【課件】通訊原理-確定信號(hào)分析

1、2.1 引言第二章 確定信號(hào)分析通信系統(tǒng)中利用信號(hào)表示信息和傳送信息. 一般信號(hào)是時(shí)間的函數(shù). 確定信號(hào)是指可以用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào). 實(shí)際載荷信息的各 種信號(hào)是許多信號(hào)的集合體, 并具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. 這種信號(hào)稱 作隨機(jī)信號(hào), 將在第三章研究. 本章研究的確定信號(hào)可以是隨機(jī)信號(hào) 的樣函數(shù)( 實(shí)現(xiàn) )或是載波信號(hào)的數(shù)學(xué)模型.2.2 確定信號(hào)的分類分類方法很多, 例如, 分為周期信號(hào)和非周期信號(hào), 能量信號(hào)與功率 信號(hào), 模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào), 基帶信號(hào)與頻帶信號(hào)等. 本章主要用第一 和第二種分類法.2.2.1 周期信號(hào)定義: 若f(t)=f(t+T) 對(duì)于任何t值成立, 其中T為任一常

2、數(shù), 則稱f(t)為 周期信號(hào),T為其周期.性質(zhì):1) 若T是f(t)的周期,則nT也是f(t)的周期.其中n為任意整數(shù).即:f(t)=f(t+nT)2)s(t)=f(at) 的周期等于T/ac+T T3)f(t)dt = f(t)dt 其中: c為任意常數(shù)c 04) 同周期信號(hào)的和、差、積也是周期信號(hào),且具有同一周期.jx 例如: e =cosx+ jsinx 的周期為22.2.2 能量信號(hào)與功率信號(hào)若 f t 表示在一歐姆電阻上的電壓 V , 則電流i t = f t A , 在電阻上消耗的能量為:2E = ff - t dt , 若Ef 0 , 但 , 則稱 f t 為功率信號(hào).T1 -

3、T12不艱看出周期信號(hào)是功率信號(hào). 非周期不限時(shí)信號(hào)也可能是功率信號(hào) , 例 如, 隨機(jī)噪聲的樣函數(shù) 實(shí)現(xiàn) 等.2.3 周期信號(hào)的三角付立葉級(jí)數(shù)(諧波分析)令f(t)為周期信號(hào),周期為T,且滿足狄里赫利條件*(一般實(shí)際信號(hào)均滿 足),則f(t)可展開為以下級(jí)數(shù):f(t)= a 0 + anco s n0t+ bnsi n n0tn = 1(2.3.1)式中1 c+T: a0 = Tf(t)dt c2 c+Tan = T f(t)co s n0td tcbn= 2c+TTf(t)si n n0td tc2其中: c為常數(shù), 其值可任選. 通常選c=- TT T T1 2 2 2 2 2T則有:

4、a0 = Tf(t)dt T-2an= f(t)co s n0td tT-2bn= Tf(t)si n n0td tT-2*狄里赫利條件為: 在一個(gè)周期內(nèi)f(t)只有有限個(gè)一類不連續(xù)點(diǎn),且可將T分為有限個(gè)區(qū)間,在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)f(t)為單調(diào)函數(shù).令: an cosn0 t+bn sinn0 t=cn cos(n0 t+n ) ; c0 =a0 , 0 = 0則有: f(t)= cn cos(n0 t+n ) (2.3.2 )0由式(2.3.2) 可見,周期信號(hào)展開為許多不同幅度、頻率和相位的正弦信號(hào)之和.這些信號(hào)稱作f(t)的諧波.其中: c0 為直流分量, c1 cos(0 t+1)稱為f(t

5、)的一次諧波(又稱基波) ,c ncos(n0 t+n)稱作f(t)的n次諧波 與的關(guān)系稱作f(t)的幅度-頻率特性,簡稱幅-頻特性,它表示不 同諧波幅度大小與頻率的關(guān)系.n 與的關(guān)系稱作f(t)的相位-頻率特 性,簡稱相-頻特性,它表示不同諧波相位與頻率的關(guān)系.不難看出cn n 僅在=n0 處有值(n=1,2,3, .).因此,C n n 與的關(guān)系是離散的,因此 稱作離散頻譜.(也稱線頻譜).2 譜線間隔為0 = T,T愈大,0愈小,即譜線愈密.2.4.周期信號(hào)的指數(shù)付立葉級(jí)數(shù)1jx-jx 利用歐拉公式cosx= 2 (e +e ) (2.4.1)可以將三角付立葉級(jí)數(shù)化為指數(shù)付立葉級(jí)數(shù).后者

6、分析和計(jì)算比較方便,因此應(yīng)用廣泛. 據(jù)式(2.4.1)有:cn jn jn0t cn-jn -jn0tcncos(n0t+n )= 2e e + 2e e (2.4.2)cn j cn n -jn令: Fn =2 e , F-n = 2 e 且:-n =-n則f(t)可表示為:jn0tf(t)= Fnen = - (-tT/2, 或現(xiàn)以TT1為周期將f(t)延拓為周期信號(hào)F(t)= f(t-n T)n = - t-T/2.其中:n=0, 1,2 ,3,.整數(shù).不難看出,當(dāng)T時(shí), 則在t+ 區(qū)間 F(t)=f(t),即LimitF(t)=f(t) T因此我們可以研究當(dāng)T時(shí),周期信號(hào)F(t)的付立

