高等代數(shù)版第五章

1、5.6矩陣可對角化的判別設(shè)A 是n 級可對角化矩陣，則存在陣P ，使n 級可逆矩 12PAP 1%n 令 P 1 ,2 ,n ，則Ai ii ,i 1, 2, , n因P 可逆，故1,2,n線性無關(guān)，1 , 2 ,n 都不是零向量，所以1, 2, n是A 的特征值，1,2,n是A對應(yīng)這些特征值的n 個線性無關(guān)的特征向量。定理n 級矩陣 A 可相似對角化的充分必要條件是A有n 個線性無關(guān)的特征向量。證明 必要性 前面已證。1充分性 設(shè)n級矩陣A 有n 線性無關(guān)的特征向量1 ,2 ,n ，它們對應(yīng)的特征值為1 , 2 , n ，則Ai ii ，i 1,2, n令 P 1 ,2 ,n ，因 1,2,

2、n 是n 個線性無關(guān)的n元列向量，故P 是n 級可逆矩陣。又AP A 1 ,2 ,n A1 , A2 , An 11 , 22 , nn 1 , ,212n%n 1 P 2%n2故 1P 1 AP 2%n 即A 可對角化。例 已知矩陣12 11 1A 2 2 11有特征值0（二重）和 2，對應(yīng)的特征向量分別為(1,1, 0)T ,(1, 0,1)T ,(1, 2,1)T因1 0111102 01故這三個特征向量線性無關(guān)，于是A 可對角化。令31 011 1P 12 01則 0P 1 AP 02 例 已知 13 220A 03 03 問A 可否對角化？解| I A | ( 1)( 2)( 3)A

3、 有特征值1, 2, 3它們對應(yīng)的特征向量分別為9TTT(1, 0, 0) ,(2, 1, 0) ,(, 3, 1)24因這三個向量線性無關(guān)，故A 可對角化。令 19 22 P 0103 1 0則 1P 1 AP 23 定理 設(shè) 與是矩陣A的兩個不同的特征值，1 ,2 ,s 與1 , 2 , t 分別是矩陣 A 屬于與的線性無關(guān)特征向量，則1 ,2 ,s , 1 , 2 , t 線性無關(guān)。證明 令k11 k22 kss l11 l2 2 lt t A，并利用式兩端5Ai i ,A j j ,i 1, s; j 1, tk11 k2 2 ks s l1 1 l2 2 lt t 而由式又k11 k

4、2 2 ks s l11 l2 2 lt t 上面兩式相減，得l1 ( )1 l2 ( )2 lt ( )t 不同，故 0。消去 ，得l11 l2 2 lt t 已知1 , 2 , t 線性無關(guān)，所以l1 l2 lt 0。把此結(jié)果代入式，得因與k11 k22 kss 而1 ,2 ,s 也線性無關(guān)，故k1 k2 ks 0。綜上所述，即證1 ,2 ,s , 1 , 2 , t 線性無關(guān)。6定理 設(shè)1, 2, m 是矩陣 A 的互不相同特征是A屬于 的線性無關(guān)的特征向值，,i1i 2irii量，則11 ,1r ,21 ,2r ,m1 ,mr線性無12m關(guān)。推論 若n級矩陣有n 個不同的特征值，則該矩

5、陣可對角化。一個矩性無關(guān)特征向量的最大數(shù)目？設(shè)1, 2, m 是 n 級矩陣A的互不相同的特征值，i1 ,i 2 ,iq 是特征方程組 ( iI A) X 0的一i個基礎(chǔ)解系（i 1,2, m），則11 ,1 ,m1 ,mqmq2線性無關(guān)且可線性表出任一特征向量，故向量組是A的特征向量集合的極大無關(guān)組，其所含向量的mm qi (iI A) 就是 A 的線性無數(shù)目ri 1i 1關(guān)特征向量的最大數(shù)目。7定理 若 n級矩陣 A 的所有特征方程組基礎(chǔ)解n ，則 A 可對角化。系包含的解向量個數(shù)之和等于例 判斷矩陣 10 130A 40 2 1可否對角化。解 1411 3000 2| I A | ( 2

6、) 11 3 ( 2)( 1)24A 的特征值為 2 和 1（二重）。 1，解(I A) X 0：對10 21I A行0 08特征方程組的基礎(chǔ)解系含 1 個解。對 2，解 (2I A) X 0 ： 1 100 1030102 I A 0行0 04 10 00特征方程組的基礎(chǔ)解系含 1 個解。因 A 的所有特征方程組基礎(chǔ)解系包含的解向量個數(shù)之和 23=n，故A不可對角化。小于例 已知復(fù)數(shù)域 C 上的矩陣 10 a1 0A a0 01 參數(shù) a 的取值與矩陣 A 可對角化之間的關(guān)系。解 1a0a 1000 1| I A|9 ( 2 1 a2 )( 1)情況一、若a 0，則 A 本身就是對角矩陣，當(dāng)

