新高二2022年暑假講義第11講 雙曲線（原卷版）

1、第11講 雙曲線新課標(biāo)要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。知識(shí)梳理1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b23.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，

2、b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)范圍xa或xaya或ya頂點(diǎn)(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)軸長(zhǎng)虛軸長(zhǎng)2b，實(shí)軸長(zhǎng)2a焦點(diǎn)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)離心率eeq f(c,a)(1，)漸近線yeq f(b,a)x，yeq f(b,a)xyeq f(a,b)x，yeq f(a,b)x4.直線與雙曲線的位置關(guān)系及判定直線：AxByC0，雙曲線：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，兩方程聯(lián)立消去y，得mx2nxq0.則直線與雙曲線的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

3、判定方法相交2個(gè)或1個(gè)m0或eq blcrc (avs4alco1(m0,0)相切1個(gè)m0且0相離0個(gè)m0且0名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 雙曲線定義的應(yīng)用【例1-1】(1)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)的距離之差等于2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線 D一條射線(2)若方程eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示雙曲線，則k的取值范圍是()A(5，) B(，3)C(3,5) D(，3)(5，)【變式訓(xùn)練1-1】(1)(馬鞍山高二測(cè)試)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足eq r(x12y12)eq r(x32y32)4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線的一支C兩條射線 D一條射

4、線(2)若動(dòng)點(diǎn)P到F1(5,0)與F2(5,0)的距離的差為8，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.eq f(x2,25)eq f(y2,16)1 Beq f(x2,25)eq f(y2,16)1C.eq f(x2,16)eq f(y2,9)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,9)1知識(shí)點(diǎn)2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上，a3，c5；(2)與橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,5)1有共同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3eq r(2)，eq r(2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)(3，4eq r(2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(9

5、,4)，5).【變式訓(xùn)練2-1】已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,9)1(a0)與雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為()A.eq r(2)Beq r(10)C4 Deq r(34)知識(shí)點(diǎn)3 雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例3-1】如圖所示，若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq f(x2,9)eq f(y2,16)1的兩個(gè)焦點(diǎn)(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|32，試求F1PF2的面積【變式訓(xùn)練3-1】已知雙曲線過點(diǎn)(3，2)且與橢圓4x29y236有相同的焦點(diǎn)(1

6、)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|MF1|MF2|6eq r(3)，試判斷MF1F2的形狀知識(shí)點(diǎn)4 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例4-1】求雙曲線4y29x24的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程，并畫出該雙曲線的草圖【變式訓(xùn)練4-1】(北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2eq f(y2,b2)1(b0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是_知識(shí)點(diǎn)5 利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例5-1】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為10，離心率為eq f(12,5)；(2)焦距為10，實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)

7、的2倍；(3)與雙曲線eq f(y2,3)x21共漸近線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)【變式訓(xùn)練5-1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8，離心率為eq f(5,3)；(2)兩頂點(diǎn)間的距離為6，兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分知識(shí)點(diǎn)6 雙曲線的離心率問題【例6-1】(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq r(2)Beq r(15)C4 Deq r(17)(2)雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b

8、0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是_【變式訓(xùn)練6-1】(1)(北京卷)已知雙曲線eq f(x2,a2)y21(a0)的離心率是eq r(5)，則a()A.eq r(6) B4 C2 Deq f(1,2)(2)(全國卷)雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130，則雙曲線C的離心率為()A2sin 40 B2cos 40C.eq f(1,sin 50) Deq f(1,cos 50)知識(shí)點(diǎn)7 直線與雙曲線的位置關(guān)系【例7-1】已知過點(diǎn)P(0,1)的直線l與雙曲線x2eq f(y2

9、,4)1只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的值【變式訓(xùn)練7-1】(龍巖一中月考)斜率為2的直線l過雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A2，) B(1，eq r(3)C(1，eq r(5) D(eq r(5)，)知識(shí)點(diǎn)8 弦長(zhǎng)問題【例8-1】(福州檢測(cè))已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為eq r(5)，虛軸長(zhǎng)為4.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)(0,1)，傾斜角為45的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB的面積【變

10、式訓(xùn)練8-1】已知雙曲線C：x2y21及直線l：ykx1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOB的面積為eq r(2)，求實(shí)數(shù)k的值知識(shí)點(diǎn)9 中點(diǎn)弦問題【例9-1】(吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為eq r(3)，且eq f(a2,c)eq f(r(2),3).(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B且線段AB的中點(diǎn)P在圓x2y25上，求m的值【變式訓(xùn)練9-1】雙曲線C：x2y22右支上的弦AB過右焦點(diǎn)F.(1)求弦AB的中

11、點(diǎn)M的軌跡方程；(2)是否存在以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O？若存在，求出直線AB的斜率k的值若不存在，則說明理由名師導(dǎo)練3.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1雙曲線eq f(x2,9)eq f(y2,m)1的焦距為10，則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B16C16 D812雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)，0) Deq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，0)3若M在雙

