§5、函數(shù)[x]和{x}

1、 5、函數(shù)x和x定義1：設(shè)x是實(shí)數(shù)，用x表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分。又稱x=x-x為x的小數(shù)部分。例2.4=2，-2.4=0.6,-2.4=-3性質(zhì)：1、由定義有恒等式x=x+x2、 x x0,則有證： 注意與帶余除法的比較。7、a,b 是正整數(shù)，則不大于a而為b 的倍數(shù)的正整數(shù)恰有 個(gè)。證：能被b 整除的正整數(shù)為b,2b,3b,設(shè)這些 整數(shù)的個(gè)數(shù)恰好為k個(gè)，則 ,即 ， 所以 例:1到1000的這1000個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)的有多少個(gè).有 個(gè).8、對(duì)正整數(shù)m,有證：由帶余除法x=mq+r, ,所以又 , 所以即有 n!的標(biāo)準(zhǔn)分解定理：設(shè)p(n!)表示p在n!的標(biāo)準(zhǔn)分解中的指數(shù)，則有

2、p(n!)=先來看一個(gè)例子例:15!中2的個(gè)數(shù)為11個(gè).證：若p n,則p n!, 即p(n!)=0, 成立。若 ,則由性質(zhì)知在1，2，n中，p的倍數(shù)有 個(gè)，為p,2p, p, 其積為 同理若 ，則 1，2，3, 中，p的倍數(shù)是p,2p, p, 其積為 再在1,2,3, 中作同樣討論，依次類推有p(n!)=推論1：n為正整數(shù)，則有推論2：n為正整數(shù)，1 k n-1,則有證：對(duì)任意p, n!, k!, (n-k)!的標(biāo)準(zhǔn)分解中p的指數(shù)分別為由性質(zhì)即有k!(n-k)!|n! , 從而證明了結(jié)論。推論3：n為正整數(shù)，設(shè)f(x)是一個(gè)n次的整系數(shù)多項(xiàng)式, 是它的k階導(dǎo)數(shù)，則 是一個(gè)n-k次整系數(shù)多項(xiàng)式

3、。證：顯然 是n-k次整系數(shù)多項(xiàng)式，設(shè) ,則 中 的系數(shù)為為整數(shù)，所以結(jié)論成立。例1： 求2005!末尾零的個(gè)數(shù)。解：因?yàn)?0=25，而2比5多，所以只要考慮2005！中5的冪指數(shù)，即5（2005?。? 例2：證明（n!）(n-1)!|(n!)!證：對(duì)任意素?cái)?shù)p,設(shè)（n!）(n-1)!中素?cái)?shù)p的指數(shù)為 ,（n!）!中p的指數(shù)，有 , ,從而證明了結(jié)論.注： 要證明a|b，只要證明對(duì)任意素?cái)?shù)p，a中p的冪指數(shù)不超過b中p的冪指數(shù)即可，用p(a)表示a中p的冪指數(shù)，則a|b 的充要條件是 p(a) p(b)例3 : 設(shè)c不能被素?cái)?shù)平方整除，若a2|b2c，則a|b證：由已知p(c)1，且p(a2)p(b2c) 2p(a)2p(b)+p(c) p(a)p(b)+ p(c)即p(a) p(b) a|b例4：設(shè)p為素?cái)?shù)，則有p| ,其中k為小于等于p-1的整 數(shù)證：由性質(zhì)知 有由已知(p,k!)=1,