高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分通用PPT課件

1、高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分6.2 多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)概念 三、二元函數(shù)的極限 四、二元函數(shù)的連續(xù)性 注： 設(shè)P0(x0 y0)是xOy平面上的一個點 是某一正數(shù) 點P0的鄰域記為U(P0 ) 它是如下點集 鄰域 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域 點P0的某個去心鄰域記作 下頁下頁 任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種 點與點集之間的關(guān)系 內(nèi)點 如果存在點P的某一鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱P為E的內(nèi)點 外點 如果存在點P的某個鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱P為E的外點 邊界點 如果點P的任一鄰域內(nèi)

2、既有屬于E的點 也有不屬于E的點 則稱P點為E的邊點邊界點內(nèi)點外點 E的邊界點的全體 稱為E的邊界 記作E 開集 如果點集E的點都是內(nèi)點, 則稱E為開集. 下頁閉集 如果點集的余集Ec為開集 則稱E為閉集 舉例 點集E(x y)|1x2y20 函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域為 (x y)|x2y21 舉例 下頁z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形 點集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D稱為二元函數(shù)zf(x, y)的圖形. 二元函數(shù)的圖形是一張曲面. z=ax+by+c表示一張平面. 舉例 方程x2+y2+z2a2確定兩個二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面, 其定義域均

3、為D=(x, y)|x2+y2a2.首頁 二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限. 三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義 設(shè)二元函數(shù)f(P)f(xy)也記作 下頁下頁 例 設(shè)22221sin)(),(yxyxyxf+=, 求),(lim)0,0(),(yxfyx.),(lim)0,0(),(yxfyx=0必須注意 (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時, 函數(shù)都無限接近于A . (2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時, 函數(shù)趨于不同的值, 則函數(shù)的極限不存在. 提示討論 下頁四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去. 下頁性質(zhì)1(有界性

4、與最大值最小值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù) 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)2(介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值 結(jié)束6.3 偏 導(dǎo) 數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法 類似地, 可定義函數(shù)zf(x, y)在點(x0, y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)有定義 若極限存在 則稱此極限為函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù) 記作 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法偏導(dǎo)數(shù)的定義 偏導(dǎo)數(shù)的符號 如果

5、函數(shù)zf(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x, y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么f(x, y)對x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù), 這個函數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)對x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)), 記作偏導(dǎo)函數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法偏導(dǎo)數(shù)的定義 偏導(dǎo)數(shù)的符號 偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號 偏導(dǎo)數(shù)的求法 求函數(shù)對一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時, 只要把其它自變量看作常數(shù), 然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可. 偏導(dǎo)函數(shù) 例 求zx23xyy2在點(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù). 解 偏導(dǎo)函數(shù) 解 例 例 求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù). 解 證原結(jié)論成立有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：.求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解3. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連

6、續(xù)的關(guān)系？偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)， 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 但函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù).在點(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 提示：當(dāng)點P(x y)沿直線ykx趨于點(0 0)時 有 因此 函數(shù)f(x y)在(0 0)的極限不存在 當(dāng)然也不連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0, y0)= f(x, y0)x0 fy(x0, y0)= f(x0, y)y0 z=f(x, y0) z=f(x0, y) 是截線z=f(x, y0)在點(x0, y0)處的切線Tx對x

7、軸的斜率. 是截線z=f(x0, y)在點(x0, y0)處的切線Ty對y軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0, y0)= f(x, y0)x0 fy(x0, y0)= f(x0, y)y0 是截線z=f(x, y0)在點(x0, y0)處的切線Tx對x軸的斜率. 是截線z=f(x0, y)在點(x0, y0)處的切線Ty對y軸的斜率. 設(shè)某產(chǎn)品的需求量偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義其中為該產(chǎn)品的價格，為消費者收入。稱需求對價格的偏彈性需求對收入的偏彈性偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中是由用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。個人力單位和個資本單位生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量（資

8、本是機器、場地、生產(chǎn)工具和其它二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個:其中fxy(x, y)、fyx(x, y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù). 類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù). 解 此例中兩個混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的. 例 設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2. 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等 定理 解 例 設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2. 證 例

9、證 例提示 證 例一、全微分的定義二、全微分在近似計算中的應(yīng)用6.4 全微分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁應(yīng)用 一元函數(shù) y = f (x) 的微分近似計算估計誤差由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分（perfect differential)全增量(perfect increment)的概念全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 則稱函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 下頁 如果函數(shù)zf(x, y)在點(x,

10、 y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 這是因為, 如果z=f(x, y)在點(x, y)可微, 則 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(r),因此函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處連續(xù). 下頁于是從而可微分的必要條件應(yīng)注意的問題下頁可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 如果函數(shù)zf(x y)在點(x y)可微分 則函數(shù)在該點的偏導(dǎo) 偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件 但不是充分條件 可微分的充分條件 以上結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 下頁可微分的必要條件可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連

