第五講高斯光束

1、第五講高斯光束激光原理與技術(shù)原理部分第5講高斯光束-激光器基本光束重復(fù)5.4 波動(dòng)方程=數(shù)學(xué)基礎(chǔ)+物理概念類透鏡介質(zhì)中的波動(dòng)方程-博士生考試在各向同性、無(wú)電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：對(duì)2式求旋度：且由3式：在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即綜合上三式可以得到假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時(shí)可以將電磁場(chǎng)表示為：代入(4)式波動(dòng)方程也稱亥姆霍茲方程波動(dòng)方程當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增益和損耗的情況時(shí)，上式最后一項(xiàng)可以表示為：當(dāng) 代表吸收介質(zhì)， 代表增益介質(zhì)上式表示復(fù)數(shù)波數(shù).波動(dòng)方程也稱亥姆霍茲方程波動(dòng)方程我們考慮波數(shù)表示形式為其中k0、k2都可

2、以是復(fù)數(shù)，這個(gè)表達(dá)式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義： 可以得到n(r)的表達(dá)式：的情況該表達(dá)式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式，證明我們考慮的k(r)表達(dá)式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。級(jí)數(shù)展開(kāi)波動(dòng)方程類透鏡介質(zhì)中波動(dòng)方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播?？梢约僭O(shè)光場(chǎng)的橫向分布只與 有關(guān)，因此波動(dòng)方程中的算符 可以表示為：波動(dòng)方程我們假設(shè) ，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說(shuō)明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場(chǎng)分量，其單色平面波的表達(dá)式為： 其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波；為了研究修正平面

3、波，我們引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修正兩部分。該修正因子滿足慢變近似： 將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動(dòng)方程可以得到：波動(dòng)方程令修正因子取以下形式：為什么取這種形式？這是對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行長(zhǎng)期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的物理意義。牢記波動(dòng)方程-結(jié)果-后面還有用通過(guò)將修正因子帶入被假設(shè)修正過(guò)的波動(dòng)方程，可以得到：該方程對(duì)不同r都成立，因此r2系數(shù)為零，k項(xiàng)系數(shù)也為零：該式稱為類透鏡介質(zhì)中的簡(jiǎn)化的波動(dòng)方程。5.0 （繼續(xù))類透鏡介質(zhì)中的波動(dòng)方程從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出各向同性、無(wú)電荷分布介質(zhì)中的波動(dòng)方程為：若假設(shè)其解為修正平面波，且將類透鏡介質(zhì)折射率表達(dá)式帶入其中可以得到

4、：其中 為修正因子，若假設(shè)其形式為：可得到簡(jiǎn)化的波動(dòng)方程：5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束均勻介質(zhì)可以認(rèn)為是類透鏡介質(zhì)的一種特例，即k2=0時(shí)的類透鏡介質(zhì)，此時(shí)簡(jiǎn)化波動(dòng)方程為：引入一中間函數(shù)S，使 代入上式得到得出 該微分方程的解為 ，a、b為復(fù)常數(shù)則由p與q的關(guān)系得到C1不影響振幅和相位的分布，因此可以設(shè)C1=0。5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束將上述結(jié)果代入到 的表達(dá)式中有：滿足該表達(dá)式的q0有很多形式，但對(duì)其研究發(fā)現(xiàn)純虛數(shù)形式的q0可以得到有物理意義的波，因此假設(shè)q0具有如下表達(dá)形式：將q0的表達(dá)式帶入（1）式中，其指數(shù)的兩項(xiàng)可以分別表示為：5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束人為定義以下參數(shù)：將上述參

5、數(shù)帶入到光場(chǎng)的表達(dá)式，整理可以得到光場(chǎng)的表達(dá)式：經(jīng)典公式-永遠(yuǎn)有用該式所表示的是均勻介質(zhì)中波動(dòng)方程的一個(gè)解，稱為基本高斯光束解，其橫向依賴關(guān)系只包含r，而與方位角無(wú)關(guān)。那些與方位角相關(guān)的分布是高階高斯光束解。上面最后一個(gè)表達(dá)式中的兩項(xiàng)，前一項(xiàng)是振幅項(xiàng)，后一項(xiàng)是相位項(xiàng)。為什么是這個(gè)解？還有其他解嗎？5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束高斯分布：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中更多的被稱為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) 5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束高斯光束基本特性振幅分布特性由高斯光束的表達(dá)式可以得到：在z截面上，其振幅按照高斯函數(shù)規(guī)律

