數(shù)字電路課件：第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本章主要內(nèi)容：本章介紹分析數(shù)字電路邏輯功能的數(shù)學(xué)方法。主要內(nèi)容有：本章重點(diǎn)內(nèi)容：邏輯函數(shù)表示邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和重要定理邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。本章學(xué)時(shí)安排： 6學(xué)時(shí)本章習(xí)題：2.4、2.7、2.8、2.10、2.12、2.15、2.2212.1 概述在數(shù)字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系（因果關(guān)系），所以數(shù)字電路又稱邏輯電路。二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)，它們之間按指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算，稱邏輯運(yùn)算。進(jìn)行邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即1和0，這里的1和

2、0不是數(shù)量大小的概念，而是預(yù)先規(guī)定的代表事物的兩種完全相反狀態(tài)的符號(hào)。若定義一種狀態(tài)為1，則另一種狀態(tài)就為0。如燈亮用1表示、則燈滅就為0，不考慮燈損壞等。只有兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)（二值邏輯）。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算定義為邏輯變量A、B、C、全部為“1”時(shí)，邏輯結(jié)果Y才能是而且必定是“1”；反之，A、B、C、中任一個(gè)為“0”，則Y必定是“0”。一、“與”邏輯意味著：各條件缺一不可邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，復(fù)雜的邏輯運(yùn)算關(guān)系都可以用與、或、非的組合來實(shí)現(xiàn)。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算ABY與邏輯關(guān)系的事件如下圖所示的二串聯(lián)開關(guān)A、B控制一盞燈Y的

3、電路。只有A、B兩開關(guān)同時(shí)閉合時(shí)，指示燈Y才亮。真值表與運(yùn)算口訣：有0得0，全1才1。設(shè)開關(guān)閉合為1、斷開為0，燈亮為1、燈滅為0，則邏輯關(guān)系可用下面的表格表示。111001010000YBA一、“與”邏輯邏輯代數(shù)式記為：Y= ABC或Y =ABC或Y=ABC邏輯與運(yùn)算又稱邏輯乘運(yùn)算邏輯符號(hào)：ABY&BAY目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算意味著：滿足任一個(gè)條件即可定義為邏輯變量A、B、C、全部為“0”時(shí)，邏輯結(jié)果Y才能是而且必定是“0”；反之，A、B、C、中任一個(gè)為“1”，則Y必定是“1”。二、“或”邏輯2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算真值表或運(yùn)

4、算口訣：有1得1，全0才0。設(shè)開關(guān)閉合為1、斷開為0，燈亮為1、燈滅為0，則邏輯關(guān)系可用下面的表格表示。111101110000YBA或邏輯關(guān)系的事件如下圖所示的二并聯(lián)開關(guān)A、B控制一盞燈Y的電路。 A、B兩開關(guān)只要有任何一個(gè)閉合時(shí)，指示燈Y就亮。ABY2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算記為：Y= A+B+C+邏輯代數(shù)式邏輯或運(yùn)算又稱邏輯加運(yùn)算定義為邏輯變量A為“0”時(shí)，邏輯結(jié)果Y必定是“1”；反之，A為“1”時(shí)，則Y必定是“0”。意味著：輸出和輸入相反三、“非”邏輯邏輯符號(hào)：目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)1BAYABY2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算設(shè)開關(guān)閉合為1、斷開為0，

5、燈亮為1、燈滅為0，則非邏輯關(guān)系的真值表如下。0110YA非邏輯關(guān)系的事件如下圖所示的由開關(guān)A控制燈Y的電路。開關(guān)A閉合，燈Y就滅；A斷開，則燈Y亮。 AYR邏輯代數(shù)式：讀作“A非”稱邏輯非或邏輯反邏輯符號(hào)：AY目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)1AY2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算四、最常見的幾種復(fù)合邏輯關(guān)系“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都可以用它們的組合來表示。常見的有與非、或非、與或非、異或、同或等。011101110100YBA&BAY目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)ABY國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)與非：A、B均為1時(shí)，則Y 為0；否則Y為1。有0得

