中考數(shù)學(xué)解題方法及提分突破訓(xùn)練：面積法專題(含解析)

1、解題方法及提分突破訓(xùn)練：面積法專題用面積法解幾何問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法， 在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用， 這種方法有時(shí)顯得特別簡(jiǎn)捷，有出奇制勝、事半功倍之效。一真題鏈接1.（ 2012 濟(jì)南模擬）圓柱的底面周長(zhǎng)為2，高為 1，則圓柱的側(cè)面展開圖的面積為2.（ 2012? 東營(yíng)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA 在 x軸上， OC 在 y 軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的14，那么點(diǎn)A. (-2,3)B的坐標(biāo)是（ B.(2 ，-3)）C.(3 ， -2) 或 (-2,3)D.(-2,3)或(2，-3)3

2、（ 2012面積為呼和浩特）如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cmcm），則該幾何體的側(cè)4.（2012? 濰坊）如圖，三角形ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C別交圓于E 、 D 兩點(diǎn)，連接EC 、BD （ 1 ）求證： ABD ACE ；（ 2 ）若 BEC 與 BDC 的面積相等，試判定三角形在圓上，頂點(diǎn)ABC 的形狀A(yù) 在圓外，AB 、AC分5.（20 12?宜賓）如圖，在四邊形ABCD中， DC AB ，CB AB ，AB=AD，CD=1，AB，2點(diǎn) E、F分別為AB 、AD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）1111A.B.C.D.7654二名詞釋義平面幾何中講的面積公式以及

3、由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積， 而且用它來(lái)證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來(lái)證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。面積問題主要涉及以下兩部分內(nèi)容：（一）怎樣證明面積相等。以下是常用的理論依據(jù)1.三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。2.同底同高或等底等高的

4、兩個(gè)三角形面積相等。3.平行四邊形的對(duì)角線把其分成兩個(gè)面積相等的部分。4.同底（等底）的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。5.三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。16.三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的417.三角形三邊中點(diǎn)的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的48.有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）用面積法解幾何問題（常用的解題思路）1.分解法：通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形，分解成幾個(gè)三角形。2.作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。3.利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點(diǎn)、

5、中位線等的性質(zhì)。4.還可以利用面積解決其它問題。三典題示例（一）怎樣證明面積問題1. 分解法例 1. 從 ABC 的各頂點(diǎn)作三條平行線 AD、 BE、 CF，各與對(duì)邊或延長(zhǎng)線交于 D、 E、F，求證： DEF的面積 2 ABC的面積。分析：從圖形上觀察，DEF 可分為三部分，其中是ADE，它與ADB 同底等三是 AEF，只要再證出它與ABC的面積相等即可由 S CFE S CFB故可得出S AEF S ABC證明： AD/BE/CF ADB 和 ADE 同底等高S ADB S ADE同理可證： S ADC S ADFS ABC S ADE+S ADF又 S CEF S CBFS ABC S A

6、EFS AEF+S ADE+S ADF 2S ABCS DEF 2S ABC作平行線法例 2. 已知：在梯形 ABCD中， DC/AB ，M 為腰 BC上的中點(diǎn)分析：由M 為腰 BC的中點(diǎn)可想到過M 作底的平行線MN ，則 MN 為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h證明：過M 作 MN/ABM 為腰 BC的中點(diǎn) MN 是梯形的中位線設(shè)梯形的高為 h（二）用面積法解幾何問題用面積法證線段相等例 1. 已知：如圖 1， AD 是 ABC的中線， CF AD 于 F， BE AD 交 AD 的延長(zhǎng)線于 E。求證： CF=BE。圖 1證明：連結(jié)EC，由 BD=DC 得，兩式兩邊分別相加

7、，得故所以 BE=CF。注：直接由得更簡(jiǎn)潔。用面積法證兩角相等例 2. 如圖 2，C 是線段 AB 上的一點(diǎn)， ACD、 BCE都是等邊三角形， AE、BD 相交于 O。求證： AOC= BOC。圖 2證明：過點(diǎn)C 作 CPAE， CQ BD，垂足分別為P、Q。因?yàn)?ACD、 BCE都是等邊三角形，所以 AC=CD， CE=CB， ACD= BCE，所以 ACE=DCB所以 ACE DCB所以 AE=BD，可得 CP=CQ所以 OC平分 AOB即 AOC= BOC用面積法證線段不等例 3. 如圖 3，在 ABC中，已知 ABAC， A 的平分線交 BC 于 D。求證： BDCD。圖 3證明：過

8、點(diǎn)D 分別作 DE AB、 DFAC，垂足分別為E、 F設(shè) BC邊上的高為 h。因?yàn)?BAD=DAC所以 DE=DF因?yàn)榍?ADAC所以即所以 BDCD用面積法證線段的和差例 4. 已知：如圖 4，設(shè)等邊 ABC 一邊上的高為 h，P 為等邊 ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)， PDBC于 D，PEAC于 E，PFAB 于 F。求證： PE+PF+PD=h。圖 4證明：連結(jié)PA、 PB、 PC因?yàn)?，又所以。因?yàn)?ABC是等邊三角形所以即 PE+PF+PD=h用面積法證比例式或等積式例 5. 如圖 5， AD 是 ABC的角的平分線。求證：。圖 5證明：過D 點(diǎn)作 DE AB， DF AC，垂足分別為E、 F