11、續(xù), 但可微分必連續(xù). 如果函數(shù)zf(x y)在點(x y)可微分 則函數(shù)在該點的偏導(dǎo) 則函數(shù)在該點可微分. 疊加原理 按著習(xí)慣, x、y分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 這樣函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如uf(x, y, z)的全微分為下頁 例1 計算函數(shù)zx2yy2的全微分. 解 所以 例2 計算函數(shù)zexy在點(2, 1)處的全微分. 解 所以 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 下頁因為 因為 解 解 首頁 例3 因為 所以設(shè)

12、解: 類似 可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二 、全微分在近似計算中的應(yīng)用下頁 當(dāng)函數(shù)zf(x, y)在點(x0, y0)處可微，那么函數(shù)L (x, y) f (x0, y0) +fx (x0, y0) (x-x0)fy(x, y) (y - y0), 就稱為函數(shù)zf(x, y)在點(x0, y0)處的線性化. 近似式 f(x, y) L (x, y) 稱為函數(shù)zf(x, y)在點(x0, y0)處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似. 例 求函數(shù)在點(3,2)處的線性化. 當(dāng)函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù), 并且|x|, |y|都較小時, 有近似等

13、式 zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V r2h. 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 cm3. 2201000.05202(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh 下頁 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x,

14、 y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根據(jù)近似公式, 有 例5 計算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 設(shè)函數(shù) f(x, y)x y. 顯然, 要計算的值就是函數(shù)在 x1.04, y2.02時的函數(shù)值f(1.04, 2.02). 結(jié)束 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x

15、, y)y, 因為 取x1, y2, x0.04, y0.02. 練 習(xí) 題練習(xí)題答案第五節(jié)、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理. 若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù), 在點 t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)情形例如,上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù).定理22.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)情形鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 設(shè)zf(u v) u(x y) v(x y) 則 例. 解: exyy sin(xy)cos(xy) eusin v 1 eucos v y eusin v exyx sin(

16、xy)cos(xy)1eucos v x 設(shè)zf(u v) u(t) v(t) 則 3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)情形特殊地即其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似解:例.解:為簡便起見 , 引入記號例. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解: 令則全微分形式不變性的實質(zhì)： 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分例1 .例.利用全微分形式不變性解例1.解:所以三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 例. 驗證方程x2y210在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x

17、0的值. 解: 設(shè)F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.隱函數(shù)存在定理:則 設(shè)函數(shù)F(x y)在點P(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 則方程F(x y)0在點(x0 y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)yf(x) 它滿足條件y0f(x0). 由隱函數(shù)存在定理, 方程x2y210在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x). 解: 設(shè)F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.則由

18、隱函數(shù)存在定理, 方程x2y210在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x). 提示: 由方程F(x, y)0確定的隱函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)為 例. 驗證方程x2y210在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值. 解: 設(shè)F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.則由隱函數(shù)存在定理, 方程x2y210在點(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x). 例. 驗證方程x2y210在點(0

19、, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時y1的隱函數(shù)yf(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值. 隱函數(shù)存在定理 設(shè)函數(shù)F(x y z)在點P(x0 y0 z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 則方程F(x y z)0在點(x0 y0 z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zf(x y) 它滿足條件z0f(x0 y0) 并有解:令則內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2. 全微分形式不變性不論 u , v 是自變量還是因變量,3. 隱函數(shù)微分法. 練

20、 習(xí) 題一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法6.6 多元函數(shù)的極值及其求法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁極值的定義 設(shè)函數(shù)z f (x y)在點(x0 y0)的某個鄰域內(nèi)有定義 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(x y) 都有 f (x y) f (x0 y0) 則稱函數(shù)在點(x0 y0)有極大值(或極小值) f (x0 y0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某個鄰域內(nèi)有定義 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點

21、(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 則稱函數(shù)在點(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 例 函數(shù)z3x24y2在點(0, 0)處有極小值. 提示: 當(dāng)(x, y)=(0, 0)時, z=0, 而當(dāng)(x, y)(0, 0)時, z0. 因此z=0是函數(shù)的極小值.下頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某個鄰域內(nèi)有定義 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 則稱函數(shù)在點(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 提示: 例 當(dāng)(x, y)=(0, 0)時, z=0,

22、 而當(dāng)(x, y)(0, 0)時, z0. 因此z=0是函數(shù)的極大值. 下頁提示: 因為在點(0, 0)處的函數(shù)值為零, 而在點(0, 0)的任一鄰域內(nèi), 總有使函數(shù)值為正的點, 也有使函數(shù)值為負的點. 例 函數(shù)zxy在點(0, 0)處既不取得極大值也不取得極小值. 下頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某個鄰域內(nèi)有定義 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0 y0)的點(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 則稱函數(shù)在點(x0 y0)有極大值(或極小值)f(x0 y0) 下頁定理1(取得極值的必要條件) 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0