6、1全1才0“與非”邏輯2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算“或非”、“異或”邏輯或非：A、B均為0時(shí)，則Y為1；否則Y為0。有1得0全0才1011001010100YBA異或：A、B不相同時(shí)，則Y 為1；相同時(shí)Y為0。1BAY目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)ABY國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)011101110000YBA目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局規(guī)定符號(hào)1BAY國(guó)外一些書刊和資料上的符號(hào)ABY2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算“同或”、“與或非”邏輯與或非：A、B及C、D之間均為與的關(guān)系，只要A、B或C、D任一組同時(shí)為1，Y就為0。否則Y為1。同或：A、B相同時(shí)，則Y 為1；不相同時(shí)Y為0。BAY目前國(guó)標(biāo)符號(hào)1110010

7、10100YBA國(guó)外流行符號(hào)ABY國(guó)外流行符號(hào)ABCDY目前國(guó)標(biāo)符號(hào)&1ABDCY=AB2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式從三種基本的邏輯運(yùn)算關(guān)系，我們可以得到以下的基本運(yùn)算公式（公式14、9、1114）。0 0=00 1=01 0=01 1=1公式1 0 A=0公式2 1 A=A公式3 A A=A公式4 A A=0與運(yùn)算2.3.1 基本公式（布爾恒等式）非運(yùn)算公式92.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式或運(yùn)算0+0=00+1=11+0=11+1=1公式11 1 +A=1公式12 0+A=A公式13 A +A=A公式14從一些基本的代數(shù)規(guī)律，我們可以得到基本運(yùn)算公式5、15、6、16、7、17

8、。交換律公式15 A+B=B+A公式5 A B=B A結(jié)合律公式16 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B公式6 A (B C)=(A B) C2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式公式17證明：右邊=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC =A（1+C+B）+BC=A+BC摩根定律公式8公式18可以用列真值表的方法證明：11011000BA001001110011111100000011分配律公式17 A+B C=(A + B) (A+C )公式7 A (B+C)=AB+AC普通代數(shù)不適用！2.3.2 若干常用公式（由基本公式導(dǎo)出）2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式公式21

9、A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A1=A公式22證明：（公式17）公式23 AB+AB = A 公式24 A（A+B）=A 證明：左邊=AA+AB=A+AB=A（1+B）=A說明：變量A和包含A的和相乘時(shí)，其結(jié)果等于A，可將和消掉。2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式推論：證明：公式251公式26；證明：2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1 代入定理證明：摩根定理適用于多變量情況二變量摩根定理為 及以（B+C）代替左邊等式中的B，得以（BC）代替右邊等式中的B，得在任何一個(gè)包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。變量A的取值僅0和1兩種，而任一

10、個(gè)邏輯式的取值也僅有0和1兩種。用代入定理容易把基本公式和常用公式推廣為多變量形式。2.4.2 反演定理2.4 邏輯代數(shù)的基本定理例1：已知Y=A(B+C)+CD，求Y。解：由反演定律得例2：證明摩根定律是反演定理的特例。設(shè)由反演定律得所以注意：遵循與普通代數(shù)一樣的運(yùn)算優(yōu)先次序“括號(hào)、乘、加”。不屬于單個(gè)變量的反號(hào)應(yīng)保留不變。對(duì)任一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“”換成“”， “”換成“”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是Y。這個(gè)規(guī)律叫做反演定理。2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.3 對(duì)偶定理若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等，這就是對(duì)偶定理。對(duì)偶式對(duì)任一

11、個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中的“”換成“”， “”換成“”，0換成1，1換成0，則得到一個(gè)新的邏輯式Y(jié)D，則YD就叫做Y的對(duì)偶式?；蛘哒fY和YD互為對(duì)偶式。例如則則證明兩個(gè)邏輯式相等，可通過證明它們的對(duì)偶式相等來完成。因有時(shí)證明它們的對(duì)偶式相等更容易。例：證明基本公式左邊的對(duì)偶式，右邊的對(duì)偶式，顯然兩者相等。基本公式中有很多是對(duì)偶式，請(qǐng)自行分析。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1 邏輯函數(shù)以邏輯變量作為輸入，以邏輯結(jié)果作為輸出，則輸出和輸入之間是函數(shù)關(guān)系；當(dāng)輸入變量的取值確定后，輸出的取值也隨之而定。稱為邏輯函數(shù)，寫作邏輯變量和函數(shù)都僅有0和1兩種取值，二值邏輯函數(shù)。任何一件具體的因果關(guān)系都可用一

