3公倍數(shù)與公因數(shù)

1、第三單元 公倍數(shù)與公因數(shù)【知識結(jié)構(gòu)】在四年級（下冊）教材里，學(xué)生已經(jīng)建立了倍數(shù)和因數(shù)的概念，2、3、5倍數(shù)的特點；會找10以內(nèi)自然數(shù)的倍數(shù)，100以內(nèi)自然數(shù)的因數(shù)。本單元繼續(xù)教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的知識。“公倍數(shù)和公因數(shù)”研究兩個自然數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。要理解公倍數(shù)、最小公倍數(shù)和公因數(shù)、最大公因數(shù)的意義，學(xué)會找兩個數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的方法。為以后進行通分、約分和分?jǐn)?shù)四則計算作準(zhǔn)備。這一單元的要求與大綱的要求比做了調(diào)整，新教材不講互質(zhì)數(shù)，也不教短除法?！緦W(xué)生困難】1.課標(biāo)與大綱的變化，教師要適應(yīng)學(xué)生。研究教材不夠而帶來的人為困難。主要是教材體系中前期沒有互質(zhì)數(shù)、短除法、分解質(zhì)因數(shù)等，所以找公倍

2、數(shù)與公因數(shù)時速度較慢，但教材正是基于“理解概念、運用概念”的考慮，所以教師要適應(yīng)。2.公倍數(shù)課標(biāo)要求是“10以內(nèi)的兩個自然數(shù)”；公因數(shù)要求是“100以內(nèi)的兩個自然數(shù)”。 四年級教材要求會找10以內(nèi)自然數(shù)的倍數(shù)，100以內(nèi)自然數(shù)的因數(shù)。所以找公倍數(shù)與公因數(shù)也應(yīng)該在這個范圍。課程標(biāo)準(zhǔn)只要求在1100的自然數(shù)中,能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù),二是只要求在1100的自然數(shù)中,能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)，而不是用分解質(zhì)因數(shù)的方法求出公倍數(shù)或公因數(shù)。不教學(xué)用分解質(zhì)因數(shù)的方法求最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)還有兩個原因：一是通過列舉出兩個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法，找出公倍數(shù)或公因數(shù)。突出對公倍

3、數(shù)和公因數(shù)意義的理解；二是學(xué)生對用短除的形式求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的算理理解有困難，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。3.學(xué)生有條理書寫的意識與習(xí)慣不強。學(xué)生書寫怕煩：由于要依據(jù)概念有條理的書寫過程，學(xué)生思考要落筆，所以養(yǎng)成嚴(yán)格有序、嚴(yán)密思維品質(zhì)尤其重要。4.部分習(xí)題：集合圈的填寫；速度偏慢；p25/8與p25的思考題。集合圈的填寫比較容易出錯，學(xué)生的困難在于急于求成，沒有一定的步驟。在找出公倍數(shù)或公因數(shù)之后，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用集合圖表示出來。要讓學(xué)生經(jīng)歷填集合圖的過程，明確集合圖中每一部分的數(shù)表示的意義，體會初步的集合思想。“（ ）既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)”之類的兩個數(shù)的公倍數(shù)的特征，學(xué)生快速填寫較難，速

4、度比較慢。P25第8題，上一次時間是“7月31日”，周期從8月1日起，但是思考題的“上次時間”是8月1日，周期是最小公倍數(shù)再多一天。【教材安排】全單元的教學(xué)內(nèi)容分三部分編排。第2225頁教學(xué)公倍數(shù)。主要是兩個數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的意義，求最小公倍數(shù)的方法。第2631頁教學(xué)公因數(shù)。包括兩個數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)的意義，求最大公因數(shù)的方法。在練習(xí)五里還安排了最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的比較。第3236頁實踐與綜合應(yīng)用。利用郵政編碼、身份證號碼等實例，教學(xué)用數(shù)字編碼表示信息。在“你知道嗎”里，介紹了我國古代曾經(jīng)用“輾轉(zhuǎn)相除法”求最大公因數(shù)，也介紹了現(xiàn)代人們經(jīng)常用“短除法”求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍

