大學(xué)物理經(jīng)典例題講解第七章真空中的靜電場(chǎng)

1、大學(xué)物理經(jīng)典例題講解第七章 真空中的靜電場(chǎng)例7-1 三個(gè)電荷量均為q的正負(fù)電荷，固定在一邊長(zhǎng)a=1m 的等邊三角形的頂角（圖a)上。 另一個(gè)電荷+Q在這三個(gè)電荷靜電力作用下可沿其對(duì)稱軸（o-x）自由移動(dòng)，求電荷+Q的平衡位置和所受到的最大排斥力的位置。o-qq+Qqara/2xy(a)F3解：如圖b所示，o-qq+Qqara/2xy(b)F1F2式中正電荷Q受到-q的吸引力F1沿ox軸負(fù)方向；兩個(gè)+q對(duì)它的排斥力F2和F3的合力沿ox正方向；因此，作用在Q上的總合力為：則令可求得Q受到零作用力的位置可求得Q受到最大排斥力的位置再令 例7-2 按量子理論，在氫原子中，核外電子快速地運(yùn)動(dòng)著，并以一

2、定的概率出現(xiàn)在原子核（質(zhì)子的周圍各處，在基態(tài)下，電子在半徑r0.52910-10的球面附近出現(xiàn)的概率最大.試計(jì)算在基態(tài)下,氫原子內(nèi)電子和質(zhì)子之間的靜電力和萬(wàn)有引力,并比較兩者的大小.引力常數(shù)為G =6.6710-11Nm2/kg2 解: 按庫(kù)侖定律計(jì)算,電子和質(zhì)子之間的靜電力為應(yīng)用萬(wàn)有引力定律, 電子和質(zhì)子之間的萬(wàn)有引力為 可見(jiàn)在原子中,電子和質(zhì)子之間的靜電力遠(yuǎn)比萬(wàn)有引力大。由此,在處理電子和質(zhì)子之間的相互作用時(shí),只需考慮靜電力,萬(wàn)有引力可以略去不計(jì)。自然界存在的幾種靜電力原子結(jié)合成分子的結(jié)合力。原子、分子結(jié)合形成液體或者固體時(shí)的結(jié)合力?；瘜W(xué)反應(yīng)和生物過(guò)程中的結(jié)合力（DNA分子雙螺旋結(jié)構(gòu)的形成

3、） 。由此得靜電力與萬(wàn)有引力的比值為例7-3 試求電偶極子在均勻外電場(chǎng)中所受的作用，并分析電偶極子在非均勻外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。解：如圖所示，在均勻外電場(chǎng)中，電偶極子的正負(fù)電荷上的電場(chǎng)力的大小為：由于大小相等、方向相反，合力為零；產(chǎn)生的合力矩大小為：電偶極子定義:一對(duì)相距為l 帶電量相同,電性相反的點(diǎn)電荷系。：由負(fù)電荷指向正電荷電偶極子的電偶極矩：矢量式為在此力矩作用下電偶極矩將轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向直到電矩與外電場(chǎng)方向一致。在非均勻外電場(chǎng)中，電偶極子一方面受力矩作用，另一方面，所受合力不為零，場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)一端電荷受力較大，促使偶極子向場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)方向移動(dòng)，如圖所示：yxA(x,0)+例7-4 求電偶極子軸線的延長(zhǎng)

4、線上和中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。解：電偶極子軸線的延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)A(x,0)的電場(chǎng)。+ A點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)為：+r電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。+用矢量形式表示為：若rl結(jié)論：電偶極子中垂線上，距離中心較遠(yuǎn)處一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。 解：建立直角坐標(biāo)系 取線元dx 帶電將投影到坐標(biāo)軸上ap1 2dEdEydxr例7-5 求距離均勻帶電細(xì)棒為a 的 p點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度。 設(shè)棒長(zhǎng)為L(zhǎng) , 帶電量q ，電荷線密度為l =q/L 積分變量代換 代入積分表達(dá)式 同理可算出ap1 2dEdEydxr當(dāng)直線長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：極限情況，由 例7-6

5、 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x處的電場(chǎng)。xpRpxRr解： 例7-6 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x處的電場(chǎng)。所以，由對(duì)稱性當(dāng)dq 位置發(fā)生變化時(shí)，它所激發(fā)的電場(chǎng)矢量構(gòu)成了一個(gè)圓錐面。.由對(duì)稱性xpRr討論：即在圓環(huán)的中心，E=0由當(dāng)0=x當(dāng)時(shí)即p點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)時(shí)，與環(huán)上電荷全部集中在環(huán)中心處一個(gè)點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)相同。Rrdr例7-7 求均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。解：由例6均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)xP討論：1. 當(dāng)xR2. 當(dāng)R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球面上的全部電荷，高斯面可見(jiàn)，電荷均勻分布在球面時(shí)，它在球面外的電場(chǎng)就與全部電荷都集中在球心的點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)完全相同。（2）電荷分布

