空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（基礎(chǔ)教育）

1、1向陽書屋u1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)2向陽書屋u2空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB ，|AB|(x2x1，y2y1，z2z1)3向陽書屋u3.若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，則| |的取值范圍是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)，1cos()1，| |1,5.答案：B4向陽書屋uA平面的法向量：如果表示向量 的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量垂直于平面 ,記作 ，如果

2、 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量 ,那么過點(diǎn)A,以向量 為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量 是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內(nèi)，則有l(wèi)5向陽書屋u垂直關(guān)系：6向陽書屋u例2 已知平面 經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求平面 的一個(gè)法向量.解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)設(shè)平面 的法向量是依題意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2平面 的一個(gè)法向量是7向陽書屋u8向陽書屋u9向陽書屋u10向陽書

3、屋u11向陽書屋u12向陽書屋u六、夾角：13向陽書屋u例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為14向陽書屋u 如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求:異面直線S

4、A和OB所成的角的余弦值； OS與平面SAB所成角的正弦值；A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為15向陽書屋u取x=1，則y=1，z=2；故（2）設(shè)平面SAB的法向量顯然有16向陽書屋uN解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長方體 中，例1：17向陽書屋uN又在長方體 中，例1：18向陽書屋u例二：題型二：線面角在長方體 中，19向陽書屋u例220向陽書

5、屋u解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： 所以：所以 與 所成角的余弦值為21向陽書屋u5.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為.解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1).設(shè)n(x，y，z)為平面A1BD的法向量22向陽書屋u則 取n(1，1，1)，設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為，則sin|cosn， | .cos .答案：23向陽書屋u【鞏固練習(xí)】 1 三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=

6、AC, ,E為PC中點(diǎn) ,則PA與BE所成角的余弦值為_ . 2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_ . 24向陽書屋u25向陽書屋u 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30的角.(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD.26向陽書屋u思路點(diǎn)撥27向陽書屋u課堂筆記以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平

7、面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.28向陽書屋uD(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)， ( ，0， )，29向陽書屋u(1)令n(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，則令y2，得n( ，2,1).n 201 0，n ，又CM平面PAD，CM平面PAD.30向陽書屋u(2)取AP的中點(diǎn)E，則E( ，2,1)， ( ，2,1).PBAB，BEPA.又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，31向陽書屋u ，BEDA，又PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD

8、.32向陽書屋u小結(jié)：1.異面直線所成角： 2.直線與平面所成角： 33向陽書屋u1.若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所 成的角為，則cos|cosv1，v2|.2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有 兩種辦法：34向陽書屋u分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量， 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與 平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平 面所成的角.35向陽書屋ulmlm36向陽書屋ull37向陽書屋u5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1 的中點(diǎn)，那

9、么直線AM與CN所成角的 余弦值為.38向陽書屋u解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，)則 (0， ，1)， (1,0， ).cos . 直線AM與CN所成角的余弦值為 .答案：39向陽書屋u (2009全國卷)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1.(1)證明：ABAC；(2)設(shè)二面角ABDC為60，求B1C與平面BCD所成的角的大小.40向陽書屋u思路點(diǎn)撥41向陽書屋u課堂筆記(1)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)x

10、yz.42向陽書屋u設(shè)B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則B1(1,0,2c)，E( ， ，c).于是 ( ， ，0)， (1，b,0).由DE平面BCC1知DEBC， 0，求得b1，所以ABAC.43向陽書屋u(2)設(shè)平面BCD的法向量 (x，y，z)，則 0， 0.又 (1,1,0)， (1,0，c)，故令x1，則y1，z ， (1,1， ).又平面ABD的法向量 (0,1,0).44向陽書屋u由二面角ABDC為60知， 60，故 cos60，求得c .于是 (1,1， )， (1，1， )，Cos ， 60.所以B1C與平面BCD所成的角為30.45向陽書屋u解：由本

11、例(2)知， (1,1， )，又B(1,0,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，又| |2，| | ，cos 異面直線B1C與BA1所成角的余弦值為 .在本例(2)的條件下，能否求出異面直線B1C與BA1所成角的余弦值.46向陽書屋u47向陽書屋uA. B. C. D.練習(xí)在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是 ()48向陽書屋u解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，a)DB(a，a,0)，DM(a,0， a)，A1M(0,0， a)設(shè)平面MBD的法向量

12、n(x，y，z)，則49向陽書屋u 令x1，得n(1，1，2)，A1到平面MBD的距離答案： A50向陽書屋u 利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：1求出該平面的一個(gè)法向量；2找出過該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；3求出法向量與斜線段所對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除 以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離，如圖51向陽書屋u點(diǎn)P到平面的距離52向陽書屋u (2009茂名模擬)如圖所示，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CACBCDBD2，ABAD (1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離53向陽書屋u思路點(diǎn)撥54向陽書屋u

13、課堂筆記(1)證明：連結(jié)OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.55向陽書屋u(2)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，異面直線AB與CD所成角的余弦值為=(-1，0，1)56向陽書屋u(3)設(shè)平面ACD的法向量為n(x，y，z)，則令y1，得n( ，1， )是平面ACD的一個(gè)法向量又EC( ，0)，點(diǎn)E到平面ACD的距離h57向陽書屋u58向陽書屋u 利用空間向

14、量解決空間中線面位置關(guān)系的論證、空間中各種角的求解問題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學(xué)生的能力，因此其已成為高考命題的熱點(diǎn)題型59向陽書屋u 考題印證 (2009福建高考)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn) (1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值； (2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由60向陽書屋u【解】(1)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

15、系Dxyz.依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分)61向陽書屋u所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為 (6分)=(-1,0,1) (3分)(5分)62向陽書屋u(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN.AN(0,1,1)，可設(shè)ASAN(0，)，又EA( ，1,0)， ，1，)(8分)63向陽書屋u由ES平面AMN，得即 (9分)故 ，此時(shí)AS(0， )，|AS| (10分)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS 時(shí)，ES平面AMN.(11分)故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，此時(shí)AS (12分

16、)64向陽書屋u 自主體驗(yàn) 如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD為等腰梯形，ABDC，ACBD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)又BO2，PO ，PBPD.65向陽書屋u (1)求異面直線PD與BC所成角的余弦值； (2)求二面角PABC的大小； (3)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且 ，問為何值時(shí)，PC平面BMD?66向陽書屋u解：PO平面ABCD，POBD.又PBPD，BO2，PO ，則在RtPDB中，由OP2ODOB，得OD1，從而可得ODOC1，BOAO2.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(1，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0， )67向陽書屋u68向陽書屋u故直線PD與B