9、。因?yàn)?AD 是 ABC的角的平分線，所以 DE=DF，則有。過 A 點(diǎn)作 AH BC，垂足為H，則有即用面積比求線段的比例 6. 如圖 6，在 ABC中，已知 BC、 AC 邊上的中線 AD、BF 交于 M。求證：。圖 6證明：連結(jié)CM，過 B 作 BG AD 交 AD 延長(zhǎng)線于G，則，所以。又，所以，所以。四鞏固強(qiáng)化在平行四邊形 ABCD 中， E、 F 點(diǎn)分別為 BC、 CD 的中點(diǎn)，連結(jié) AF、AE，求證： SABE SADF在梯形 ABCD中， DC/AB ， M 為腰 BC 上的中點(diǎn)，求證：Rt ABC 中， ACB 90，a、b 為兩直角邊， 斜邊 AB 上的高為 h，求證：已知

10、： E、F 為四邊形 ABCD 的邊 AB 的三等分點(diǎn)， G、 H 為邊 DC 的三等分點(diǎn)，求證：5. 在 ABC中， D 是 AB 的中點(diǎn)，四邊形 ADGE的面積比。E 在AC 上，且，CD和BE 交于G，求 ABC 和6.（ 2012?青海）如圖，在Rt ABC中， C=90，AC=4，BC=2，分別以AC、BC 為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為-4 （結(jié)果保留）7.（ 2012?大慶）將一根長(zhǎng)為16厘米的細(xì)鐵絲剪成兩段并把每段鐵絲圍成圓，設(shè)所得兩圓半徑分別為r1 和 r2（ 1）求 r1 與 r2 的關(guān)系式，并寫出r1 的取值范圍；（ 2）將兩圓的面積和S 表示成 r1 的函數(shù)關(guān)系式

11、，求S 的最小值8.如圖平行四邊形ABCD中，ABD=30，AB=4， AEBD， CF BD，且，E， F 恰好是BD 的三等分點(diǎn)，又M、 N 分別是 AB， CD的中點(diǎn)，那么四邊形MENF 的面積是9.如圖， Rt ABC中， C=90， A=30，點(diǎn) D、E 分別在 AB、AC 上，且 DE AB，若 DE 將 ABC 分成面積相等的兩部分，則 CE： AE=10.如圖所示，在ABC中， DEAB FG，且 FG到 DE、AB 的距離之比為面積為 32， CDE的面積為2，則 CFG的面積 S 等于（）1：2若 ABC 的A.6B.8C.10D. 12五參考答案【真題鏈接答案】1.考點(diǎn)：

12、圓柱的計(jì)算分析：圓柱的側(cè)面展開圖的面積 =圓柱的底面周長(zhǎng) 圓柱的高，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解解答：解：圓柱的側(cè)面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，圓柱的側(cè)面展開圖的面積為 2 1=2點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是得到圓柱側(cè)面展開圖的計(jì)算公式2.解：矩形OA B與C矩形 OABC關(guān)于點(diǎn) O 位似，矩形 OABC矩形 OABC，1矩形 OAB的C面積等于矩形OABC面積的 4 ，位似比為：1： 2，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ -4， 6），點(diǎn) B的坐標(biāo)是：（ -2， 3）或（ 2， -3）故選 D3.考點(diǎn)： 圓錐的計(jì)算；由三視圖判斷幾何體。1444826分析： 根據(jù)三視圖易得此幾何體為圓錐，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)

13、算出結(jié)果=（底面周長(zhǎng) 母線長(zhǎng)） 2 可解答： 解：由題意得底面直徑為2，母線長(zhǎng)為2，幾何體的側(cè)面積為22=2，故答案為： 24.解：（ 1）證明：弧ED所對(duì)的圓周角相等， EBD= ECD，又 A=A， ABD ACE；2）解：方法 1：因?yàn)?S BEC=SBCD，SACE=SABC-SBEC， S ABD=S ABC-S BCD，所以 S ACE=S ABD，又由（ 1）知 ABD ACE，所以對(duì)應(yīng)邊之比等于1，所以 AB=AC，即 ABC 為等腰三角形；方法 2：因?yàn)?BEC與 BCD的面積相等，有公共底邊即 E、 D 兩點(diǎn)到 BC 的距離相等，所以ED BC，BC，所以高相等，所以 BCE= CED，又因?yàn)?BCE= CBD，所以 BCE= CBD，由（ 1）知 ABD ACE，所以 ABD= ACE，所以 ABC=ACB，即 ABC為等腰三角形5.【鞏固強(qiáng)化答案】證明：連結(jié) AC，則又 E、 F 分別為 BC、 CD的中點(diǎn)2. 證明：過 M 作 MN/DC/AB M 為腰 BC上的中點(diǎn) DCM 和 ABM 的高