2013年數(shù)學全真模擬試卷3（教師版）

1、PAGE PAGE 9啟東市2013年數(shù)學全真模擬試卷三一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1 已知向量，則 4 ；2 若直線為函數(shù)的一條切線，則實數(shù) 由得，故切點為或，代入得；3 若使“”與“”恰有一個成立的的取值范圍為，則實數(shù)的值是 0 易得；4 已知點為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點，則劣弧的長度大于1的概率為 “劣弧的長度大于1”的概率等于；5 給出如下10個數(shù)據(jù)：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68根據(jù)這些數(shù)據(jù)制作頻率分布直方圖，其中這組所對應的矩形的高為 落在區(qū)間的數(shù)據(jù)依次為65，66，6

2、6，65，共4個，則矩形的高等于；6 已知，且，則 法1 由得，且，所以，則，此時；法2由得，且，所以，則；7 某圓錐的側面展開圖是半徑為1cm的半圓，則該圓錐的體積是 cm 設圓錐的底面圓的半徑為，高為，則由得，所以該圓錐 體積；8 對于定義在上的函數(shù)，下列正確的命題的序號是 若，則是上的單調增函數(shù)；若，則不是上的單調減函數(shù)； 若在區(qū)間、上都是單調增函數(shù)，則一定是上的單調增函數(shù)對于：不符合單調增函數(shù)的定義；正確；對于：注意在處，若函數(shù)不連續(xù)時 該命題就不一定正確；9 給出下列等式： ， ， ， 請從中歸納出第個等式： 易得第個等式：；10已知電流隨時間變化的關系式是，設，則電流 首次達到峰值

3、時的值為 易得周期，則函數(shù)首次達到峰值時；11在平面直角坐標系xOy中，已知點，分別以的邊向（第11題圖）外作正方形與，則直線的一般式方程為 易得，則直線的方程為；12設，且，則函數(shù)的最小值為 易得，設，則（當且僅當時等號成立），則原式（當且僅當時等號成立）；13已知過某定圓上的每一點均可以作兩條相互垂直的直線與橢圓的公共點都各只有一個，那么該定圓的方程為 解：易得橢圓的外切矩形的四個頂點必在該定圓上，則該定圓必是該外切矩形的外接圓，方程為，可以驗證過該圓上除點的任意一點也均可作兩條相互垂直的直線與橢圓的交點都各只有一個；14已知為非零常數(shù)，數(shù)列與均為等比數(shù)列，且，則 3 解： 因為數(shù)列與均為

4、等比數(shù)列，所以且，得，故數(shù)列也為等差數(shù)列，不難得數(shù)列為非零常數(shù)列，則二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟15 已知（1）求的值； （2）求的值 命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式，考查運算求解能力（1）因為， ， 得，（3分） 即2+2， 所以；（6分）（2）得 即，（8分）DN（第16題）PABCMQ 故，（12分） 化簡得， 由（1）得. （14分）16如圖，在正四棱錐中，點為棱的中點，點為棱上的點.（1）若，求證：平面；（2）試寫出（1）的逆命題，并判斷其真假. 若為真，請證明；若為假，請舉反例. 命題立意：

5、本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象、推理論證能力【證明】（1）延長，交于點，連結， 因為點為線段上的點， 且， 所以點為線段的中點，又點為線段的中點，所以， 又平面， 平面， 所以平面. （2）（1）的逆命題為：若平面， 則（真命題）， 下證之： 因為平面， 平面， 平面平面，所以，（12分） 在中，點為線段的中點，點為線段上的點， 所以，點為線段的中點.（14分）17在平面直角坐標系xOy中，設點，點為直線l：與拋物線C：異于原點的另一交點（1）若a1，b2，求點的坐標；（2）若點在橢圓上，求證：點落在雙曲線上；（3）若點始終落在曲線（其中為常數(shù)，且）上，