12、個(gè)邏輯函數(shù)描述。2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法常用的表示方法有邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語言等。一、邏輯真值表邏輯真值表簡(jiǎn)稱真值表，是將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值找出來，以表格形式一一對(duì)應(yīng)地列出。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法注意：n個(gè)輸入變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制數(shù)由小到大的順序，將輸出與輸入一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。例：如下圖所示電路，設(shè)開關(guān)閉合為1、斷開為0；指示燈亮為1、滅為0。則以開關(guān)A、B、C為輸入，指示燈Y為輸出，其真值表如右所示。ABCY11111011110100010110001001000000YCBA輸出輸入2.5 邏輯函數(shù)

13、及其表示方法二、邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式也稱邏輯式或函數(shù)式，是把邏輯函數(shù)的輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式。比如三、邏輯圖把邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)和連線表示出來。例如2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法四、波形圖將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法五、各種表示方法間的轉(zhuǎn)換從真值表寫出邏輯函數(shù)式邏輯真值表11111011110100011110001001000000YCBAY為1的情況有4種，而4種情況中滿足任意一種都可使Y為1 ，故Y應(yīng)為4種情況邏輯相加，即為或邏輯關(guān)系。每種情況中

14、三個(gè)變量的取值必須同時(shí)滿足，比如當(dāng)A=0、B=1、C=1時(shí)，Y=1，即ABC=1時(shí)，Y=1；所以三個(gè)變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，是與邏輯關(guān)系。因此，Y為4個(gè)乘積項(xiàng)之和。找Y=1的輸入變量取值組合每種取值組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，值為1的寫原變量，為0的寫反變量。將各個(gè)乘積項(xiàng)相加，得Y。步驟：2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法從邏輯式列出真值表將輸入變量的所有取值組合逐一代入邏輯式，求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。從邏輯式畫出邏輯圖用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)，加上連線，就得到邏輯圖。從邏輯圖寫出邏輯式從輸入端開始逐個(gè)寫出每個(gè)圖形符號(hào)輸出端的邏輯式，直到末端。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法5. 從波

15、形圖列出真值表 從波形圖上找出所有時(shí)間段里輸入變量與輸出變量的取值，并將其對(duì)應(yīng)列成表格。邏輯真值表11110011110100010110101011000000YCBA6. 從真值表畫出波形圖 將真值表中所有輸入變量與對(duì)應(yīng)的輸出變量取值，依次排列畫成以時(shí)間為橫軸的波形。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)最小項(xiàng)在n變量邏輯函數(shù)中，若乘積項(xiàng)m包含所有n個(gè)變量，而且在m中每個(gè)變量只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。例如n變量有2n個(gè)最小項(xiàng)。如3變量有23=8個(gè)最小項(xiàng)。2變量A、B：AB 、AB、AB、AB3變量A

16、、B、C：ABC、ABC、ABC、ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC3變量中使每個(gè)最小項(xiàng)為1的變量取值按二進(jìn)制數(shù)碼從小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)依次為07，依次將最小項(xiàng)記作m0m7。如m4表示ABC。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法最小項(xiàng)的性質(zhì)：對(duì)輸入變量的任一取值組合，必有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)為1。所有最小項(xiàng)之和為1。任意兩最小項(xiàng)的乘積為0。若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互反、其它相同，則稱它們邏輯相鄰。邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)相加后，可合并為一項(xiàng)并消去互反的因子。 和邏輯相鄰，則如最大項(xiàng)在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且在M中

17、每個(gè)變量只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。例如、3變量A、B、C：、2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法最大項(xiàng)的性質(zhì)：對(duì)輸入變量的任一取值組合，必有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)為0。所有最大項(xiàng)之積為0。任意兩最大項(xiàng)之和為1。只有一個(gè)因子互反的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同因子之和。如最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的關(guān)系：如，則n變量有2n個(gè)最大項(xiàng)。如3變量有23=8個(gè)最大項(xiàng)。3變量中使每個(gè)最大項(xiàng)為0的變量取值按二進(jìn)制數(shù)碼從小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)依次為07，依次將最大項(xiàng)記作M0M7。如M4表示最大項(xiàng) 。2.5 邏輯函數(shù)及其表示方