7、然可對角化。情況二、若a i ，則| I A | 2 ( 1)此時，A 的特征值為 1 和 0（二重）。因?yàn)?1I A) 2, r(0I A) 2r故特征方程組 (1I A) X 0與 (0I A) X 0的基礎(chǔ)解系共包含 1+1=2 個解，小于 A 的級數(shù) 3，因此A 不可對角化。情況二、若a 0, i ，則1 a2 0, 1。此時，A有 3 個互已特征值，故 A 可對角化。例 已知 a0 0a0A 0b 0c 問 a, b, c滿足什么條件時， A可對角化？10| I A | ( a)2 ( c)解(1) a cA有3重特征值 a 。對方程組 (aI A) X 0，(aI A) 0 時，才

8、能使該特征方程組的基僅當(dāng) r礎(chǔ)解系包含 3 個解。又 00000aI A 0b 00故 b 0。(2) a cA有特征值 a (二重)與 c 。對特征值 c ，因 c a0c a00 b 000) 2，故特征方程組) X 0 的基r礎(chǔ)解系包含 1 個解。而對特征值 a ，僅當(dāng)特征方程組(aI A) X 0 的基礎(chǔ)解系包含 2 個解時，才能使11A 的所有特征方程組基礎(chǔ)解系包含的解向量個數(shù)之(aI A) 1 ，而和等于 3=n。此時，要求 r 00000aI A 0b 0a c 且 a c 0，所以b 取任意值。b 0或a c 時， A可對角化。總之，當(dāng)例 設(shè)1 11111 1111 11A 1

9、 1 11 求 An。解| I A | ( 2)( 2)3A有特征值 2和2 （三重）。 2，解(2I A)X 0 得基礎(chǔ)解系對121 (1,1,0,0)T 2 (1,0,1,0)T 3 (1,0,0,1)T對 2，解 (2I A) X 0 得基礎(chǔ)解系4 (1,1,1,1)T因?yàn)?A 的所有特征方程組基礎(chǔ)解系包含的解向量個數(shù)之和 3+1 等于 A 的級數(shù) 4，所以A可對角化。令11101 01001 11P 1 ,2 ,3 ,4 1001則 22P 1 AP 2213由此得 A PP 1。于是， 2n1 I4 ,n為偶數(shù)n1AnPPn12A,n為奇數(shù)14.7實(shí)對稱矩陣的相似對角化一、對稱矩陣的

10、特征值和特征向量A，n 級實(shí)對稱矩陣T ，n級正交矩陣 1n 2%T 的列向量是 A 的特征向量T 的列向量組是歐氏空間Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基關(guān)鍵：求A的n 個正交的特征向量。定理 實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。證明 設(shè) A 是實(shí)對稱矩陣，是其任一特征值，是對應(yīng)的特征向量，則A =15兩端同時取共軛，得A A A 兩端同時轉(zhuǎn)置，得( A )T ( )T T AT T T A T兩端同時右乘，得 T T A T于是( ) T 0因 ，故 T 0 ，由此得 0 ，即是實(shí)數(shù)。16定理 實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。證明 設(shè) A 是實(shí)對陣矩陣， , 是 A 的兩個不同的特征值， , 分別是

11、A 對應(yīng)于 , 的特征向量。因A ,A 故( A )T ( )T T A T T AT T( T A) ( T )( ) T 0 T T 又 0，所以 T 0 ，即( , ) T 0由此得與正交。17二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化定理 對任一 n 級實(shí)對稱矩陣 A，存在 n 級正交矩陣 T，使得 1n 2%其中 1, 2, n為矩陣 A 的全部特征值。證明思路 （1）證明 A 可對角化1, 2 , m是 A 的互異特征值，它們的特設(shè)征方程組(iI A) X 0(i 1, 2, m ) 的基礎(chǔ)解系2 , qm 個解，則只需證q2 qm n分別包含（2）證明 A 可找到 n 個正交的特征向量設(shè)i 對應(yīng)

12、的特征方程組(iI A) X 0 的基礎(chǔ)解系為i1 ,iq ，則iq2 qm n 。對屬于18同一特征值的特征向量用 Sidt 方法正交化、單位化，得到正交的特征向量11 ,1q ，21 ,2q ， ，m1 ,mq12m如下圖所示：A12m11 ,1q ，21 ,2q，m1,mq12m正交化11 , 1q21, 2q ，m1 , mq，12m化11 ,1q21 ,2q， ，m1 ,mq，12m令T = 11 ,1q ,21 ,2q ,m1 ,mq12m則T 1 AT daig( , , , , , ) 1 1 2 2q1 m mm19例 已知矩陣 10 021A 01 02 有特征值 1(二重

