第4講函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1、網(wǎng)絡(luò)課程內(nèi)部講義函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教 師：溫馨提示：本講義為 A4 大小，如需打印請注意用紙尺寸愛護(hù)環(huán)境，從我做起，提倡使用“名師” 資料室 免費資料任你【課前復(fù)習(xí)】1含一個絕對值不等式的公式是：和。2 a3 b3 3 (a b)3 4 y cx d 是最簡分式函數(shù)，化簡方法是分離常數(shù)變量，公式是：ax b5函數(shù)圖像的平移法則是和。6若函數(shù) y f (x)滿足 f (a x) f (a x)，則說明函數(shù)是圖形，且對稱軸方程是四函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性【知識要點歸納】一、函數(shù)的單調(diào)性1定義：對于函數(shù) f (x) 的定義域 M 內(nèi)某個區(qū)間上的兩個自變量的值 x1 , x2 ，若當(dāng) x1x2 時，都有

2、f (x1 ) f (x2 ) ，則說 f (x) 在這個區(qū)間上是函數(shù)；若當(dāng) x1x2 時，都有 f (x1 ) f (x2 ) ，則說 f (x) 在這個區(qū)間上是函數(shù)。2判斷方法（1）圖象法：圖象觀察法判斷函數(shù)單調(diào)性也就是看函數(shù)的圖象從左到右是上升還是下降（2）定義法：步驟是，主要用在。第 1 頁函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性y= kx +bk 0k 0k 0a 0“名師” 答疑室 隨時隨地提問互動二、函數(shù)的奇偶性1定義奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任何一個 x，都有，則這個函數(shù)就是奇函數(shù)偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任何一個 x，都有，則這個函數(shù)就是偶函數(shù)說明：（1）按照奇偶性來分，函數(shù)可以分成、函數(shù)具有奇偶性

3、奇偶性與單調(diào)性的區(qū)別：和奇函數(shù)的圖象，偶函數(shù)的圖象奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的若奇函數(shù)在原點處有定義，則有2判斷方法：定義法圖象法【經(jīng)典例題】例 1：如圖是定義在閉區(qū)間5，5上的函數(shù) y = f (x)的圖象，根據(jù)圖象說出 y = f (x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù) y =f (x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。例 2：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性（1） y 2x 2 x 92x（2） y x 1x 1 2 x（3） y 第 2 頁“名師” 資料室 免費資料任你例 3：證明函數(shù) y = x3 在(，+)上單調(diào)遞增函數(shù) f (x) 1 x 2 的單調(diào)性。例 4：例 5：（1）若

4、函數(shù) f (x) | x a |在區(qū)間1,) 上為增函數(shù)，則 a 的取值范圍是a（2）若 f (x)= x2+2ax 與 g(x) 在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則 a 的值范圍是x 1ax 1（3）若函數(shù) f (x) 在區(qū)間(2,) 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍。是x 2例 6：判斷下列函數(shù)的奇偶性：1 x（1） f (x) (x 1)1 x1 x 2（2） f (x) x 2 2第 3 頁“名師” 答疑室隨時隨地提問互動 2（3） g (2（4） f ( 0)0)（5） f (x) x a) 為偶函數(shù)，則 a 例 7：（1）設(shè)函數(shù) f（2）設(shè)函數(shù) f (x) (x 1)(x a) 為奇函數(shù)，

5、則 a x例 8：已知函數(shù) f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，給出下列命題：（1）f (0) = 0在 0， 上有最小值 1，則 f (x) 在 , 0 上有最大值 1。在 1， 上為增函數(shù)，則 f (x) 在 ,1上為減函數(shù)。（2）若 f (x)（3）若 f (x)（4）若 x 0 時，f (x) = x2 2x ， 則 x 0 時，f (x) = x2 2x 。其中正確的序號是：例 9：設(shè) f (x)是 R 上的偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上遞增，且有 f (2a2+ a +1) f (3a22a+1)，求 a 的取值范圍。第 4 頁“名師” 資料室 免費資料任你x2 ) ，有(x2 x1

6、)( f (x2 ) f (x1 ) 0 。例 10：定義在 R 上的偶函數(shù) f (x) 滿足：對任意的則當(dāng) n N * 時，有（）A f (n) f (n 1) f (n 1)B f (n 1) f (n) f (n 1)C f (n 1) f (n) f (n 1)D f (n 1) f (n 1) f (n)例 11：已知函數(shù) f (x) 是定義在實數(shù)集 R 上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù) x 都有 xf (x 1) (1 x) f (x) ，5則 f ( ) 的值是（2A0）1252BC1D【課堂練習(xí)】1x 11函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間是（）A增區(qū)間(，0)，(0，+)C增區(qū)間

