第7講角平分線的判定與性質

1、第7講 角平分線的判定與性質【知識點與方法梳理】角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線的判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。角平分線的作法（尺規(guī)作圖）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點；分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P；過點P作射線OP，射線OP即為所求角平分線的性質及判定1.角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等推導已知：OC平分MON，P是OC上任意一點，PAOM，PBON，垂足分別為點A、點B求證：PAPB證明：PAOM，PBONPAOPBO90OC平分MON12在PAO和PBO中，

2、PAOPBOPAPB幾何表達：（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）OP平分MON（12），PAOM，PBON，PAPB2角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上推導：已知：點P是MON內一點，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求證：點P在MON的平分線上證明：連結OP在RtPAO和RtPBO中，RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即點P在MON的平分線上幾何表達：（到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）【經(jīng)典例題】例1已知：如圖，ABC中， C=90，AD是ABC的角平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，

3、ACDEBF求證：CF=EB例2.已知：如圖，AD、BE是ABC的兩條角平分線，AD、BE相交于O點求證：O在C的平分線上例3.如圖ABCD，B90，E是BC的中點。DE平分ADC，求證：AE平分DAB。例4.已知：如圖，在ABC中，AD是ABC的角平分線，E、F分別是AB、AC上一點，并且有EDFEAF180試判斷DE和DF的大小關系并說明理由【經(jīng)典練習】1如圖，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O，OBOC，求證BAOCAO2.如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點，PDOA交于點D，PEOB交于點E，F(xiàn)是OC上除點P、O外一點，連結DF、EF，則DF與EF的關

4、系如何？證明你的結論。FEDCBAOP3.如圖，在CD上求作一點P，使它到OA，OB的距離相等（寫出作法）。ODCBA4.要將如圖中的MON平分，小梅設計了如下方案：在射線OM，ON上分別取OAOB，過A作DAOM于A，交ON于D，過B作EBON于B交OM于E，AD，EB交于點C，過O，C作射線OC即為MON的平分線，試說明這樣做的理由.5.如圖ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE、DF 分別垂直AB、AC，垂足為E、F ， 求證：EB=FCAEBDCF6. 如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，ABC面積是28，AB8cm，AC6cm，求DE的長 7

5、、已知：如圖，BC90，M是BC的中點，DM平分ADC（1）求證：AM平分DAB；（2）猜想AM與DM的位置關系如何？并證明你的結論【鞏固練習】基礎訓練題1.如圖，在RtABC中，C=90，BD是ABC的平分線，交AC于點D，若CD=n，AB=m，則ABD的面積是（ ）A.m+n B. mn C. D. 2.如圖，已知AC平分PAQ，點B，B分別在邊AP，AQ上，如果添加一個條件，即可推出AB=AB，那么該條件不可以是（ ）A、BBAC B、BC=BC C、ACB=ACB D、ABC=ABC3、如圖，F(xiàn)DAO于D，F(xiàn)EBO于E，下列條件：OF是AOB的平分線；DF=EF；DO=EO；OFD=O

6、FE。其中能夠證明DOFEOF的條件的個數(shù)有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.如圖，在ABC中，,分別是AB、AC上的點，EF=5 cm，BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線，且PDBC于D，PEAB于E, PFAC于F,已知PD=4cm則PEF的周長是_ cm.5.如圖（7）：ACBC，BM平分ABC且交AC于點M，N是AB的中點且BN=BC。求證：（1）MN平分AMB，（2）A=CBM。6.如圖：在ABC中，B，C相鄰的外角的平分線交于點D。求證：點D在A的平分線上。7.如圖8、ABCD，PCD的面積等于PAB的面積，求證：OP平分BOD。8.如圖9、在ABC中，B60，

7、ABC的角平分線AD、CE交于點O，求證：AE+CDAC。能力提高題1.已知：如圖，C2B，12，求證：ABAC+CD。2.已知，如圖2，12，P為BN上一點，且PDBC于D，AB+BC2BD，求證：BAP+BCP180。3、如圖，已知CAD=CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求證：AD平分BAE A B D E C(提示:延長AE到P,使得EP=AE,連接CP,證三角形ABD與PAC全等)4.如圖，已知ABCD，O是ACD，CAB的平分線的交點，且OEAC于E點，OE=12，求AB與CD之間的距離 A B E O C D5.如圖，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于點D

8、，若BD=CD求證：AD平分BAC.課后作業(yè)1.如圖，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分線，交AC于D，若CDn，ABm，則ABD的面積是（ ）AB Cmn D2mn2.如圖，OP平分AOB，PCOA于C，PDOB于D，則PC與PD的關系是（ ）A. PCPDB. PCPD C. PCPDD. 不能確定3. 如圖，點P是BAC的平分線AD上一點，PEAC于點E，已知PE3，則點P到AB的距離是A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.如圖，MPNP，MQ平分NMP，MTMP，連結TQ，則下列不正確的是（ ） ATQPQ B.MQTMQP C.QTN90D.NQTMQT 第2題 第3題 第4題 第5題5.如圖，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，M為AD上任意一點，則下列結論錯誤的是( )A.DEDF B.MEMF C.AEAF D.BDDC6.已知：如圖3，在RtABC中，C90，沿著過點B的一條直線BE折疊ABC使C點恰好落在AB邊的中點D處，則A的度數(shù)等于_7.如圖所示ADDC，BCDC，E是DC上一點，AE平分DAB，BE平分ABC，ABCDE求證：AB=AD+AC。8已知：如圖，CDAB于D，BEAC于E，CD、BE交于O，12求證：OBOC. 9.已知：如圖95，OD平分POQ，在OP、OQ邊上取OAOB，點C在OD上，C