中考-代數、函數綜合題

1、中考壓軸題中代數和函數綜合問題，主要有方程和不等式的圖象解問題，一元二次方程根的判別式和根與系數的關系在二次函數問題中的應用問題，方程（組）、不等式（組）和函數的綜合應用問題。一 .方程和不等式的圖象解問題原創(chuàng)模擬預測題1.函數 yax 的分式方程1 x 1；124二次函數 y= x23x2k 的圖象與 x 軸交點的坐標為（1，0）和（ 2， 0）。其中，正確結論的個數是【】A0B 1C2D3【答案】 C。【考點】 拋物線與x 軸的交點，一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式。 x23x2k ，故選 C。原創(chuàng)模擬預測題4.已知 (x 4) 2(x b2) 20 ，則反比例函數且反比例函數 y

2、1 bx的圖象在每個象限內y 隨 x 的增大而增大，那么反比例函數的關系式為【】A.1B.1C.y22yyD.yxxxx【答案】 A?！究键c】 偶次冪的非負數性質，解一元二次方程，反比例函數的性質。原創(chuàng)模擬預測題5.已知二次函數ya x 2bxc 圖象的頂點橫坐標是4，與 x 軸交于A（ x1，0）、B（ x2，0），x1 0 x2，與 y 軸交于點C，O為坐標原點， tanCA OtanCBO2 。（1）求證：b8a0 ；2）求 a、 b 的值；3）若二次函數圖象與直線 y 2x 3 僅有一個交點時，求二次函數的最值?！敬鸢浮?（ 1） ya x 2bxc 圖象的頂點橫坐標是4，拋物線的對稱

3、軸為x=4，即b4 ，化簡得：b 8a 0 。2a（ 2）二次函數 y a x 2bx c 與 x 軸交于 A（ x1， 0）、 B（ x2， 0）， x1 0 x2，OA= x ， OB=x； x1 x2bc， x1 x2。12aa令 x=0，得 y=c ， C（ 0， c）， OC=|c| 。由三角函數定義得：tanOCcc，tanCBOOCcCAOx1x1OB。OAx 2tan CAOtan CBO=2，即cc=2，化簡得：x1x 21。x1x 2x1x 2cbcb2c將 x1x 2代入得：a2 。，x 1 x 2ac，化簡得： bcaca由（ 1）知 b8a0 ，當 b2 時， a1；

4、當 b21。4時， a4a、 b 的值為： a1， b2 或 a1， b 2 。44（ 3）由（ 2）知，當 a1， b2時，拋物線解析式為： y1x22x c 。44聯 立 拋 物 線 y1 x22 x與c 直 線 y2 x 解3 析 式 得 到 ：41 x 22 x c2 x， 34化簡得： x216x4c120。二次函數圖象與直線y2x3 僅有一個交點，一元二次方程根的判別式等于0，即256 44c 120，解得 c =19。拋物線解析式為：y1 x 22x19215 。1 x 444當 x=4 時，二次函數有最小值，最小值為15。由（2）知，當 a1，b2 時，拋物線解析式為： y1

5、x 22x c 。44聯立拋物線12與 直 線 y 2x3解析式得到：yx2 x4c1x 22x c 2x 3 ，4化簡得： x2124c0 。二次函數圖象與直線y2x3 僅有一個交點，一元二次方程根的判別式等于0，即024 124c0 ，解得 c =3。拋物線解析式為：y1x 22x3=1x427 。44當 x=4 時，二次函數有最大值，最大值為7。綜上所述，若a1， b2 ，二次函數圖象與直線y 2x 3 僅4c =19有一個交點時，二次函數的最小值為15；若 a1， b2， c =3，二次函數圖象與直線4y 2x 3 僅有一個交點時，二次函數的最大值為7?！究键c】 二次函數綜合題，曲線上

6、點的坐標與方程的關系，一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，銳角三角函數定義，二次函數的性質，分類思想的應用。原創(chuàng)模擬預測題6.已知：y 關于 x 的函數 ykx 22 k1 xk3 的圖象與 x 軸有交點。（ 1）求 k 的取值范圍；（ 2）若 x1， x2 是函數圖象與x 軸兩個交點的橫坐標，且滿足kx 12 2 k 1 x 2k 3 4x 1x 2 求 k 的值；當 k1 xk3 時，請結合函數圖象確定y 的最大值和最小值。【答案】（ 1）當 k=0 時，函數為一次函數y= 2x+3，其圖象與 x 軸有一個交點。當 k0 時，函數為二次函數，其圖象與x 軸有一個或兩個交點，令 y=0