13、)和 3，對應(yīng)的特征向量為1 (1, 0, 0)T ,2 (0, 1, 1)T , 3 (0, 1,1)T容易驗(yàn)證，1, 2, 3是正交向量組。令111 , ,| | | 112233|123則 1 ,2 ,3 是正交令的特征向量。 10011T , , 02 212311 02 220則 T 是正交矩陣且 1 13 例 已知矩陣 2 2412A 24 22有特征值 2(二重)和 -7，對應(yīng)的特征向量為 2(, 0, 1)T , ( 1 , (2, 1, 0)T , 1, 1)T1232容易驗(yàn)證， 1 3 ,交。2 3 ,但1 與2 不正對 1 與 2 進(jìn)行 Sidt 正交化： 2 (2, 1

14、) 1 ( 2 ,4 ,1 )T1 1，2(1, 1)55則1與2 也是 A 對應(yīng)特征值 2 的特征向量。這樣，211, 2 , 3再令(=3)是兩兩正交的特征向量。111 , ,| | | 112233|123則 1 ,2 ,3 是正交令的特征向量。 2213535142 T 1 ,2 ,3 5353 2 503 35則 T 是正交矩陣且 2 27 22求正交矩陣 T，使 T 1 AT 為對角矩陣?yán)?11 1 1 1 11 1 11A 1 1 1 1 11 | I A | ( 2)3( 2)解 A 的特征值為 2 (三重)和 -2 2，解 (2I A) X 0對得基礎(chǔ)解系1 (1, 1, 0

15、, 0)T ,2 (1, 0, 1, 0)T ,3 (1, 0, 0, 1)T正交化：1 1， (2 , 1 ) 1 ,1 , ( 1,0 )T22( , )12211 (3)X)11 , 1 , 1 )T (,33323化：111, 0, 0 )T (, 11| |2121112 (, 0 )T,22| |616162113 (,)T,33| |232323233 2，解 (2I A) X 0對得基礎(chǔ)解系4 ( 1,1 )T1,1,令11 ,1 ,1 ,12)T (44| X|2224取1 1112 2161231 12 26 2 6023 1T 1 ,2 ,3 ,4 102 2331 02

16、 2324則 diag (2, 2, 2, 2)例 設(shè) A 是 3 級實(shí)對稱矩陣，特征值為 1 (二重)和 2，且已知 A 屬于 2 的一個特征向量 ( 1, 2, 4 )T 。求 A。3 )T 是 A 屬于 1 的特征向解 設(shè) (量，則 ( 1, 2, 4 )T ，即x3 0解出它的一個基礎(chǔ)解系為1 (2, 1, 0) , (4, 0, 1)TT2可證(?)1 ,2 恰為 A 屬于 1 的兩個線性無關(guān)的特征向量。令 3 ( 1, 2, 4 )T ，則 1 ,2 ,3 線性無關(guān)。取 24 011 P , , 12 1234 025則 1P 1 AP 12 由此得 1 2222584 A P 1

17、 2811P21 2 4371, 2, 3正交化、（另法）把化，得20 1)T , ( ,155 ( 4 , 8 , 5 )T2105105105 ( 1 , 2 , 4 )T3212121令26 24121 5105 8 2 1 23 21 4 50T 1105 510521 則 T 是正交矩陣且 1 12由此得 1 1TT122 224 2258 1 2821 43727小結(jié)：1特征值與特征向量計(jì)算特征值與特征向量，特征值與特征向量的性質(zhì)2矩陣的對角化可對角化的判別，對角化的進(jìn)行3實(shí)對稱矩陣用正交矩陣對角化4相抵與廣義逆例 設(shè)A是n級矩陣，0 是A的一個p0重特征值，則特征方程組(0 I

18、A) X 0 的基礎(chǔ)解系至多包含 p0 個解。證明 設(shè)A Knn ，0 是A的一個p0重特征值，則| I A | ( 0 ) 0 g( )p其中g(shù)(0 ) 0。再設(shè)特征方程組(0 I A) X 0 的基礎(chǔ)解系包含q0 個解。要證q0 p0 ：28取特征方程組(0 I A) X 0 的一個基礎(chǔ)解系1 ,2 ,q ，在K 中存在, ，使得n0q0 1n1 ,2 ,q ,q 1 ,n00線性無關(guān)。因?yàn)? ,2 ,q 都是屬于特征值0 的特征向0量，所以A1 01 , Aq0又因?yàn)锳q 1 , An0 K n ，所以A, A 都可q0 1n由1 ,2 ,q0 1 ,n 線性表出，故可設(shè)n q0q0Aq

