《幾何與代數(shù)》教學(xué)中的一些嘗試與思考

1、幾何與代數(shù)教學(xué)中的一些嘗試與思考介紹 幾何與代數(shù) 解析幾何+高等代數(shù) 學(xué)時(shí)=第一學(xué)期13周78學(xué)時(shí)+第二學(xué)期16周96學(xué)時(shí)為什么要將解析幾何與高等代數(shù)合成一門(mén)課？從學(xué)科角度來(lái)看： 一、解析幾何的基本思路就在于引入坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，借助代數(shù)方法加以求解。 二、高等代數(shù)中的一些較抽象的概念就是從幾何中獲得啟發(fā)，對(duì)其加以抽象推廣而來(lái)的。 希望能逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。從教學(xué)的角度看： 一、避免兩門(mén)課由于進(jìn)度不同而重復(fù)講解相同的內(nèi)容。 二、抽象的代數(shù)概念如果能與幾何聯(lián)系，借助二維三維的幾何實(shí)例，往往能增進(jìn)學(xué)生的理解。 三、在n維向量空間理論的基礎(chǔ)上

2、，介紹高維仿射幾何，而不必限于二維三維幾何。 四、讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性獲得一些直觀而且切實(shí)的認(rèn)識(shí)。 如何教這門(mén)課？ 不應(yīng)該是簡(jiǎn)單的1+1，這幾周講解幾，那幾周講高代，涇渭分明。 而應(yīng)該是幾何與代數(shù)的真正融合，內(nèi)容重代數(shù)，思想重幾何。胡國(guó)權(quán)幾何與代數(shù)導(dǎo)引陳志杰高等代數(shù)與解析幾何講義 共分8章 第一學(xué)期講前3章，內(nèi)容是： 1 向量代數(shù)與解析幾何 2 矩陣 3 多項(xiàng)式 第二學(xué)期講剩下5章，內(nèi)容是： 4 向量空間 5 線性變換 6 內(nèi)積 7 二次型 8 仿射幾何講義的一些特點(diǎn) 內(nèi)容安排上： 第二章矩陣： 行列式作為對(duì)方陣所做的一種運(yùn)算也包括了進(jìn)來(lái)而不另設(shè)一章。 線性方程組作為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用放到本章

3、的最后。 初等變換作為基本的計(jì)算方法，在一開(kāi)始就加以介紹，貫穿全章，先后應(yīng)用于計(jì)算行列式、求秩、求逆矩陣、解線性方程組等等。 對(duì)分塊矩陣法有較多的應(yīng)用，比如用于計(jì)算行列式、證明秩的不等式等等。第四章向量空間中增加了一節(jié)介紹對(duì)偶空間。本講義的一些特點(diǎn) 內(nèi)容安排上： 第六章內(nèi)積： 先介紹復(fù)內(nèi)積與酉空間，再介紹實(shí)內(nèi)積與歐氏空間。 在酉空間的框架下，可以對(duì)正規(guī)變換證明譜分解定理，作為特例，Hermite變換、反Hermite變換、酉變換也可對(duì)角化，而且證明并不更復(fù)雜。然后通過(guò)復(fù)化，證明歐氏空間中的對(duì)稱(chēng)變換可對(duì)角化，并求出反對(duì)稱(chēng)變換和正交變換的標(biāo)準(zhǔn)型（利用后面這點(diǎn)，可以證明幾何上的一個(gè)結(jié)果：二維平面上的

4、運(yùn)動(dòng)只有平移、轉(zhuǎn)動(dòng)和反射；三維空間上的運(yùn)動(dòng)只有平移、繞軸旋轉(zhuǎn)、滑移反射和鏡面旋轉(zhuǎn)）。 以往的寫(xiě)法突出了歐氏空間，卻讓學(xué)生幾乎完全忽略了復(fù)內(nèi)積和酉空間。 大學(xué)四年，除了復(fù)變函數(shù)課，學(xué)生幾乎很少接觸到復(fù)數(shù)。無(wú)論是代數(shù)（高等代數(shù)）、幾何（解析幾何與微分幾何）還是分析（泛函分析），都基本只限于實(shí)數(shù)情形，而不講復(fù)數(shù)情形。我們采取這種講法，部分目的也是希望對(duì)這種現(xiàn)狀做適當(dāng)?shù)某C正。本講義的一些特點(diǎn) 內(nèi)容安排上： 第八章仿射幾何： 介紹了n維仿射空間，仿射子空間，仿射變換，以及n維歐氏仿射空間，最后還介紹了二次曲面的分類(lèi)。 多數(shù)的教材都只講二維三維幾何，但是既然我們已經(jīng)系統(tǒng)研究了n維向量空間的理論，也就沒(méi)必要

5、再將自己限制于低維幾何，而且這也給了應(yīng)用向量空間理論一個(gè)機(jī)會(huì)。本講義的一些特點(diǎn) 習(xí)題編排上： 兩個(gè)系列： 一類(lèi)是“作業(yè)”，統(tǒng)一置于課后。 另一類(lèi)是“練習(xí)”，分散安排于正文中，是正文不可分割的一部分。 這些“練習(xí)”，通常難度并不大，也不只是簡(jiǎn)單的計(jì)算練習(xí)， 而是希望幫助學(xué)生理解概念和定理。學(xué)習(xí)這門(mén)課的同學(xué)都是大一新生， 有些學(xué)生由于不知道在閱讀數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)該思考什么、如何思考，變得喜 歡“看”數(shù)學(xué)“聽(tīng)”數(shù)學(xué)，但一遇題目立即束手。如此編排練習(xí)，就 是希望能引導(dǎo)他們，讓他們?cè)谧粤?xí)或預(yù)習(xí)時(shí)，隨時(shí)準(zhǔn)備好紙筆，主動(dòng) 地“做”數(shù)學(xué)。 2022/7/12112022/7/1212考核方式 注重學(xué)習(xí)過(guò)程：平時(shí)成績(jī)占總評(píng)成績(jī)的40% 平時(shí)成績(jī)主要從兩個(gè)方面來(lái)評(píng)定： 一、作業(yè)與練習(xí)： 課后作業(yè) 課前的“預(yù)習(xí)”作業(yè)：書(shū)中的“練習(xí)”上課時(shí)指定學(xué)生到黑板上做并評(píng)分?？己朔绞蕉?、單元測(cè)驗(yàn)： 每一章都做一次單元測(cè)驗(yàn)（比較長(zhǎng)的章則考兩次）考試時(shí)長(zhǎng)40分鐘，題型涵蓋期末考所有四種題型（選擇、填空、計(jì)算、證明），題量約是期末考的三分之一，開(kāi)