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1、 數(shù)列綜合練習(xí)(一)1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:(1)公式:Sneq blcrc (avs4alco1(f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)q1,na1 q1).(2)注意:應(yīng)用該公式時(shí),一定不要忽略q1的情況2若an是等比數(shù)列,且公比q1,則前n項(xiàng)和Sneq f(a1,1q)(1qn)A(qn1)其中Aeq f(a1,q1).3推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和4拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式:(1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1);一、選擇題1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,8a2a50,則eq

2、f(S5,S2)等于()A11 B5C8 D11答案D解析由8a2a50得8a1qa1q40,q2,則eq f(S5,S2)eq f(a1125,a1122)11.2記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S32,S618,則eq f(S10,S5)等于()A3 B5C31 D33答案D解析由題意知公比q1,eq f(S6,S3)eq f(f(a11q6,1q),f(a11q3,1q)1q39,q2,eq f(S10,S5)eq f(f(a11q10,1q),f(a11q5,1q)1q512533.3設(shè)等比數(shù)列an的公比q2,前n項(xiàng)和為Sn,則eq f(S4,a2)等于()A2 B4C.eq f(1

3、5,2) D.eq f(17,2)答案C解析方法一由等比數(shù)列的定義,S4a1a2a3a4eq f(a2,q)a2a2qa2q2,得eq f(S4,a2)eq f(1,q)1qq2eq f(15,2).方法二S4eq f(a11q4,1q),a2a1q,eq f(S4,a2)eq f(1q4,1qq)eq f(15,2).4設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2a41,S37,則S5等于()A.eq f(15,2) B.eq f(31,4)C.eq f(33,4) D.eq f(17,2)答案B解析an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a2a41,設(shè)an的公比為q,則q0,且aeq o

4、al(2,3)1,即a31.S37,a1a2a3eq f(1,q2)eq f(1,q)17,即6q2q10.故qeq f(1,2)或qeq f(1,3)(舍去),a1eq f(1,q2)4.S5eq f(41f(1,25),1f(1,2)8(1eq f(1,25)eq f(31,4).5在數(shù)列an中,an1can(c為非零常數(shù)),且前n項(xiàng)和為Sn3nk,則實(shí)數(shù)k的值為()A0 B1 C1 D2答案C解析當(dāng)n1時(shí),a1S13k,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由題意知an為等比數(shù)列,所以a13k2,k1.6在等比數(shù)列an中,公比q是整數(shù),a1a418,a2a31

5、2,則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為()A514 B513 C512 D510答案D解析由a1a418和a2a312,得方程組eq blcrc (avs4alco1(a1a1q318,a1qa1q212),解得eq blcrc (avs4alco1(a12,q2)或eq blcrc (avs4alco1(a116,qf(1,2).q為整數(shù),q2,a12,S8eq f(2281,21)292510.二、填空題7若an是等比數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn3n1t,則t_.答案eq f(1,3)解析顯然q1,此時(shí)應(yīng)有SnA(qn1),又Sneq f(1,3)3nt,teq f(1,3).8設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

6、,若a11,S64S3,則a4_.答案3解析S64S3eq f(a11q6,1q)eq f(4a11q3,1q)q33(q31不合題意,舍去)a4a1q3133.9若等比數(shù)列an中,a11,an512,前n項(xiàng)和為Sn341,則n的值是_答案10解析Sneq f(a1anq,1q),341eq f(1512q,1q),q2,又ana1qn1,512(2)n1,n10.10如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.答案2n1解析當(dāng)n1時(shí),S12a11,a12a11,a11.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(2an1)(2an11)an2an1,an是等比數(shù)列,an2n1,nN*.三、解

7、答題11在等比數(shù)列an中,a1an66,a3an2128,Sn126,求n和q.解a3an2a1an,a1an128,解方程組eq blcrc (avs4alco1(a1an128,,a1an66,)得eq blcrc (avs4alco1(a164,,an2,) 或eq blcrc (avs4alco1(a12,,an64.)將代入Sneq f(a1anq,1q),可得qeq f(1,2),由ana1qn1可解得n6.將代入Sneq f(a1anq,1q),可得q2,由ana1qn1可解得n6.故n6,qeq f(1,2)或2.12已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn54,S2n60,求S