6、在整個(gè)球體內(nèi)：+r0RE均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如上圖。+qrR 時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場(chǎng)和電荷均勻分布在球面上時(shí)球面外電場(chǎng)完全相同。高斯面+rR 時(shí)，設(shè)電荷體密度為+q高斯面+可見(jiàn)，球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)隨r線性增加。均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如上圖。r0REEE例7-9 均勻帶電無(wú)限大平面的電場(chǎng).電荷及場(chǎng)分布：面對(duì)稱性，場(chǎng)方向沿法向。解：高斯面:作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。ESE圓柱形高斯面內(nèi)電荷由高斯定理得可見(jiàn)，無(wú)限大均勻帶電平面激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度與離面的距離無(wú)關(guān)，即面的兩側(cè)形成勻強(qiáng)電場(chǎng)。矢量式為：ESE例7-10 求電荷呈無(wú)限長(zhǎng)圓柱形軸

7、對(duì)稱均勻分布時(shí)所激發(fā)的電場(chǎng)。圓柱半徑為R，沿軸線方向單位長(zhǎng)度帶電量為。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉 合面,高為l,半徑為r電荷及場(chǎng)分布：柱對(duì)稱性，場(chǎng)方向沿徑向。由高斯定理知解：l（1）當(dāng)rR 時(shí)，均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布Er 關(guān)系曲線REr0矢量式為：例7-11 計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)。式中r+與r-分別為+q和-q到P點(diǎn)的距離，由圖可知yPx+q-qre/2re/2Or+r-r解：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶極子的電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電勢(shì)為由于r re ，所以P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為因此+例7-12 一半徑為R 的圓環(huán)，均勻帶有電荷量q 。計(jì)算圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P 處的電勢(shì)。+解：設(shè)環(huán)上電荷線密度

8、為環(huán)上任取一長(zhǎng)度為的電荷元，其所帶電荷該電荷元在p 點(diǎn)電勢(shì)為：oprxxR整個(gè)圓環(huán)在p 點(diǎn)的電勢(shì)為例7-13 計(jì)算均勻帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。球面半徑為R，總帶電量為q。解：（1）取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)；（2）由高斯定律可知電場(chǎng)分布為；（3）確定電勢(shì)分布；+qRo(1) 當(dāng)rR時(shí)(2)當(dāng)rR時(shí)rVR+qRo電勢(shì)分布曲線場(chǎng)強(qiáng)分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢(shì)等于球表面的電勢(shì)，球外的電勢(shì)等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢(shì)。 解：令無(wú)限長(zhǎng)直線如圖放置，其上電荷線密度為 。計(jì)算在x軸上距直線為的任一點(diǎn)P處的電勢(shì)。yrOPP1xr1因?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電荷分布延伸到無(wú)限遠(yuǎn)的，所以

9、在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)公式來(lái)計(jì)算電勢(shì)V，否則必得出無(wú)限大的結(jié)果，顯然是沒(méi)有意義的。同樣也不能直接用公式來(lái)計(jì)算電勢(shì)，不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的電勢(shì)值為無(wú)限大的結(jié)果。例7-14 計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布。 為了能求得P點(diǎn)的電勢(shì)，可先應(yīng)用電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系式，求出在軸上P點(diǎn)P1和點(diǎn)的電勢(shì)差。無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)為 于是，過(guò)P點(diǎn)沿x軸積分可算得P點(diǎn)與參考點(diǎn)P1的電勢(shì)差 由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1 m處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則很方便地可得P點(diǎn)的電勢(shì)為 點(diǎn)電荷的等勢(shì)面 五、等勢(shì)面在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的面稱為等勢(shì)面。典型等勢(shì)面 由上式可知，在r1 m

10、處,VP為負(fù)值；在rr），用一根很長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線連接起來(lái)（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體組帶電，電勢(shì)為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。Q兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢(shì)值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場(chǎng)可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢(shì)。因此，每個(gè)球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各可見(jiàn)大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為 對(duì)孤立導(dǎo)體可見(jiàn)電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅?，電荷面密度愈大。自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢(shì)為例8-2 （1）如果人

