數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第六節(jié)

1、余子式和代數(shù)余子式主要內(nèi)容引理行列式按行(列)展開法則第六節(jié) 行列式按行(列)展開三階行列式的幾何意義行列式的計算方法決這個問題,先學習余子式和代數(shù)余子式的概念.一般來說,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便,于是,自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題.本節(jié)我們要解決的問題是,如何把高階行列式降為低階行列式,從而把高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算.為了解 一、余子式和代數(shù)余子式Aij 叫做元素 aij 的代數(shù)余子式.定義 在 n 階行列式中,把元素 aij 所在的第i 行和第 j 列劃去后,剩下的元素按它們在原行列式中的相對位置組成的 n 1 階行列式叫做元素 aij的余子式

2、,記作 Mij； Aij=(1 )i+jMij ,記D = aijAij . 二、引理 一個 n 階行列式,如果其中第i 行所有元素除aij 外都為0,那么這行列式等于 aij 與它的代數(shù)余子式的乘積,即或 D = a1jA1j + a2jA2j + + anjAnj (j = 1,2, ,n). 三、行列式按行(列)展開法則定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin (i = 1,2, ,n),這個定理叫做行列式按行（列）展開法則.例 任意輸入一個三階或四階行列式，利用行列式按行（列）展開法則計算.

3、例 12 行列式稱為 n 階范德蒙德 (Vandermonde) 行列式.證明由還可得下述重要推論.推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1+ ai2Aj2 + + ainAjn = 0 , i j , 或 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 , i j . 綜合及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中仿照上述推論證明中所用的方法，在行列式det(aij) 按第 i 行展開的展開式中，用 b1 , b2 , , bn依次代替 ai1 , ai2 , , ain ，可得類似地，用 b1 , b2 , , bn 代

4、替 det(aij) 中的第 j 列，可得例 13 設(shè)D 的（i , j）元的余子式和代數(shù)余子式依次記作 Mij和 Aij ，求A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M41 . 1. 直接用定義計算; 2. 利用性質(zhì)化為三角形行列式; 3. 利用展開式定理降階. 五、行列式的計算方法到現(xiàn)在為止,我們已能計算任意階的行列式.行列式的計算是我們這一章的重點,也是同學們必須掌握的基本技能.行列式有以下三種計算方法:行列式時,應(yīng)根據(jù)實際情況靈活選擇計算方法. 行 列 式 的 計 算在這三種方法中,方法1 主要用于理論分析,很少用來計算具體的行列式,但對于低

5、階行列式(如二階、三階)或有很多零元素的高階行列式,有時也可用此方法來計算;方法2 適用于行列式的階不確定的高階行列式的計算;方法3 主要用于階為已知的高階行列式的計算.當然在計算一個下面看幾個例子. 下面再舉幾個 n 階行列式計算的例子. 例 設(shè)證明遞推關(guān)系式 Dn = nDn-1 - n-1n-1Dn-2 ( n 2 ).關(guān)系式在計算數(shù)學中常被引用.Dn 是常見的 n 階三對角行列式,所證的遞推 例 計算 n 階行列式 例 計算 n 階行列式本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回

6、按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本