5、數(shù)。在閱讀這篇材料后，如果學(xué)生愿意用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，是允許的。但是，不要求全體學(xué)生掌握和使用短除法。編排的思考題，是可以用公倍數(shù)、公因數(shù)知識解決的實際問題。1操作中理解公倍數(shù)與公因數(shù)的含義。P22例1教學(xué)公倍數(shù)，p26例3教學(xué)公因數(shù)，都是形成新的數(shù)學(xué)概念，都讓學(xué)生在操作活動中領(lǐng)會概念的含義。以往教學(xué)公倍數(shù)的概念，通常是直接找出兩個自然數(shù)的倍數(shù)，然后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的倍數(shù)是兩個數(shù)公有的，從而揭示公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。公因數(shù)和最大公因數(shù)的教學(xué)同樣如此。本單元教材注意以直觀的操作活動，讓學(xué)生經(jīng)歷公倍數(shù)和公因數(shù)概念的形成過程。這樣安排有兩點好處：一是學(xué)生通過操作活動，能體會公倍

6、數(shù)和公因數(shù)的實際背景，加深對抽象概念的理解；二是有利于改善學(xué)習(xí)方式，便于學(xué)生通過操作和交流經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程。例1分兩個層次：第一層次先用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片，分別鋪邊長6厘米和8厘米的正方形，發(fā)現(xiàn)正好鋪滿邊長6厘米的正方形，不能正好鋪滿邊長8厘米的正方形，對鋪滿和不能鋪滿的原因作出解釋。這里重點要聯(lián)系四年級倍數(shù)、因數(shù)的知識，解釋算式“63=2、62=3”的意義，6是3的倍數(shù)、6是2的倍數(shù)、6既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)。將“形”與“數(shù)”結(jié)合起來，用概念來表述算式。（操作：動手實踐與頭腦思維都是操作實踐）第二層次根據(jù)正好鋪滿邊長6厘米的正方形的經(jīng)驗，再想像聯(lián)想還能正好鋪滿邊長是幾厘米的正方形。

7、先找到這些正方形，把它們的邊長從小到大排列，知道這樣的正方形有無數(shù)多個。從倍數(shù)的角度總結(jié)規(guī)律，為形成新的數(shù)學(xué)概念積累豐富的感性材料。再用“既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)”概括地描述這些正方形邊長的特征。顯然，前一層次形象思維的成分較大，思考難度較小，對后一層次的抽象認(rèn)識有重要的支持作用。關(guān)鍵是為學(xué)生數(shù)學(xué)思考積累提供充分的支撐。 讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中，通過活動領(lǐng)悟公倍數(shù)的含義，不僅體現(xiàn)在例題的教學(xué)中，還落實到練習(xí)里。第23頁“練一練”在2的倍數(shù)上畫“”，在5的倍數(shù)上畫“”。從數(shù)表里的10、20、30三個數(shù)既畫了“”又畫了“”，體會它們既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，是2和5的公倍數(shù)。P24練習(xí)四第4、7、

8、8題都是與公倍數(shù)有關(guān)的實際問題，讓學(xué)生通過涂顏色、填表格、圈日期等活動體會公倍數(shù)的含義。 例3教學(xué)公因數(shù)的含義，也通過“鋪”的活動組織教學(xué)。與例1不同的是，例3用2張邊長不同的正方形紙片分別去鋪同一個長方形，是形成公因數(shù)概念的需要。例題編寫和練習(xí)編排與教學(xué)公倍數(shù)相似，這里不再重復(fù)。2突出概念的內(nèi)涵、外延，準(zhǔn)確理解概念。概念的內(nèi)涵是指這個概念所反映的一切對象的共同的本質(zhì)屬性。公倍數(shù)是幾個數(shù)公有的倍數(shù)，公因數(shù)是幾個數(shù)公有的因數(shù)，可見“幾個數(shù)公有的”是公倍數(shù)和公因數(shù)這兩個概念的本質(zhì)屬性。在倍數(shù)、因數(shù)的基礎(chǔ)上教學(xué)公倍數(shù)、公因數(shù)，關(guān)鍵在于突出“公有”的含義。 教材用“既是又是”的描述，讓學(xué)生理解“公有”

9、的意思。例1先聯(lián)系長3厘米、寬2厘米的長方形紙片正好鋪滿邊長6厘米、12厘米、24厘米的正方形這些現(xiàn)象，從正方形的邊長分別除以長方形紙的長和寬都沒有余數(shù)，得出正方形的邊長“既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)”，一方面概括了這些正方形邊長的特點，另一方面讓學(xué)生體會“既是又是”的意思。然后在“6、12、18、24既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，它們是2和3的公倍數(shù)”這句話里把“既是又是”進一步概括為“公倍數(shù)”，形成公倍數(shù)的概念。 集合圖能直觀形象地顯示公倍數(shù)、公因數(shù)的含義。第23頁把6的倍數(shù)與9的倍數(shù)分別寫到兩個集合圈里，這兩個集合圈有一部分重疊，在重疊部分里寫的數(shù)既是6的倍數(shù)，也是9的倍數(shù)，是6和9的公倍數(shù)

