復(fù)變函數(shù)課件：chapter4 級(jí)數(shù)

1、第四章 級(jí)數(shù) 1 級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)一、復(fù)數(shù)列1.定義復(fù)數(shù)序列和級(jí)數(shù)二、級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 例所以發(fā)散.絕對(duì)收斂與條件收斂定理?xiàng)l件收斂：絕對(duì)收斂： 收斂 求極限.解 例1例2 解 級(jí)數(shù)滿(mǎn)足必要條件, 但例3故原級(jí)數(shù)收斂, 且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例4解函數(shù)序列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在單位圓|z|1時(shí), 內(nèi)閉一致收斂，但不一致收斂.即 證畢. 冪級(jí)數(shù)(Abel定理)收斂圓與收斂半徑級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.除原點(diǎn)外處處發(fā)散.收斂圓收斂半徑收斂圓 在收斂圓周上可能收斂，也可能發(fā)散.注意例如, 以下級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在

2、收斂圓周上處處收斂.收斂半徑的求法方法1: 比值法方法2: 根值法定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)證明：內(nèi)閉一致收斂，魏爾斯特拉斯定理例求收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)或解(1)因?yàn)樗允諗堪霃郊丛?jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散.收斂的級(jí)數(shù) 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)(并討論時(shí)的情形)故收斂半徑例求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑:解解所以例求 的收斂半徑.例把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù), 其中是不相等的復(fù)常數(shù) .解把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式:代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)湊出級(jí)數(shù)收斂,且其和為例 求級(jí)數(shù)的收斂半徑

3、與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以例 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例 計(jì)算解 2 泰勒展式.內(nèi)任意點(diǎn).K.解析函數(shù)的泰勒展式（Cauchy積分公式 ）泰勒級(jí)數(shù)其中解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)式定理設(shè)在圓盤(pán)內(nèi)解析,則對(duì)由柯西不等式,那么即因此, 解析函數(shù)在一點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)是唯一的.問(wèn)題：解析函數(shù)在一點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，展開(kāi)式是否唯一？將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù): 直接法和間接法.1.直接法:計(jì)算系數(shù)例，2. 間接法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.附: 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例1解例2分析如圖,即解例3 解例4解零點(diǎn)零點(diǎn)

4、的判定(1)由于知是的一階零點(diǎn) .練習(xí)是五階零點(diǎn),是二階零點(diǎn).知是的一階零點(diǎn).解 (2)由于答案例 求以下函數(shù)的零點(diǎn)的階:的零點(diǎn)及階數(shù) .求解析函數(shù)的唯一性 解析函數(shù)的唯一性定理上節(jié)回顧 3 洛朗(Laurent)展式負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂解析函數(shù)的洛朗展式收斂半徑R收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:.2. 問(wèn)題:圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)是否能展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)?定理C為環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. （洛朗系數(shù)）證對(duì)于第一個(gè)積分:.z.對(duì)于第二個(gè)積分:C為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 . 可用同一個(gè)式子表示:說(shuō)明: 函

5、數(shù)在給定圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)是唯一的. 將函數(shù)洛朗展開(kāi)的方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開(kāi)法用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .2. 間接展開(kāi)法例1解其中另解解 解例3 12oxy2oxy2. 函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi).例4內(nèi)的洛朗展開(kāi)式. 解 例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).解不是孤立奇點(diǎn).所以孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)1可去奇點(diǎn):1可去奇點(diǎn) 2極點(diǎn) 3本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng) 2. 極點(diǎn): 洛朗級(jí)數(shù)中含有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng)3. 本性奇點(diǎn)：洛朗級(jí)數(shù)中含無(wú)窮多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng) 1.可去奇點(diǎn)：補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析. 如果補(bǔ)充定義:時(shí),那么在解析.例3 中不含負(fù)冪

6、項(xiàng),是的可去奇點(diǎn) . 例4 說(shuō)明為的可去奇點(diǎn).解 所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解 的可去奇點(diǎn).為2. 極點(diǎn) 階極點(diǎn).則稱(chēng)為函數(shù)的例5 有理分式函數(shù)是二階極點(diǎn), 是一階極點(diǎn). 練習(xí)例5 函數(shù)有些什么奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的階.解 函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一階極點(diǎn).即解 所以不是二階極點(diǎn), 而是一階極點(diǎn).是的幾階極點(diǎn)?思考例6 問(wèn)是的二階極點(diǎn)嗎?注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .本性奇點(diǎn)3.例如，含有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 令是的孤立奇點(diǎn).規(guī)定: m階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn) .的可去奇點(diǎn)、m階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),如果 t=0 是是的可去奇點(diǎn)、 則稱(chēng)點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)存在且為有限值不存在且不為無(wú)正冪項(xiàng)無(wú)窮多個(gè)正冪項(xiàng)有限個(gè)正冪項(xiàng) 例10 (1)函數(shù)在圓環(huán)域不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn) .(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且 z 為最高正冪項(xiàng),所以是的1階極點(diǎn).(3)函數(shù)的展開(kāi)式:含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)所以是的本性奇點(diǎn).練習(xí)的奇點(diǎn)及其類(lèi)型.說(shuō)出函數(shù)