7、得 kx 22 k1 xk30 2 k124 kk30 ，解得k1 。k 0k0綜上所述， k 的取值范圍是 k1。（ 2） x，由（ 1）知 k 1 且 k0。1x2由題意得 kx 122 k1 x1 k30 ，即 kx12k 32 k 1 x 1 （ * ），將（ * ）代入 kx122 k1 x 2k34x 1x 2中得：2 k 1 x1 x24x 1x 2 。又 x1 22 k 1， x1 2k3 ，+x =kx =k2 k13 ，2 k 14 kkk解得： k1=2， k2=1（不合題意，舍去） 。所求 k 值為 2。23 ，且如圖， k= 2， y2x 22x 12x1221 x1

8、，由圖象知：當x= 1 時， y 最小 = 3；當 x= 1 時， y 最大 = 3 。22y 的最大值為 3 ，最小值為 3。2【考點】 拋物線與 x 軸的交點， 一次函數的定義， 一元二次方程根的判別式和根與系數物關系，二次函數的最值，分類思想和數形結合思想的應用。三 .方程（組）、不等式（組）和函數的綜合應用問題原創(chuàng)模擬預測題7.某商家經銷一種商品，用于裝修門面已投資3000元。已知該商品每千克成本50 元，在第一個月的試銷時間內發(fā)現項，當銷售單價為70 元 / kg時，銷售量為 100 kg，銷量w（ kg）隨銷售單價x（元 / kg ）的變化而變化，銷售單價每提高5 元 / kg，銷

9、售量減少10 kg。設該商品的月銷售利潤為y（元）（銷售利潤=單價銷售量成本投資）。（ 1）請根據上表，寫出w 與x 之間的函數關系式（不必寫出自變量x 的取值范圍）；（ 2）求y 與x 之間的函數關系式（不必寫出自變量x 的取值范圍），并求出x 為何值時， y 的值最大？3）若在第一個月里，按使 y 獲得最大值的銷售單價進行銷售后，在第二個月里受物價部門干預，銷售單價不得高于 90 元，要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到 1700，那么第二個月時里應該確定銷售單價為多少元？【答案】 （ 1） w= 2x 240。（2）y與x的關系式為：y （x）（50）（w） x2502x240

10、2x y2x2340 x120002（ x22450，85）當 x=85 時， y 的值最大為2450 元。（ 3）在第一個月里， 按使 y 獲得最大值的銷售單價進行銷售所獲利潤為2450元，第 1 個月還有3000 2450=550 元的投資成本沒有收回。則要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700 元，即y=2250 才可以，可得方程 2（x2=95。85） 2450 2250，解得 x1=75， x2根據題意， x2=95 不合題意應舍去。答：當銷售單價為75 元時，可獲得銷售利潤2250 元，即在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700 元。【考點】 一、二次函數和

11、一元二次方程的應用，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系。原創(chuàng)模擬預測題8.如圖表示一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的函數圖象（分別為正比例函數和一次函數）. 兩地間的距離是80 千米 . 請你根據圖象回答或解決下面的問題：1）誰出發(fā)的較早？早多長時間？誰到達乙地較早？早到多長時間？2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？3）請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；4）指出在什么時間段內兩車均行駛在途中（不包括端點）；在這一時間段內，請你分別按下列條件列出關于時間 x 的方程或不等式（不要化簡，也不要求解）：自行車行駛在摩托車前面；自行車與摩托車相遇；自行車行駛在摩托車后面.【答案】（ 1）自行車出發(fā)早3 個小時，摩托車到達乙地早3 個小時2）10 千米/時， 40千米 /時3）自行車： y=10 x ，摩托車： y=40 x 120（4）在 3 x 5 時間段內兩車均都行駛在途中，自行車在摩托車前面：10 x 40 x 120，相遇： 10 x=40 x 120，自行車在摩托車后：10 x 40 x 120【解析】（3）設表示自行車行駛過程的函數解析