10、。先觀察這個集合圖，再填寫第24頁的集合圖，學(xué)生能進一步體會公倍數(shù)的含義。 概念的外延是指這個概念包括的一切對象。對具體事例是否屬于概念作出判斷，就是識別概念的外延，加強對概念的認(rèn)識。例1在揭示2和3的公倍數(shù)的概念，指出它們的公倍數(shù)是6、12、18、24后，提出“8是2和3的公倍數(shù)嗎”這個問題，利用反例凸現(xiàn)公倍數(shù)的含義。讓學(xué)生明白8只是2的倍數(shù)，不是3的倍數(shù)，從而進一步明確公倍數(shù)的概念。P24練習(xí)四第2題先在表格里分別寫出4、5、6的倍數(shù)，再尋找4和5、5和6、4和6的公倍數(shù)，也有助于學(xué)生識別概念的外延。3通過找兩個數(shù)的公倍數(shù)與公因數(shù)進一步理解概念。本單元只教學(xué)兩個數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)和兩個

11、數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)。因為這些是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，在約分和通分時應(yīng)用最多。不編排例題教學(xué)短除法求最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，而是采用寫出兩個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)，找出它們的最小公倍數(shù)或最大公因數(shù)的方法。這樣安排的目的是，在運用概念解決問題的過程中，進一步加強數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。 P23例2教學(xué)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，出現(xiàn)了多種解決問題的方法，這些方法的思路都出自公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，從6和9的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的意義引發(fā)出來。學(xué)生可能先分別寫出6和9的倍數(shù)，再找出它們的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。由于倍數(shù)需一個一個地寫，還要逐個逐個地比，所以得出公倍數(shù)和最小公倍數(shù)比較慢。學(xué)生也可能在9的倍數(shù)里找6的倍數(shù)，只要依

12、次想出9的倍數(shù)（即91、92、93的積），逐一判斷是不是6的倍數(shù)，操作比較方便。尤其求兩個較小數(shù)（不超過10）的最小公倍數(shù)時，更能顯出這種方法的優(yōu)點。當(dāng)然，在6的倍數(shù)里找9的倍數(shù)，也是一種方法，但沒有9的倍數(shù)里找6的倍數(shù)快捷。教材安排學(xué)生在交流中體會各種方法，首先是理解各種方法的共同點，都在尋找既是6的倍數(shù)、又是9的倍數(shù)，而且是盡量小的那個數(shù)。然后是理解各種方法的個性特點，從中作出自己的選擇。 P27例4求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，教學(xué)方法和例2相似。求8和12的最大公因數(shù)的幾種方法中，教材呈現(xiàn)的第一種方法比較適宜多數(shù)學(xué)生。因為一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，先寫出兩個數(shù)的全部因數(shù)，再找出最大公因數(shù)，操

13、作不麻煩。第二種方法從小到大依次想較小數(shù)的因數(shù)，稍不留心就會遺漏某一個因數(shù)。4用好練習(xí)：（1）特殊關(guān)系的兩個數(shù)的公倍數(shù)與公因數(shù)：p25練習(xí)四第5題在初步學(xué)會求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)之后安排。左邊的色塊里，每組的兩個數(shù)之間有倍數(shù)與因數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)是較大的那個數(shù)。右邊的色塊里，每組的兩個數(shù)之間有互素關(guān)系，每組兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。P29練習(xí)五第6題是初步會求兩個數(shù)的最大公因數(shù)后安排的。左邊色塊里，每組的兩個數(shù)之間也有倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系，它們的最大公因數(shù)是較小的那個數(shù)。右邊色塊里，每組兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1。這些特殊情況，在通分和約分時會經(jīng)常出現(xiàn)。（用好機動課時，上好練習(xí)課，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“寫最小公倍數(shù)形成猜想舉例驗證得出規(guī)律運用規(guī)律”）。教學(xué)時可以按色塊進行，先分別求出同一色塊四組數(shù)的最小公倍數(shù)或最大公因數(shù)，再找出相同的特點，通過交流內(nèi)化成求最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的技能。要注意的是，學(xué)生有倍數(shù)與因數(shù)的知識，能夠理解同組兩個數(shù)之間的倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系，以及它們的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的規(guī)律。由于新教材不講互質(zhì)數(shù)，也不教短除法，所以兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積、最大公因數(shù)是1，這些特殊情況，只能在具體對象中感受，可