6、變化，如圖所示。將在光束截面內(nèi)，振幅下降到最大值的1/e時(shí)，離光軸的距離 定義為該處的光斑半徑。由 的定義可以得到：即光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線，在z=0時(shí)有最小值 ，這個(gè)位置被稱為高斯光束的束腰位置。5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束等相位面特性從高斯光束解的相位部分可以得到傳輸過(guò)程中的總相移為：將上式同標(biāo)準(zhǔn)球面波的總相移表達(dá)式比較：可以得出結(jié)論，在近軸條件下高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，球面的球心位置隨著光束的傳播不斷變化，由R(z)的表達(dá)式可知：z=0時(shí)， ,此時(shí)的等相位面是平面； 時(shí)， ，此時(shí)等相位面也是平面； 時(shí)， ，f=R/2原則，此時(shí)的等相位面半徑最小； 5.1

7、 均勻介質(zhì)中的高斯光束瑞利長(zhǎng)度-必須牢記！當(dāng)光束從束腰傳播到 處時(shí)，光束半徑 ，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個(gè)范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長(zhǎng)度稱為高斯光束的瑞利長(zhǎng)度，通常記作 。 在實(shí)際應(yīng)用中，一般認(rèn)為基模高斯光束在瑞利長(zhǎng)度范圍內(nèi)是近似平行的，因此也把瑞利距離長(zhǎng)度稱為準(zhǔn)直距離。從瑞利長(zhǎng)度表達(dá)式 可以得出結(jié)論，高斯光束的束腰半徑越大，其準(zhǔn)直距離越長(zhǎng)，準(zhǔn)直性越好。5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束高斯光束的孔徑從基模高斯光束的光束半徑表達(dá)式可以得到截面上振幅的分布為：則其光強(qiáng)分布為：考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無(wú)限大平面，以光軸為中心開(kāi)一半徑為a的孔，則透過(guò)該孔徑的光功率與總功率的比值為左

8、下式，通過(guò)計(jì)算可以得到不同孔徑的功率透過(guò)率(徑向和圓周分別積分，求面積公式）。在激光應(yīng)用中，高斯光束總要通過(guò)各種光學(xué)元件，從上面推導(dǎo)可知，只要光學(xué)元件的孔徑大于3/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過(guò)?？讖桨霃絘/23/22功率透過(guò)比39.3%86.5%98.89%99.99%5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角從高斯光束的等相位面半徑以及光束半徑的分布規(guī)律可以知道，在瑞利長(zhǎng)度之外，高斯光束迅速發(fā)散，定義當(dāng) 時(shí)高斯光束振幅減小到最大值1/e處與z軸夾角為高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角（半角）：（下一頁(yè)推導(dǎo)）包含在全遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角內(nèi)的光束功率占高斯光束總功率的86.5%高斯光束在軸線附近可以看成一種非

9、均勻高斯球面波，在傳播過(guò)程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。前面推導(dǎo)均勻介質(zhì)中的基模高斯光束解時(shí)曾假設(shè)振幅橫向分布與方位角無(wú)關(guān)，如果考慮方位角的變化 ，則算符可以表示為：此時(shí)波動(dòng)方程的特解為：代入波動(dòng)方程，分離變量后解得：5.3 均勻介質(zhì)中的高階高斯光束其解為厄米多項(xiàng)式 仍為基本高斯光束解，所以總的解為其中的m、n為x、y方向上的零點(diǎn)數(shù)，此時(shí)高階高斯光束分布為厄米-高斯光束，表示為T(mén)EMmn模式。5.3 均勻介質(zhì)中的高階高斯光束5.3 均勻介質(zhì)中的高階高斯光束幾種高階高斯光束的光強(qiáng)分布圖TEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)Hm(x)

10、FIH2m(x)F25.3 均勻介質(zhì)中的高階高斯光束5.2 類透鏡介質(zhì)中的高斯光束類透鏡介質(zhì)中k20，此時(shí)的簡(jiǎn)化波動(dòng)方程為： 其解仍可以采用與均勻介質(zhì)中相類似的處理方式得到，最終可以求出：5.2 類透鏡介質(zhì)中的高斯光束類透鏡介質(zhì)中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式，如果我們只討論其中包含r2的指數(shù)部分：仍取 ，則q(z)可以表示成：將(2)式代入(1)式可以得到：其中(z)是光斑半徑，R(z)是等相位面曲率半徑，其物理意義同均勻介質(zhì)中的基本高斯光束解相同，然而數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜。5.2 類透鏡介質(zhì)中的高斯光束前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：本次重點(diǎn)-三大特點(diǎn)特點(diǎn)之一：光束描述-波動(dòng)方程（通式）+特征值（半徑、瑞利）將在光束截面內(nèi)，振幅下降到最大值的1/e時(shí)，離光軸的距離 定義為該處的光斑半徑。當(dāng)光束從束腰傳播到 處時(shí)，光束半徑 ，即光斑面積增大為最小值的兩倍，這個(gè)范圍稱為瑞利范圍，從束腰到該處的長(zhǎng)度稱為高斯光束的瑞利長(zhǎng)度，通常記作 。 特征之二：光束類透鏡傳輸，ABCD特征值三：光束模式-厄米高斯課后