18、法二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式利用A+A=1可把任一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種標(biāo)準(zhǔn)形式廣泛應(yīng)用于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)及計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)中。如可化為三、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以化成最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。最小項(xiàng)之和必為。設(shè)，因?yàn)槿孔钚№?xiàng)之和為1，所以以外的由反演定理得2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換邏輯函數(shù)式通常是由幾個(gè)乘積項(xiàng)相加組成的，稱為與-或邏輯式，或稱“積之和”形式。如：若受器件限制（只有與非門），則需要把邏輯函數(shù)式變換為全部由與非運(yùn)算組成，稱為與非-與非邏輯式。Y的與非-與非式：，利用如：已知與-或式可得可以通過運(yùn)算將與或形式的

19、邏輯函數(shù)變換為最小項(xiàng)之和或最大項(xiàng)之積的形式。若只有或非器件，則需要把邏輯函數(shù)式變換為全部由或非運(yùn)算組成，稱為或非-或非邏輯式。與-或式與或非形式用反演定理或非-或非式2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1 公式化簡(jiǎn)法當(dāng)用電路來實(shí)現(xiàn)一個(gè)邏輯函數(shù)的功能時(shí)，邏輯式越簡(jiǎn)單，所需要的電子器件就越少。所以，常常需要把邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)以找出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式。邏輯式中，若相加的乘積項(xiàng)不能再減少，而且每項(xiàng)中相乘的因子不能再減少時(shí)，則函數(shù)式為最簡(jiǎn)形式。公式化簡(jiǎn)法就是用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項(xiàng)和多余的因子，求得函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式。公式化簡(jiǎn)法沒有固定的步驟。常用化簡(jiǎn)方法：公式化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法

20、、Q-M法。2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1 公式化簡(jiǎn)法一、并項(xiàng)法利用公式，注意A和B都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例1：用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)解：二、吸收法利用公式，A和B同樣可以是任何一個(gè)復(fù)雜的邏輯式。例2：用吸收法化簡(jiǎn)解：2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法三、消項(xiàng)法利用公式及消去BC或BCD ，其中A、B、C、D都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例3：用消項(xiàng)法化簡(jiǎn)解：四、消因子法用公式，A、B可以是任何復(fù)雜的邏輯式。消去例4：用消因子法化簡(jiǎn)解：2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法五、配項(xiàng)法根據(jù)A+A=A，在函數(shù)式中重復(fù)寫入某一項(xiàng)，以得到更簡(jiǎn)結(jié)果。例5：試化簡(jiǎn)解：在式中重復(fù)寫入，則得到例6：試化簡(jiǎn)解：根據(jù) ，可在函數(shù)式中的某

21、一項(xiàng)上乘以 ，然后拆成兩項(xiàng)分別與其它項(xiàng)合并，以得到更簡(jiǎn)結(jié)果。1.6 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法公式化簡(jiǎn)法沒有固定的步驟，在化簡(jiǎn)復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)，往往需要靈活、交替地綜合運(yùn)用上面介紹的并項(xiàng)、吸收、消項(xiàng)等方法，才能得到最后的化簡(jiǎn)結(jié)果。平時(shí)要多做練習(xí)，以期“熟能生巧”、“舉一反三”。消因子法并項(xiàng)法例6：試化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：解：2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法例7：試化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)配項(xiàng)法吸收法并項(xiàng)法反演定理2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.2 卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法將n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)排列在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。m3m2

22、m1m0AB01012變量卡諾圖m6m7m5m4m2m3m1m0ABC00011110013變量卡諾圖m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD00011110000111104變量卡諾圖2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖的每一個(gè)方塊（最小項(xiàng)）代表一種輸入組合，并且把使最小項(xiàng)為1的變量取值一一對(duì)應(yīng)地注明在陣列圖的上方和左方。注意：每個(gè)最小項(xiàng)與其上、下、左、右的最小項(xiàng)均是邏輯相鄰。每一行最左端與最右端的最小項(xiàng)、每一列最上端與最下端的最小項(xiàng)也是邏輯相鄰。幾何位置相鄰的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性，即只有一個(gè)因子互反，而其它因子相同。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法最小項(xiàng)編