11、體感應(yīng)出1C的電荷，試以最簡(jiǎn)單的模型估計(jì)人體的電勢(shì)可達(dá)多少？（2）在干燥的天氣里，空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為3MV/m，當(dāng)人手指接近門上的金屬門把手時(shí)可能產(chǎn)生的電火花有多長(zhǎng)？解：把人體看作半徑1m的球體，于是人的電勢(shì)為V火花放電長(zhǎng)度為m例8-3 兩平行放置的帶電大金屬板A和B，面積均為S，A板帶電QA，B板帶電QB，忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板四個(gè)面的電荷面密度。解：設(shè)兩板四個(gè)面的電荷面密度分別為AB在兩個(gè)板內(nèi)各選一點(diǎn)P1、P2，由于靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零由于電場(chǎng)為四個(gè)面上電荷共同激發(fā)的，取X軸正方向如圖 對(duì)P1對(duì)P2得可見(jiàn)，平行放置的帶電大金屬板相向兩個(gè)面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相反；相背

12、兩個(gè)面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相同。AB例8-4 靜電除塵器由半徑為ra的金屬圓筒(陽(yáng)極)和半徑為rb 的同軸圓細(xì)線(陰極).如果空氣在一般情況下的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為3.0MV/m,試提出一個(gè)靜電除塵器圓筒和中心線粗細(xì)的設(shè)計(jì)方案.灰塵出口解:中心軸線帶電后,距中心軸r處的電場(chǎng)強(qiáng)度這里是中心軸線上的電荷線密度.中心軸線與金屬圓筒間的電勢(shì)差為上面兩式相除消去,有上式說(shuō)明中心軸線與金屬圓筒間加上電勢(shì)差U后,在圓筒內(nèi)的電場(chǎng)隨r迅速減小.中心軸線處電場(chǎng)最強(qiáng),靠近外圓筒處最弱.在所加電壓和某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)(如:筒內(nèi)表面附近為3.0MV/m)已知情況下,利用上面場(chǎng)強(qiáng)公式原則上可以算出所需筒與線的尺寸.但為一超越方程,

13、一般用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解.例8-5 在內(nèi)外半徑分別為R1和R2的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一個(gè)半徑為r 的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求： （1）小球的電勢(shì)Vr，球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)； （2）小球與球殼的電勢(shì)差； （3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢(shì)差。 解：（1）由對(duì)稱性可以肯定，小球表面上和球殼內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出-q和q的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為q+Q。 小球和球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)分別為球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢(shì)分別為（2）兩

14、球的電勢(shì)差為兩球的電勢(shì)差仍為 由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢(shì)差恒保持不變。當(dāng)q為正值時(shí)，小球的電勢(shì)高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，小球的電勢(shì)低于球殼, 與小球在殼內(nèi)的位置無(wú)關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止。例8-6 平板電容器幾種常見(jiàn)真空電容器及其電容Sd電容與極板面積成正比，與間距成反比。計(jì)算電容的一般方法： 先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號(hào)電荷，再計(jì)算出電勢(shì)差，最后代入定義式。例8-7 圓柱形電容器例8-8 球形電容器電容器兩極板間如果充滿某種相對(duì)電容率為 電介質(zhì)，則上面三種電容

15、器的電容分別為平行板電容器：圓柱形電容器：球形電容器：電容器的重要性能指標(biāo)：電容、耐壓值。例8-9 計(jì)算均勻帶電球體的電場(chǎng)能量，設(shè)球半徑為R， 帶電量為q，球外為真空。解：均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為相應(yīng)的，球內(nèi)外的電場(chǎng)能量密度為在半徑為r厚度為dr的球殼內(nèi)的電場(chǎng)能量整個(gè)帶電球體的電場(chǎng)能量例題8-10一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為 Q。斷開(kāi)電源后再把兩極板的距離拉開(kāi)到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為0）。板極上帶電 Q時(shí)所儲(chǔ)的電能為解:（1 ）兩極板的間距為d和2d時(shí)，平行板電容器的電容分別為（2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開(kāi)兩極板時(shí)所加外力應(yīng)等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以故兩極板的間距拉開(kāi)到2d后電容器中電場(chǎng)能量的增量為例8-11 物理學(xué)家開(kāi)爾文第一個(gè)把大氣層構(gòu)建為一個(gè)電容器模型，地球表面是這個(gè)電容器的一個(gè)極板，帶有5105C的電荷，大氣等效為5km的另一塊極板，帶正電荷。如下頁(yè)圖所示。（1）試求這個(gè)球形電容器的電容；（2）求地球表面的能量密度以及球形電容器的能量；（3）已知空氣的電阻率為31013，求球形電容器間大氣層的電阻是多少？（4）大氣