8、3n.解方法一由題意Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列,6254(S3n60),S3neq f(182,3).方法二由題意得a1,Sneq f(a11qn,1q)54 S2neq f(a11q2n,1q)60 由得1qneq f(10,9), qneq f(1,9),eq f(a1,1q)eq f(954,8), S3neq f(a11q3n,1q)eq f(954,8)(1eq f(1,93)eq f(182,3).13已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n24.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnanlog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意,Sn2n24,n2時(shí),anSnS

9、n12n22n12n1,當(dāng)n1時(shí),a1S12344,也適合上式,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1,nN*.(2)bnanlog2an(n1)2n1,Tn222323424n2n(n1)2n1, 2Tn223324425n2n1(n1)2n2. 得,Tn232324252n1(n1)2n223eq f(2312n1,12)(n1)2n2 2323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1 (n1)2n22n2n2n2.14已知等差數(shù)列an滿足:a37,a5a726,an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bneq f(1,aoal(2,n)1)(nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn

10、.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d.因?yàn)閍37,a5a726,所以eq blcrc (avs4alco1(a12d7,,2a110d26,)解得eq blcrc (avs4alco1(a13,,d2.)所以an32(n1)2n1,Sn3neq f(nn1,2)2n22n.所以,an2n1,Snn22n.(2)由(1)知an2n1,所以bneq f(1,aoal(2,n)1)eq f(1,2n121)eq f(1,4)eq f(1,nn1)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1),所以Tneq f(1,4)(1eq f(1,2)eq f(

11、1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)eq f(1,n1)eq f(1,4)(1eq f(1,n1)eq f(n,4n1),即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tneq f(n,4n1).15設(shè)數(shù)列an滿足a12,an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bnnan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由已知,當(dāng)n1時(shí),an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12,符合上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1, 從而22Sn123225327n22n1. 得(122)Sn

12、2232522n1n22n1,即Sneq f(1,9)(3n1)22n1216在數(shù)列an中,a12,an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n),則an等于()A2ln n B2(n1)ln n C2nln n D1nln n答案A解析an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n),an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)lneq f(n1,n)ln(n1)ln n.又a12,ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nl

13、n 12ln n.17已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(1,4)(an1)2,求an的通項(xiàng)公式解當(dāng)n1時(shí),a1S1,所以a1eq f(1,4)(a11)2,解得a11.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1eq f(1,4)(an1)2eq f(1,4)(an11)2eq f(1,4)(aeq oal(2,n)aeq oal(2,n1)2an2an1),aeq oal(2,n)aeq oal(2,n1)2(anan1)0,(anan1)(anan12)0.anan10,anan120.anan12.an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列an12(n1)2n1.18(12分)在數(shù)列an中,a11,an12a

14、n2n.(1)設(shè)bneq f(an,2n1).證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)證明由已知an12an2n,得bn1eq f(an1,2n)eq f(2an2n,2n)eq f(an,2n1)1bn1.bn1bn1,又b1a11.bn是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知,bnn,eq f(an,2n1)bnn.ann2n1.Sn1221322n2n1兩邊乘以2得:2Sn121222(n1)2n1n2n,兩式相減得:Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1,Sn(n1)2n1.19(12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a11,an1eq f(1

15、,2)Sn(n1,2,3,)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)bnlogeq f(3,2)(3an1)時(shí),求證:數(shù)列eq f(1,bnbn1)的前n項(xiàng)和Tneq f(n,1n).(1)解由已知eq blcrc (avs4alco1(an1f(1,2)Sn,,anf(1,2)Sn1)(n2),得an1eq f(3,2)an(n2)數(shù)列an是以a2為首項(xiàng),以eq f(3,2)為公比的等比數(shù)列又a2eq f(1,2)S1eq f(1,2)a1eq f(1,2),ana2(eq f(3,2)n2(n2)aneq blcrc (avs4alco1(1,n1,,f(1,2)f(3,2)n2, n2.)(2)證明bnlogeq f(3,

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