8.4 - 2 鎖相放大器原理圖放大濾波前放整形移相低通相敏檢波()直流放大輸入輸出參考信號(hào)第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè) 8.4.3 積累檢測(cè) 積累檢測(cè)是基于噪聲的隨機(jī)性和信號(hào)的周期性， 通過對(duì)含有噪聲的信號(hào)多次重復(fù)檢測(cè)和積累而提取深埋于噪聲中的周期信號(hào)的方法。 這種方法本質(zhì)上也是利用了周期信號(hào)的相關(guān)性好而噪聲相關(guān)性差的特點(diǎn)， 才能在周期重復(fù)積累過程中不斷提高檢測(cè)輸出信噪比。 積累檢測(cè)的分類如下： 積累檢測(cè) 單點(diǎn)積累(Boxcar) 多點(diǎn)積累: 可恢復(fù)波形 定點(diǎn)： 檢測(cè)周期內(nèi)某一特定時(shí)刻信號(hào)的幅度 掃描： 可在一個(gè)周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)積累， 可以恢復(fù)被檢測(cè)信號(hào)形狀 第第8 8章章 光電信號(hào)的最佳檢測(cè)光電信號(hào)的最佳檢測(cè)