23、)具有偏導(dǎo)數(shù) 且在點(x0 y0)處有極值 則有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 類似地可推得 如果三元函數(shù)uf (x y z)在點(x0 y0 z0)具有偏導(dǎo)數(shù) 則它在點(x0 y0 z0)具有極值的必要條件為fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同時成立的點(x0 y0)稱為函數(shù)zf(x y)的駐點 駐點 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)具有偏導(dǎo)數(shù) 且在點(x0 y0)處有極值 則有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 下頁討論 駐點與極值點的關(guān)系怎樣？提示 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的

24、極值點必定是駐點 函數(shù)的駐點不一定是極值點 定理1(取得極值的必要條件) 例如,有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.下頁定理2(取得極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)zf(x y)在點(x0 y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 則f (x y)在(x0 y0)處是否取得極值的條件如下 (1)ACB20時具有極值 且當(dāng)A0時有極小值 (2)ACB20 則函數(shù)在駐點處取得極值 如果fxxfyy-fxy20 則函數(shù)在駐點處不取得極值 在極值點處 當(dāng)fxx0時有極小值下頁例求

25、函數(shù)解: 第一步 求駐點.得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.在點(1,2) 處不是極值;例 討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為應(yīng)注意的問題 不是駐點也可能是極值點. 因此, 在考慮函數(shù)的極值問題時, 除了考慮函數(shù)的駐點外, 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點, 那么對這些點也應(yīng)當(dāng)考

26、慮. 下頁但(0 0)不是函數(shù)的駐點 最大值和最小值問題 如果f(x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 討論: 比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示: 不能, 最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得, 而極值是在區(qū)域的內(nèi)部求得的.下頁 使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內(nèi)部, 也可能在D的邊界上. 最大值和最小值的求法 將函數(shù)f(x, y)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函數(shù)f(x, y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得, 而函數(shù)在D內(nèi)只有一

27、個駐點, 那么該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x, y)在D上的最大值(最小值). 下頁最大值和最小值問題 如果f(x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 下頁 例 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱 問當(dāng)長、寬、高各取多少時 才能使用料最省 解 根據(jù)題意可知 水箱所用材料面積的最小值一定存在 并在開區(qū)域D(x y)|x0 y0內(nèi)取得 又因為函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點(2 2) 所以此駐點一定是A的最小值點 設(shè)水箱的長為x m 寬為y m 則所用材料的面積為 水箱所用的材料最省 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法條件極值 對自變量有附加條件的極值稱為

28、條件極值. 上述問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值問題, 這是一個條件極值問題. 例如, 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題. 設(shè)長方體的三棱的長為x, y, z, 則體積Vxyz. 又因假定表面積為a2, 所以自變量x, y, z還必須滿足附加條件2(xyyzxz)a2. 下頁求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值 例如, 求Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值. 有時可以把條件極值問題化為無條件極值問題. 這就把求條件極值問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題. 下頁二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法條件極值 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

29、(2)用拉格朗日乘數(shù)法 在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值, 需要用一種求條件極值的專用方法, 這就是拉格朗日乘數(shù)法. 下頁求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法條件極值 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值. 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)zf(x, y)在附加條件j(x, y)0下的可能極值點,可以先作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))F(x, y)f(x, y)lj(x, y), 其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子). 然后解方程組 上述方程組的解(x, y)就是所要求的可能的極值點, 對于所求得的可能的極值點還需判斷是否是極值點,在實際問題中往往可根據(jù)問題本身

30、的性質(zhì)來判定. 下頁 例 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積. 設(shè)長方體的三個棱長x, y, z, 則問題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下的最大值. 作拉格朗日函數(shù) 解方程組F(x, y, z)xyzl(2xy2yz2xza2), 結(jié)束 因為由問題本身可知最大值一定存在 所以最大值就在這個可能的值點處取得 此時 解 小 結(jié)1. 函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第

31、二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . 解 按題意，即求函數(shù)在條件解由一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)6.7 二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積 設(shè)一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面 它的頂是曲面zf(x y) 這里f(x y)0且在D上連續(xù) 這種立體叫做曲頂柱體 提示 相應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個小曲頂柱體.提示 其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積Vi Vif(i

32、 i)i 用小平頂柱體的體積之和近似代替整個曲頂柱體體積 將分割加細 取極限 求得曲頂柱體體積的精確值si(xi,hi)一、二重積分的概念1 曲頂柱體的體積 用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域 1 2 n 二重積分的定義 設(shè)f(x y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù) 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 1 2 n 其中i表示第i個小閉區(qū)域 也表示它的面積 在每個小閉區(qū)域i上任取一點(i i) 作和 設(shè)為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 如果當(dāng) 0時這和式的極限總存在 則稱此極限為函數(shù)f(x y)在閉區(qū)域D上的二重積分 記為積分號 二重積分的定義積分中各部分的名稱 f(x y)被積函數(shù) f(x y)d被積表達式 d 面積

33、元素 x y 積分變量 D積分區(qū)域 積分和 對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義:當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素(areal element)為 二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2 則 注 二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和 性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2 則 二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù) 則 性質(zhì)2 如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2 則 性質(zhì)3 性質(zhì)4 如果在D上 f(x y)g(x y) 則有不等式 特殊地有 性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值 為D的面積