秒系列：對(duì)數(shù)平均不等式：教師版

1、對(duì)數(shù)平均不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，可設(shè).（I）先證：學(xué)科不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：來(lái)源Z,xx,k.Com不等式構(gòu)造函數(shù)，則.秒殺秘籍：利用定積分秒殺對(duì)數(shù)平均不等式證明如右圖1所示，在反比例函數(shù)上任取兩點(diǎn)，點(diǎn)為在雙曲線上的中點(diǎn)，軸交其于，軸交其于，過作雙曲線切線交和于兩點(diǎn)，根據(jù)，即如右圖2所示，在上任取兩點(diǎn)，軸交其于，軸交其于，根據(jù) ，即 因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)

2、平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.題型一：指數(shù)換對(duì)數(shù)的證明極值偏移問題例1：（2010天津理）已知函數(shù)，如果且，證明：解： ，即 例2：已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且.其極值點(diǎn)為，（1）求a的取值范圍。（2）求證：（3）求證：；（4）求證：. 解：（1），故在區(qū)間，在區(qū)間，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即；（2）構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ；得 ,；將代入不等式得在（3）（4）：又 得 ，第（2）問也可以通過第（3）問結(jié)論用對(duì)數(shù)平均不等式秒殺，（1）+（2）得：題型二：符號(hào)反向用加法原理若出現(xiàn)或者時(shí)，屬于正常的作差代換，構(gòu)造出，由模型一即可秒殺，遇到或者時(shí)，屬于對(duì)數(shù)平均不等式反向，這就需要將兩式相減先構(gòu)造對(duì)數(shù)平均不等

3、式，再相加實(shí)現(xiàn)和積互換，從而達(dá)到證明反向不等式。例3：已知函數(shù)，如果且，求證：證明：因?yàn)?，所以可設(shè)+（2）得；（1）-（2）得 ，代入（3）得，綜上。例4：已知，（）有兩個(gè)根，求證：證明：令（1）（2），再由得： ，（1）題型三：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)問題點(diǎn)差法題目給到，涉及證明或者時(shí)，利用分析法執(zhí)果索因，將式子證明最后轉(zhuǎn)交給對(duì)數(shù)平均不等式，方法類似圓錐曲線點(diǎn)差法（作差，同除，取中點(diǎn)）；當(dāng)出現(xiàn)、之類題型時(shí)，要轉(zhuǎn)化為，也屬于對(duì)數(shù)點(diǎn)差法系列。例5：(2011年遼寧卷)已知函數(shù)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：解：（1）略。（2），由，同除以得，要證，只需證；只需證；根據(jù)對(duì)

4、數(shù)平均不等式，故原命題得證。例6：（2018高考全國(guó)卷I理科）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：解：（1）略。（2），即，故；要證，只需證，只需證，只需證，只需證，由于，故命題得證。題型四：作差求和取對(duì)數(shù)三板斧非一次函數(shù)的形式，由與二次函數(shù)混合的函數(shù)，先作差得出，再兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造對(duì)數(shù)平均不等式，在證明或者，往往用反證法減少運(yùn)算；對(duì)于這類不好分離的式子，又要和差齊下。必要時(shí)要考慮換元法解決之類的問題。例7：（2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的取值范圍，（2）證明：.解：（1）由得：，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須使得在R上只有一個(gè)根，易得，詳

5、細(xì)過程請(qǐng)參考高考參考答案，這里不做詳細(xì)敘述；（2）法一：即由得，兩式相減得下面用反證法證明若則，取對(duì)數(shù)得則而由對(duì)數(shù)平均不等式得：，矛盾。法二：參變分離得：，有得，將上述等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，化簡(jiǎn)得:，故由對(duì)數(shù)平均不等式得：，從而等價(jià)于由，故明顯法一成功避免了二次函數(shù)的對(duì)數(shù)平均值的構(gòu)造，更簡(jiǎn)潔。例8：已知函數(shù)與直線交于兩點(diǎn).(1)求證：(2)證明：解：（1）由，可得：，得：，+得，根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式：，即，由題于與交于不同兩點(diǎn)，易得出則上式簡(jiǎn)化為：(2),令得所以且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增構(gòu)造函數(shù)（極值點(diǎn)偏移）易證以下略；【“妙”切線放縮，利用】證明： ， ，例9：已知,若有兩個(gè)不等實(shí)根，求

6、證：證明：設(shè)則則有兩不等實(shí)根(不妨設(shè)要證 只要即可；又時(shí),單調(diào)遞增時(shí)單調(diào)遞減，方程要有兩個(gè)不等實(shí)根，則即且下面證明 , 得證。已知函數(shù)，若，且，證明：.證明：，。2.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；若函數(shù)有極大值為，且方程的兩根為，且，證明： .，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，；，。3.已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：證明：，當(dāng)時(shí)，；，得:,。4.已知函數(shù)，,有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求證：證明：的定義域?yàn)?， ， 顯然時(shí)，不符合題意 時(shí) 當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增 有極小值，令， 。5.已知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2）證明：解：（1）；求導(dǎo)或者切線放縮可得，不詳述。（2

7、）設(shè) 則原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，要證明 只要即可；6.函數(shù)有兩極值點(diǎn)，且.證明：.解：有兩個(gè)根，則，此時(shí)7.設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，（1）求證：；（2）求證：.證明：，當(dāng)時(shí)，在，；即；8.已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明： .解：(1).,.當(dāng)時(shí)，故在，在。，即，。由（1）得，。即，得:,。9.已知函數(shù). （1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，證明： .（），得：，令得：，即的單調(diào)區(qū)間為和。（）由，10.設(shè)函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處切線的斜率為.當(dāng)時(shí)，令，設(shè)是方程的兩個(gè)根，是的等差中項(xiàng)，求證：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.證明：，當(dāng)時(shí)，；得：同除以得：；，要證，只需證，此正好為對(duì)數(shù)平均不等式，命題得證。11.已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， （， ），證明： .（1）欲證，令， 在上遞增， （2）， ，網(wǎng)取.，在上遞減，。12.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩根極值點(diǎn)求證