7、(，1)，(1，+)B減區(qū)間(，0)，(0，+)D減區(qū)間(，1)，(1，+)2若 f (x)=x22ax+c 在區(qū)間(1，+)上是單調(diào)函數(shù)，則 a 的取值范圍是（）Da1，且 c0Aa143試用定義法，求函數(shù) f (x)=x+在（2，+）及(0，2)上的單調(diào)性x15若 f (x) a 是奇函數(shù)，則 a 。2x 11 x 2 x 16判斷 f (x) 的奇偶性。1 x 2 x 1第 5 頁“名師” 答疑室 隨時隨地提問互動理 4）設(shè)函數(shù) f (x) 和 g(x )分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（7.（2011）A f (x) +|g(x)|是偶函數(shù)B f (x) |g(x)

8、|是奇函數(shù)C| f (x) | +g(x)是偶函數(shù)D| f (x) | g(x)是奇函數(shù)8.（2010理數(shù)）3若函數(shù) f（x）=3x+3x 與 g（x）=3x3x 的定義域均為 R，則（）Af（x）與 g（x）均為偶函數(shù)Cf（x）與 g（x）均為奇函數(shù)Bf（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)Df（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)9已知奇函數(shù) f(x)在區(qū)間3，7上是增函數(shù)，且最小值是 5，那么 f (x)在區(qū)間7，3上是（）A增函數(shù)且最小值是5；C減函數(shù)且最小值是5；B增函數(shù)且最大值是5；D減函數(shù)且最大值是510若 f (x)=(m1)x2+mx+3(xR)是偶函數(shù)，則 f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

9、11已知函數(shù) f (x)=(x2+1)/(bx+c)是奇函數(shù)，且 f (1)=2。（1）求 b，c 的值，并求 f (x)；（2）當(dāng) x0 時，的單調(diào)性。f (x)f (x2 ) f (x1 ) 0 .f (x) 滿足：對任意的x ) ，有12（2009 陜西卷文）定義在 R 上的偶函數(shù)2x x21則（）f (1)f (3)ABf (2)f (3)CD第 6 頁“名師” 資料室 免費資料任你【課堂練習(xí)】參考1、2、：D：Bx2 x1(x x 4)，x x x 24，f(x )f(x )，f(x) 在（2，+）上3、解：對于任意 x x 2，f(x )f(x )=21211 21 2121x1

10、x2x x)= 2144對于任意 x ，x (0，2)；0 x 0，x 2x x x 2，x x 4x 240，即 x 2 時，f(x )f(x )0，f(x)在(0，2)上單調(diào)減11 221 22221x1 x2125、：6、解：1 x 2 x 1 0函數(shù)的定義域為 R 且 f (x) + f (x)1 (x)2 (x) 11 x 2 x 11 x 2 x 11 (x)2 (x) 1 ( 1 1)2 0( 1 x 2 1)2 x 2f (x) 為奇函數(shù)f (x) = f (x)：因為 g(x )是 R 上的奇函數(shù)，所以|g(x)|是 R 上的偶函數(shù)，從而 f (x) +|g(x)|是偶函數(shù)，

11、故選 A.7、：D f (x) 3x 3x g(x) x8、9、解：區(qū)間3，7與7，3關(guān)于原點對稱，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可知 f(x)在區(qū)間3，7與7，3上單調(diào)性相同，即 f(x)在區(qū)間7，3上也是增函數(shù)； f(x)在3，7上是增函數(shù)，且最小指是 5，f(3)=5；由 f(x)是奇函數(shù)，可知 f(3)=5，且5 是 f(x)在7，3上的最大值.綜上所述，應(yīng)選 B.10、：（略）； 增；減; (，0)(f(x)為偶函數(shù)，應(yīng)一次項系數(shù)為 0，即 m=0，f(x)=x2+3，其圖象為關(guān)于 y 軸對稱，開口向下的拋物線). 1 1 2b cb 1211 、 解 ：（ 1 ） f(x)=(x +1)/(bx+c) 是奇函數(shù)，且 f(1)=2 ， f(1)=2 ，即 1 1，亦即 ，c 0 2c bf(x)=(x2+1)/x=x+1/x.（2）設(shè) 0 x1x2，則 f(x1)f(x2)=(x1x2)(11/x1x2)= (x1x2)(x1x21)/x1x2.0 x1x2，x1x20. 當(dāng)1x10，當(dāng)0 x1x21 時，x1x210，當(dāng)1x1x2 時，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2);當(dāng) 0 x1x20，即 f(x1)f(x2).函數(shù) f(x)在(0，1)遞減，在1，+上遞增.1