23、號(hào)m2，即當(dāng)變量ABCD=0010（十進(jìn)制數(shù)2）時(shí)該最小項(xiàng)為1。對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是：2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖兩側(cè)（或稱為行、列坐標(biāo)）標(biāo)注的0和1表示使對(duì)應(yīng)小方格（行列交叉處）內(nèi)的最小項(xiàng)為1時(shí)的變量取值，有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制數(shù)碼表示行、列坐標(biāo)變量的組合，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)表示方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。如4變量卡諾圖1011981415131267542310ABCD00011110000111104變量卡諾圖卡諾圖法是邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的一個(gè)重要方法，首先要熟記卡諾圖的排列規(guī)則。下面的動(dòng)畫可幫助我們進(jìn)一步理解卡諾圖。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)任一個(gè)邏

24、輯函數(shù)都可表示為若干最小項(xiàng)之和，而卡諾圖是最小項(xiàng)陣列圖，所以可用卡諾圖來表示任一個(gè)邏輯函數(shù)。步驟：將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式；以外的位置填0。將卡諾圖中與對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的位置填1，而將解：先將Y化為最小項(xiàng)之和形式例1：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法畫出4變量卡諾圖，在對(duì)應(yīng)于mi（i=1，4，6，8，9，10，11，15）的最小項(xiàng)的位置上填1，在其余位置上填0，則可得表示Y的卡諾圖。1111010010010010ABCD0001111000011110例2：已知邏輯函數(shù)Y的卡諾圖如下，試寫出該邏輯式。01011010ABC0001111001函數(shù)Y 等于卡諾圖中填入1的那些最小

25、項(xiàng)之和2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1、合并最小項(xiàng)的規(guī)則三、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)也稱圖形化簡(jiǎn)法，其基本原理就是邏輯相鄰的最小項(xiàng)相加，可消去互反的因子。因卡諾圖按邏輯相鄰原則排列最小項(xiàng)的幾何位置，所以在圖上能直觀地找出邏輯相鄰的最小項(xiàng)并將其合并化簡(jiǎn)。0110001100110110ABCD0001111000011110以函數(shù)Y的化簡(jiǎn)為例來說明將邏輯相鄰的最小項(xiàng)兩兩圈起來，稱為卡諾圈。分別將4個(gè)卡諾圈中的兩個(gè)最小項(xiàng)相加，可消去互反的因子、只剩下相同的因子?；?jiǎn)結(jié)果如下2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法0110001100110110ABCD0001111000011110觀察以上結(jié)果，它們兩兩之間也是僅有一

26、個(gè)因子互反、即邏輯相鄰，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。相當(dāng)于圈成2個(gè)大卡諾圈。每個(gè)圈中有4個(gè)相鄰的1。將4個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)圈成一個(gè)卡諾圈，合并后將消去兩個(gè)變量。2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法依此類推，若是8個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)圈成1個(gè)卡諾圈，合并將會(huì)消去三個(gè)變量、只剩下8個(gè)最小項(xiàng)中的公共因子。0110011001100110ABCD0001111000011110如右圖，8個(gè)最小項(xiàng)中的公共因子只有D，合并后將消去A、B、C三個(gè)變量。圈卡諾圈合并最小項(xiàng)的規(guī)則：邏輯相鄰的最小項(xiàng)的個(gè)數(shù)是2n（n是正整數(shù)）個(gè)，并組成矩形組時(shí)，可以圈為一個(gè)卡諾圈、合并為一項(xiàng)。合并后將消去n個(gè)變量、只剩下這些最小項(xiàng)的公共因子。2.6 邏輯函

27、數(shù)的化簡(jiǎn)方法只能是2n個(gè)（2、4、8）邏輯相鄰且組成矩形組的1才能圈為一個(gè)卡諾圈，3個(gè)、6個(gè)1不能圈，不排成一個(gè)矩形組不能圈。0001001100100000ABCD00011110000111100111010001000000ABCD00011110000111102.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圈越大越好，卡諾圈越大，所包含的最小項(xiàng)就越多，合并后消去的變量也越多, 2n（n是正整數(shù)）個(gè)1組成的卡諾圈，合并后將消去n個(gè)變量；而卡諾圈的個(gè)數(shù)越少越好，因一個(gè)卡諾圈將合并為一項(xiàng)，故卡諾圈的個(gè)數(shù)越少，最后得到的函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)越少。兩者結(jié)合，最后得到最簡(jiǎn)化的函數(shù)式。所有邏輯相鄰的1都要圈完（不能漏圈）。