6、問動點的軌跡落在哪種二次曲線上？并說明理由 命題立意：本題主要考查求直線、拋物線、雙曲線、圓、橢圓等基礎知識，考查運算求解與探 究能力解：（1）由與則聯(lián)立方程組得， 又a1，b2，則；（3分） （2）將代入橢圓得， 將代入，即證；（7分） （3）將代入（其中為常數(shù)，）得， 若，則，所以點的軌跡落在拋物線上；（9分） 若，則， 若，則點的軌跡落在圓上；（11分） 若，且，則點的軌跡落在橢圓上；（13分） 若，則點的軌跡落在雙曲線上.（15分）18 （圖乙）（圖甲）如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉動，如圖乙，設的對邊長為（1）試用表示；（2）

7、求魔方增加的表面積的最大值 命題立意：本題主要考查數(shù)學建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力 解：（1）由題意得，解得，（6分） （2）魔方增加的表面積為， 由（1）得，令， 則（當且僅當即時等號成立），答：當時，魔方增加的表面積最大為（15分）19設各項均為非負數(shù)的數(shù)列的為前項和（，）（1）求實數(shù)的值；（2）求數(shù)列的通項公式（用表示） （3）證明：當（）時，命題立意：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式、基本不等式等基礎知識，考查靈活運用基本量進行探索求解、推理分析能力解：（1）當時，所以或，（2分） 若，則，取得，即，這與矛盾； 所以，取得，又，故，所以，（4分） （2）記，

8、 則 ， 得 ，又數(shù)列各項均為非負數(shù)，且， 所以，（6分） 則，即， 當或時，也適合， 所以；（10分） （3）因為，所以 ， 又（） 則 （當且僅當時等號成立） （當且僅當時等號成立） 所以.（16分）20（本題滿分16分） 記定義在上的函數(shù)（p，qR）的最大值、最小值分別為M、N，又記（1）當時，求M、N（用p、q表示），并證明；（2）直接寫出的解析式（不需給出演算步驟）；（3）在所有形如題設的函數(shù)中，求出所有這樣的使得的最大值為最小 命題立意：本題主要考查函數(shù)的概念、圖象、性質等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合思想、 分類討論思想進行推理論證的綜合能力解：（1）當時，函數(shù)的對稱軸為， 所以

9、 此時，；（3分） （2）由（1）同理可得，（6分） （3）記，下證：，且，所求函數(shù)，（8分） 若，即時，則， 所以，即；（10分） 若，即時，則， 若時，則， 所以（當且僅當p=0，時等號成立）；（12分） 若時，則， 所以中至少有一個大于，即，（14分） 由得，且，此時，綜上所述，所有形如題設的函數(shù)即為所求.（16分） 試題（附加題）21 B（矩陣與變換）已知矩陣，滿足，求矩陣 命題立意：本題主要考查矩陣的乘法，考查運算求解能力 解：設， 由得（7分） 解得此時.（10分）C（極坐標與參數(shù)方程） 將參數(shù)方程（為參數(shù)，為常數(shù)）化為普通方程（結果可保留） 命題立意：本題主要考查參數(shù)方程，考查運

10、算求解能力 解：當t0時，y0，xcos，即y0，且；（2分） 當t0時， 所以.（10分）22一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中隨機抽取（）件，用表示所抽取的件產(chǎn)品中不合格品的個數(shù)（1）若，求的概率分布；（2）求使的概率取得最大值時的的值（參考數(shù)據(jù)：）命題立意：本題主要考查概率分布等基礎知識，考查運算求解能力 一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中隨機抽?。ǎ┘?，用表示所抽取的件產(chǎn)品中不合格品的個數(shù)（1）若，求的概率分布；（2）求使的概率取得最大值時的的值（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當時， 則，012 所以，的概率分布為： （5分）（2）的概率為，且 （7分） 記函數(shù)， 則由得，由參考數(shù)據(jù)知或， 而， 結合函數(shù)的圖象性質可知，當時，的概率取得最大值（10分）23設等差數(shù)列的首項為1，公差d（），m為數(shù)列中的項（1）若d=3，試判斷的展開式中是否含有常數(shù)項？并說明理由；（2）證明：存在無窮多個d，使得對每一個m，的展開式中均不含常數(shù)項命題立意：本題主要考查二項式定理，考查探究與推理論證的綜合能力 （1）解：因為是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以（2分） 假設的展開式中的第r+1