12、曲線eq f(x2,16)eq f(y2,4)1上，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|MF1|3|MF2|，則|MF1|的值為()A4 B8 C12 D244已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在雙曲線C上，F(xiàn)1PF260，則P到x軸的距離為()A.eq f(r(3),2) Beq f(r(6),2) C.eq r(3) Deq r(6)5已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN相切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax2eq f(y2,8)1(x1) Bx2eq f(y2,8)1(x0) Dx2eq f(y2,1

13、0)1(x1)6已知點(diǎn)F1(eq r(2)，0)，F(xiàn)2(eq r(2)，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF2|PF1|2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為eq f(1,2)時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是()A.eq f(r(6),2) Beq f(3,2) C.eq r(3) D27已知P是雙曲線eq f(x2,64)eq f(y2,36)1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|17，則|PF2|的值為_8中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上，一個(gè)焦點(diǎn)為直線3x4y240與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的等軸雙曲線方程是_9已知定點(diǎn)A，B，且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為_10(馬鞍山測(cè)試)已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A

14、，B分別為橢圓x25y25的左，右焦點(diǎn)，且三角形三內(nèi)角A，B，C滿足sin Bsin Aeq f(1,2)sin C.(1)求|AB|；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程11求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a2eq r(5)，經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓eq f(x2,27)eq f(y2,36)1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.12已知橢圓eq f(y2,25)eq f(x2,9)1與雙曲線eq f(y2,15)x21有公共點(diǎn)P，求P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形的面積B組-素養(yǎng)提升(廣州模擬)若橢圓eq f(x2,m)eq f(y2,n)1與雙曲線eq f(

15、x2,p)eq f(y2,q)1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p23.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)A組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1(大慶市模擬)已知雙曲線eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，則該雙曲線的漸近線方程為()A9x4y0 B4x9y0C3x2y0 D2x3y02雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率為eq r(3)，則其漸近線方程為()Ayeq r(2)x Byeq r(3)xCyeq f(r(2),2)x Dyeq f(r(3),2)x3(淮北市第一中

16、學(xué)月考)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.eq r(2) Beq r(3)C.eqC. r(5) Deq r(7)4已知雙曲線eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為(4,3)，則此雙曲線的方程為()A.eq f(y2,9)eq f(x2,16)1 Beq f(y2,4)eq f(x2,3)1C.eq f(y2,16)eq f(x

17、2,9)1 Deq f(y2,3)eq f(x2,4)15點(diǎn)P在雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF290，且F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率是()A2 B3C4 D56設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)F2滿足eq o(F2A,sup6()eq o(F2B,sup6()0，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A1eeq r(2)1C1eeq r(2)7若雙曲線eq f(x2,a2

18、)eq f(y2,4)1(a0)的離心率為eq f(r(5),2)，則a_.8已知雙曲線C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)與雙曲線C2：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)F(eq r(5)，0)，則a_，b_.9設(shè)雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，且與y2eq f(x2,4)1具有相同漸近線，則C的方程為_；漸近線方程為_10求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線的一條漸近線方程為xeq r(3)y0，且與橢圓x24y264共焦點(diǎn)；(2)與雙曲線eq f(x2

19、,9)eq f(y2,16)1有共同漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2eq r(3)11(1)已知雙曲線的漸近線方程為yeq f(3,4)x，求雙曲線的離心率；(2)雙曲線的離心率為eq r(2)，求雙曲線的兩漸近線的夾角12設(shè)雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ba0)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為eq f(r(3),4)c，求雙曲線的離心率B組-素養(yǎng)提升(全國卷)設(shè)F為雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則雙曲線C的離心

20、率為()A.eq r(2) Beq r(3) C2 Deq r(5)3.2.3 直線與雙曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1(哈爾濱三中二模)已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的漸近線經(jīng)過圓E：x2y22x4y0的圓心，則雙曲線C的離心率為()A.eq r(5) Beq f(r(5),2)C2 Deq r(2)2過雙曲線x2eq f(y2,2)1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|4，則這樣的直線l有()A1條B2條C3條 D4條3(龍巖一中月考)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為

21、雙曲線上除A，B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A，B連線的斜率分別為k1、k2，若k1k23，則雙曲線的漸近線方程為()Ayx Byeq r(2)xCyeq r(3)x Dy2x4若圓(xeq r(3)2(y1)23與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為()A.eq f(2r(3),3) Beq f(r(7),2)C2 Deq r(7)5若斜率存在且過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(b,a)的直線l與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于()A2B4 C1或2D2或46已知直線yeq f(1,2)x與雙曲線eq f(x2,9)eq f(y2,4)1交于A，B兩點(diǎn)，P為雙曲線上不同于A，B的點(diǎn)，當(dāng)直線PA，PB的斜率kPA，kPB存在時(shí)，kPAkPB()A.eq f(4,9) Beq f(1,2)C.eq f(2,3) D