高等數(shù)學等價無窮小替換_極限的計算（）

1、講義 無窮小 極限的簡單計算【教學目的】1、理解無窮小與無窮大的概念； 2、掌握無窮小的性質(zhì)與比擬 會用等價無窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W內(nèi)容】1、無窮小與無窮大；2、無窮小的比擬； 3、幾個常用的等價無窮小 等價無窮小替換； 4、求極限的方法?！局攸c難點】重點是掌握無窮小的性質(zhì)與比擬 用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法?！窘虒W設計】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質(zhì)30分鐘，在理解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì)的根底上,讓學生重點掌握用等價無窮小求極限的方法20分鐘。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧25分鐘，課堂練習15分鐘?！臼谡n內(nèi)容】一、無窮小與無窮大前面我

2、們研究了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義：當在給定的下，以零為極限，那么稱是下的無窮小，即。例如, 【注意】不能把無窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無窮小。定義： 當在給定的下，無限增大，那么稱是下的無窮大，即。顯然，時，都是無窮大量，【注意】不能把無窮大與很大的數(shù)混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數(shù)可能是無窮小也可能是無窮大，如 ， ，所以當時為無窮小，當 時為無窮大。2無窮小與無窮大的關系：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，那么為無

3、窮??；反之，如果為無窮小，且，那么為無窮大。小結(jié)：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢。:定理1 其中是自變量在同一變化過程或中的無窮小.證：必要性設令那么有充分性設其中是當時的無窮小，那么 【意義】1將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);2定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【注意】無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. 定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.如：，推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無

4、窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比擬例如，觀察各極限：不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢程度不同.1定義: 設是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且 例1 證：例2 解2常用等價無窮小:1； 2； 3； 4； 5； 67 8 9用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如3等價無窮小替換定理：證：例3 1； 2 解: 1 故原極限= 82原極限=例4 錯解: =0正解: 故原極限【注意】和、差形式一般不能進行等價無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進行等價無窮小替換。例5 解: 原式三、極限的簡單計算1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，假設存在，即為其極限

5、，例如；假設不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進去了，但我們看出了這是一個型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子分母有理化法例如， 又如，4. 化無窮大為無窮小法例如，實際上就是分子分母同時除以這個無窮大量。由此不難得出又如，分子分母同除。再如，分子分母同除。5. 利用無窮小量性質(zhì)、等價無窮小量替換求極限例如，無窮小量乘以有界量。又如，解：商的法那么不能用由無窮小與無窮大的關系,得再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3例5。6. 利用兩個重要極限求極限例題參見例57. 分段函數(shù)、復合函數(shù)求極限例如，解:

6、左右極限存在且相等, 【啟發(fā)與討論】思考題1：解： 無界， 不是無窮大結(jié)論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：假設，且，問：能否保證有的結(jié)論？試舉例說明.解：不能保證. 例 思考題3：任何兩個無窮小量都可以比擬嗎？解：不能例如當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大，故當時和不能比擬.【課堂練習】求以下函數(shù)的極限1；解：原極限=2求【分析】 “型，拆項。解：原極限=3 ； 【分析】“抓大頭法，用于型解：原極限=，或原極限4；【分析】分子有理化解：原極限=5【分析】型，是不定型，四那么運算法那么無法應用，需先通分，后計算。解：=6【分析】“型，是不定型，四那么運算法那么失效，使用分母有理化消零因子。 解：原極限=67解: 先變形再求極限.【內(nèi)容小結(jié)】一、無窮小大的概念無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內(nèi)容: 兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:(1) 無窮小 大是變量,不能與很小大的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；2 無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮小.3 無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比擬:, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比擬。高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階。2.等價無窮小的替換: 求極限的又