偏微分方程在人口問題中的應用

1、偏微分方程在人口問題中的應用06數學系 杜慧通 PB06001022在老師的帶領下，經過一個學期的偏微分方程的學習，我們深刻的認識到偏微分方程不僅是反映有關的未知變量關于時間的導數和關于空間變量的導數之間制約關系的等式，在許多領域中的數學模型都可以用偏微分方程來描述，不難發(fā)現，課本中所主要提及的三類方程都是有一定的物理學背景的。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開始用偏微分方程來描述、解釋或預見各種自然現象，并將所得到的研究方法和研究成果運用于各門科學和工程技術中，不斷地取得了顯著的成效，顯示了偏微分方程對于人類認識自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學等各門科學中的實際問題為背景的偏微

2、分方程的研究成為傳統應用數學中的一個最主要的內容，它直接聯系著眾多自然現象和實際問題，不斷地提出和產生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進著許多相關數學分支(如泛函分析、微分幾何、計算數學等)的發(fā)展，并從它們之中引進許多有力的解決問題的工具。偏微分方程已經成為當代數學中的一個重要的組成部分，是純粹數學的許多分支和自然科學及工程技術等領域之間的一座重要的橋梁。面對各種復雜的現實問題，我們常常采用的方法是針對所考慮的實際問題建立合理的數學模型，而這些能精確描述問題的模型大都是通過偏微分方程給出的。對相應的偏微分方程模型進行定性的研究。根據所進行的定性研究，尋求或選擇有效的求解方法。應用上述方法，

3、我們一起來看一看大家都感興趣的人口問題。對人口的發(fā)展進行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，馬爾薩斯模型1：其中表示時刻的人口總數，為初始時刻時的人口總數，表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數不太大時才合理。因為當生物群體總數增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數的自然線性增長項，沒有考慮生存競爭對群體總數增長的抵消作用。因此在群體總數大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預見群體發(fā)展趨勢，這時就要采用威爾霍斯特模型2：其中，稱為生命系數，而且比要小很多。就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當群體總數不太

4、大時，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當群體總數增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產生的影響就不能忽略。不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數量不僅和時間有關，還應該和年齡有關，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài)。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型2：其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示

5、可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。對于上述偏微分方程模型成立如下結論：1.對偏微分方程的初值問題(1)(3)，如果下列條件成立：在區(qū)間上，且適當光滑；在區(qū)間上，且適當光滑，并且當時，及；。則該初邊值問題(1)(3)存在唯一的整體解并且滿足且。該模型在經過適當的簡化假設后，例如假設常數，常數，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關，這與現實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更進一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。從上述問題的闡述和分析過程不難看出，偏微分方程能非常精確的幫助數學模型的建立，把自然科學的發(fā)展和研究推進到一個新的高度。參考文獻：1 W. F. 盧卡斯主編，朱煜民、周宇虹譯，微分方程模型，國防科技大學出版社，1988.2 G.