概率統(tǒng)計課件：21第八章第三講

1、設(shè)總體X的分布含有一未知參數(shù),已討論：總體參數(shù)的點估計問題;設(shè) 作為 的優(yōu)良估計，與 相差多少(即點估計的誤差)沒有給出。給出 所在的一個區(qū)間，并給出此區(qū)間包含參數(shù) 真實值的概率。這就是參數(shù)的區(qū)間估計問題(與點估計互補)。點估計的評價標準第三節(jié) 置信區(qū)間一、置信區(qū)間設(shè)總體分布含有一未知參數(shù),又X1,X2,Xn為來自于總體的樣本，若對于給定(01)，統(tǒng)計量1(X1,X2,Xn)和2(X1,X2,Xn)滿足則稱區(qū)間1,2為相應(yīng)于置信度是1-的置信區(qū)間，簡稱置信區(qū)間。 1,2分別稱為置信下限和置信上限.統(tǒng)計量1(X1,X2,Xn)和2(X1,X2,Xn)是隨機變量，置信區(qū)間的長度意味著誤差，因此越小

2、越好。 區(qū)間1,2是隨機區(qū)間。注1：較小時，隨機區(qū)間以較大的概率包含注2：注3：對于x1, x2, , xn，區(qū)間1,2是普通區(qū)間。二、單側(cè)置信限若對于給定的(01),統(tǒng)計量 1(X1, X2, , Xn)滿足 則稱區(qū)間1,+)為相應(yīng)于置信度是1-的單側(cè)置信區(qū)間，1稱為置信度是1-的單側(cè)置信下限。若對于給定的(01),統(tǒng)計量 2(X1, X2, , Xn)滿足 則稱區(qū)間-, 2)為相應(yīng)于置信度是1-的單側(cè)置信區(qū)間，2稱為置信度是1-的單側(cè)置信上限。正態(tài)隨機變量是最為常見的，特別是很多產(chǎn)品的指標服從或近似服從正態(tài)分布。因此,我們主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。第四節(jié) 正態(tài)分布均值和方差的區(qū)間估計

3、4 標準正態(tài)分布N(0,1)的分位點 稱z為標準正態(tài)分布的分位點(或分位數(shù)), 簡稱分位點。定義 設(shè)X是一個標準正態(tài)隨機變量， 給定(01),若存在唯一z,使得分位點的性質(zhì): (01)設(shè)總體XN(,2)，其中2已知，又X1,X2,Xn為來自于總體的樣本。1.方差DX已知，對EX進行區(qū)間估計一. 均值EX= 的區(qū)間估計求出統(tǒng)計量使下面分兩種情況進行討論。雙側(cè)分位點z1-/2 ，使對于給定的，標準正態(tài)分布的即 區(qū)間為的置信度為(1-)的置信區(qū)間。14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 當1-=0.95 時，即 0.05,查表得 例1 已知某種滾珠的直徑服從正態(tài)分布，且方差為0.

4、06， 現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批滾珠中隨機地抽取6只， 測得直徑的數(shù)據(jù)(單位mm)為試求該批滾珠平均直徑的95置信區(qū)間。于是故所求置信區(qū)間為解的置信度(1-)的置信區(qū)間當0.05時,查標準正態(tài)分布表得此時的置信區(qū)間是當0.01時,查標準正態(tài)分布表得此時的置信區(qū)間是大，則置信區(qū)間的長度小，落在置信區(qū)間內(nèi)的概率小。因此，在實際應(yīng)用中，要適當選取13. 設(shè)正態(tài)總體N(,2)的方差2為已知,問容量n為多大的樣本,才能使總體均值的1-的置信區(qū)間的長度不大于L？解:的1-的置信區(qū)間為欲使區(qū)間長度不大于L： 即要求 上面的討論是在DX已知的情況下進行的，但實際應(yīng)用中往往是DX未知的情況。設(shè)X1,X2,Xn為正態(tài)總

5、體N(,2)的一個樣本，由于2未知，用樣本方差S2來代替總體方差2， 2.方差DX未知，對EX進行區(qū)間估計對給定的，可得t分布的雙側(cè)分位點 使得故均值的置信區(qū)間例2 設(shè)有某種產(chǎn)品,其長度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該種產(chǎn)品中隨機抽取9件,得樣本均值 9.28(cm),樣本標準差 s0.36(cm),試求該產(chǎn)品平均長度的90置信區(qū)間.當=0.1, n=9時,查t分布表得于是故所求置信區(qū)間為9.06，9.50。解：均值的置信區(qū)間為例3 設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機地抽取6只，測得壽命的數(shù)據(jù)(單位：h)為1020, 1010, 1050, 1040, 1050，1030.求燈泡壽命平均值的置信

6、度為0.95的單側(cè)置信下限。解 由于總體方差未知，故統(tǒng)計量即的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間:的置信度為1-的單側(cè)置信下限為:對給定的=0.05，查t分布表可得設(shè)總體 是總體的樣本?，F(xiàn)利用樣本給出2的置信區(qū)間（總體均值未知）?？紤]統(tǒng)計量二.方差DX的區(qū)間估計于是，對給定的(00,則下列結(jié)論中成立的是( )(A) (B) (C) (D) A 1.設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為總體X的一個樣本, X為樣本均值, S2為樣本方差, 且DS2=4則n=( ) 二. 填空題2. 設(shè)X1,X2,X3為總體X的一個樣本,在下列估計量中 則總體均值的較有效的估計量是( ) C33.設(shè)X1,X2,X3為

7、總體XN(0,2)的一個樣本,則4.設(shè) 是一個統(tǒng)計量,如果 ( )則稱 是總體的未知參數(shù)的95%置信下限. 5.設(shè)總體XN(,32), X1,X2,X6 為總體X的一個樣本, X為樣本均值, S2為樣本方差, 則641. 設(shè)X1,X2,Xn為來自總體XN(10,22)的一個樣本, (1)求樣本均值X落入?yún)^(qū)間9.25,10.75的概率; (2) 求 三計算題 2.設(shè)X1,X2,X200是總體N(,2)的樣本,令問服從什么分布？證明之.又Y2服從什么分布？3.已知總體X的分布密度為 X1,X2,X3是總體X的樣本,求常數(shù)c,使為的無偏估計.4.設(shè)總體X的分布密度為 X1,X2,Xn是來自X的樣本,求參數(shù)的矩估計和極大似然估計.6. 設(shè)總體X的概率密度為 又x1,x2,xn為來自于總體X的樣本值,求參數(shù)的極大似