28、每一個(gè)新卡諾圈中必須至少有一個(gè)1不曾被前面的卡諾圈所包含，才是獨(dú)立的。若兩卡諾圈完全相同，則不會(huì)起化簡(jiǎn)作用。因?yàn)锳+A=A。2、卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式。畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。根據(jù)圈卡諾圈合并最小項(xiàng)的規(guī)則，畫出各卡諾圈。每個(gè)卡諾圈合并為一個(gè)乘積項(xiàng)，將各乘積項(xiàng)相加，得最簡(jiǎn)函數(shù)式。例1：用卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：Y已是最小項(xiàng)之和形式，可直接畫出該函數(shù)的卡諾圖。11100100ABC0001111001畫卡諾圈；將各卡諾圈的合并結(jié)果相加，得到Y(jié)的最簡(jiǎn)形式。例2：用卡諾圖化簡(jiǎn)將Y化為最小項(xiàng)之和形式2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法畫出該函數(shù)的卡諾圖0110111111101110ABC

29、D0001111000011110圈卡諾圈，基本規(guī)則是“圈盡可能大，圈的個(gè)數(shù)盡可能少”。將各卡諾圈的合并結(jié)果相加，得到Y(jié)的最簡(jiǎn)式如下：合并各卡諾圈中的最小項(xiàng)，其合并結(jié)果等于卡諾圈中所包含的最小項(xiàng)的公共因子之積。對(duì)卡諾圖熟練后，可以省去把函數(shù)式化為最小項(xiàng)之和的第步，直接畫函數(shù)的卡諾圖。如 一項(xiàng)，包含了所有含有 的最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于右上角的4個(gè)1。這實(shí)際是合并卡諾圈化簡(jiǎn)的逆過程。2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法解：省略將Y化為最小項(xiàng)之和一步，直接畫出該函數(shù)的卡諾圖。畫卡諾圖時(shí)，碰到某個(gè)最小項(xiàng)多次重復(fù)出現(xiàn)的情況，即某方格的值多次重復(fù)為1，算一次1就可以了。A+A=A2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法例3：用卡諾圖化簡(jiǎn)

30、11111111000000ABCD000111100001111011111111依據(jù)“圈盡可能大，圈的個(gè)數(shù)盡可能少” 的基本規(guī)則圈卡諾圈；合并各卡諾圈中的最小項(xiàng)，將各合并結(jié)果相加，得最簡(jiǎn)式。1111111110101101ABCD0001111000011110例4：已知函數(shù)Y的卡諾圖如下，試將Y化簡(jiǎn)。A2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法例4：已知函數(shù)Y的卡諾圖如下，試將Y化簡(jiǎn)。1111100111111111ABCD0001111000011110分析Y的卡諾圖，1的數(shù)目遠(yuǎn)大于0的數(shù)目，所以采用合并0的方法會(huì)比合并1來得簡(jiǎn)單。因?yàn)槿孔钚№?xiàng)之和為1，而Y等于卡諾圖中為1的最小項(xiàng)之和，則其余的最小項(xiàng)之和應(yīng)為Y，即Y 等于卡諾圖中為0的最小項(xiàng)之和。ABD圖中只有兩個(gè)0、且邏輯相鄰，圈起來合并后，得若采用合并1的方法將得到同樣的結(jié)果。請(qǐng)自行分析。2.7.1 約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)分析某些具體的邏輯函數(shù)時(shí)，經(jīng)常對(duì)輸入變量的取值有限制，即輸入變量的取值不是任意的，稱為約束。則該組變量為具有約束的一組變量。通常用約束條件來描述約束的具體內(nèi)容。例如，一臺(tái)電動(dòng)機(jī)正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)、停止的命令分別用三個(gè)邏輯變量A、B、C表示，A=1表示正轉(zhuǎn)、B=1表示反轉(zhuǎn)、C=1表示停止。因任何時(shí)候只能執(zhí)行其中一個(gè)命令，所以ABC的取值只能為00