19、 1 bi1 i bk1q k00i 1k 1n q0q0 bi,n q0 i b ,A nq0 k0i 1k 1構(gòu)造 n 級矩陣 P 1 ,2 ,n ，則29AP A1 ,q ,q 1 ,n 00 A1 , Aq , Aq 1 , An 00 0b11#b1,nq0%#bq0 ,nq00 ,q0q0 1bb1n1,nq0#110#b 0 ,nq0n 0 IqB B , 0q0q0 11n0 PB由于 P 可逆，故P 1 AP B因?yàn)?A 與 B 相似，所以 A 與 B 的特征多項(xiàng)式相同。而| I B | ( 0 ) 0 | I B |qn q0故0 的重數(shù)不小于q0 ，即 q0 p0 。30

20、可對角化的實(shí)施細(xì)則：p1 p2 pm A的級數(shù)；q2 qm A 的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)；q2 qm p1 p2 pm 。何時等號成立？定理 方陣A 可對角化 A 的每個特征值對應(yīng)的特征方程組基礎(chǔ)解系中解的個數(shù)都等于該特征值的重數(shù)。31A的互異特征值12m特征值的重數(shù) pp1p2pm方程組(I A)X 0基礎(chǔ)解系中解的個數(shù)q1q2qmq 與 p 的關(guān)系q1 p1q 2 p2qm pm例 設(shè)A是n級實(shí)對稱矩陣，0 是A的一個p0重特征值，則特征方程組(0 I A) X 0 的基礎(chǔ)解系包含 p0 個解。證明 設(shè) A 是n級實(shí)對稱矩陣，0 是A的一個p0重特征值，特征方程組 (0 I A) X

21、0 的基礎(chǔ)解系包含q0 個解，則只需證 p0 q0 ：取特征方程組 (0 I A) X 0 的一個正交的基礎(chǔ)解系 , ,，在歐氏空間Rn中存在一12q0正交的向量q 1 ,n ，使得0組1 ,2 ,1,nq0也是正交的向量組。以它們?yōu)榱袠?gòu)造矩陣Q1 1 ,2 ,1 ,n q0則Q1是正交矩陣，并且根據(jù)前一例題的得方法可B B I0qQ1 AQ 011B 0，且 A 是對稱矩陣，所以Q1 AQ 也對QT因?yàn)?1132稱，由此得B 0且B 是實(shí)對稱矩陣。因?yàn)?A 與 B相似，所以| I A | I B | ( 0 ) 0 | In q B |q0 B | 0，即0 也是B 的，存在nq0 級正交矩

22、| 0 Inq若q0 p0 ，則0特征值。根據(jù)前面的陣Q2，使得 I010t0QB Q(t 1)2C 2令 I00Q2 則Q 是 n 級正交矩陣，并且Q1 AQ 0 Iq0 t C0C 0因A C ，故0 I A 0 I C 。于是(0 I A(0I C ) n (q0 t )33rr由此得特征方程組(0 I A) X 0 的基礎(chǔ)解系包含解的個數(shù)q0 n rank(0 I A) n n (q0 t ) q0 t q0。說明q0 p0 不可能發(fā)生，因此只能有產(chǎn)生p0 q0 。結(jié)論 實(shí)對稱矩陣可相似對角化。例 設(shè)矩陣1 431 1A xy 35 已知A有 3 個線性無關(guān)的特征向量，2是A的二重特征

23、值。試求可逆矩陣P ，使P 1AP 為對角矩陣。34解 因?yàn)锳是 3 級矩陣，有 3 個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化。這就要求A對應(yīng)特征值 2 有兩個線性無關(guān)的特征向量，亦即要求特征方程組(2I A) X 0 的基礎(chǔ)解系包含兩個解向量，即只需(2I A) 1。使 r因?yàn)? 1 1112 31x 202I A x y 行 0 x y 3 030故解得 x 2,y 2。因 | I A | ( 2)2( 6) ，故A的特征值為2（二重）和 6。 2，解(2I A) X 0對得基礎(chǔ)解系 1, 0)T , (1, 0, 1)T1 (1, 6，解2(6I A) X 0對得基礎(chǔ)解系35 2, 3)T 3 (1,令1 11012 , ,P 11233 0則 2P 1 AP 26 A2 A ，證明：存在 n例 設(shè) A 是 n 級矩陣且級可逆矩陣 P，使 1%11PAP 0%0 36是 A 的特征值，對應(yīng)特征向量為證明 設(shè)，則 A 。由此得A( ) A( A ) 2 A2 A ( 2 ) 因 ，故 2 0 。由此得 1。 0 或設(shè) 1 ,s 是特征方程組(0I A) X 0 的一個基礎(chǔ)解系，1 ,t 是特征方程組(1I A) X 0的一個基礎(chǔ)解系。下面要證 A 可對角化，即證 s t n。因A2 A ，故r(A) + r(I -A) = n設(shè) r(A) = r，