7、葉級(jí)數(shù)的變化情況.令F(t)滿足狄里赫利條件,則可展開為付立葉級(jí)數(shù):jn0tF(t)= Fnen = - (-t 0 (2.7.2)對(duì)于任意函數(shù)(t),有:b b(t0)若 at0b且(t) 在t=t0 連續(xù)(t)(t-t0)dt = (t)(t0-t)dt =0 若 t (a,b)(2.7.3)a a 0(t)函數(shù)可以看作是某種函數(shù)的極限.例如:h 2 t 1h不艱驗(yàn)證:limith(t) = (t)h - t2又如: (t) =limit 1 e 2 0(t) = limit kkSa(kt)等.2.7.2. (t)的主要性質(zhì)1) t(t)dt = u(t) =- 0t0 (2.7.3)u

8、(t)稱為單位階躍函數(shù).由式(2.7.3)可得:d u(t)dt 2) =(t)(2.7.4)(t)(t-t0)dt = (t)(t0-t)dt = (t0)- - (2.7.5)若(t)在t=t0 點(diǎn)連續(xù).3)(t)的付立葉變換-jt-jt0F (t-t0 ) =(t-t0)e- dt = e即:0 e(t-t ) -jt0 (2.7.6)由此有: (t)1即: 12 ejtd = (t)- (2.7.7)4) ej0te -j0t2(-0 )2(+0 ) (2.7.8)取式( )右邊式的付立葉反變換即可證明其成立.-11 jtj0tF 2(-0)= 2 2 ( - 0)e- d = ejt

9、-1 1 -j tF 2(+ 0)=2 2 ( + 0)ed = e 0- 5) 若 (t) 在t=t 0 存在n階導(dǎo)數(shù), 則:(t)(n)(t-t )dt = (- 1 )n(n)(t )( 2.7.9)0 0- 由式(2.7.9)可得:(t)/ (t-t )dt = -/ (t )(2.7.10)0 0- 2.8功率信號(hào)的付立葉變換按照經(jīng)典數(shù)學(xué)函數(shù)的定義,功率信號(hào)的付立葉變換是不存在的,但如 果擴(kuò)大函數(shù)定義范圍,引入廣義函數(shù)(t),則可以求得功率信號(hào)的付立 葉變換.以下求一些主要功率信號(hào)的付立葉變換.2.8.1. 常數(shù) Ajt先看()的付立葉反變換:-1 1 1F ()=2 ( )ed =

10、 2 ()- 由此可得:2.A 2A()(2.8.1)cos0t? sin0 t ?jx -jx 1jx-jx 根據(jù)公式: cosx= 1 (e + e ) , sinx= (e - e ) 及式(2.7.8)2 2j可得:cos0t(-0)+(+0 ) (2.8.2)sin0 t (-0 ) -(+0)(2.8.3)j2.周期信號(hào)的付立葉變換令f(t)為周期信號(hào),周期為T,且滿足狄列赫利條件,則可展開為付立葉級(jí) 數(shù):jn0t 2f(t) = Fnen = - 其中: 0 = TT1 2 -jn0tFn =T-T f(t)edt 2jn0tf(t) 的付立葉變換為:F f(t) = F Fne

11、 =7n = - jn0t= Fn F en = - = 2 Fn( -n0 ) ( 2 .8 .4 )n = - 2 即周期信號(hào)的付立葉變換(頻譜密度)為一沖激序列,間隔為0 = T ,強(qiáng)度決定于相應(yīng)的付立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) Fn .式(2.8.4)可以化為便于計(jì)算的另一種形式. 令:g(t)=f(t) t T20 t為其他值即g(t)是f(t)的一個(gè)周期又令: g(t) G(), 則有:T 2G() = g(t)e-jtdt = f(t)e-jtd t- -T2由此可得:1Fn = TG(n0 ) (2.8.5)將式(2.8.5)代入式(2.8.4) 得:TF() =2 G(n0)( -n0)n

12、 = - (2.8.6)例 2.8.1 求周期矩形脈沖序列的付立葉變換(頻譜密度)f(t) = g(t-nT )- T1其中: g(t) =A t 20 t 為其他值解: 先求g(t) 的頻譜密度G ()T1T1 2 si n( )1G () =g(t)e-jtdt = A e-jtdt = AT 2 T1= AT S ( )- -T12T121 a 2將此式代入式(2.8.6)得:F() = A T0 S a(n = - n0T12)( -n0)(2.8.7)其中:2 0 = T由式(2.8.7)可見,周期信號(hào)的頻譜密度是一沖激序列.沖激的間隔為2 0 =T 與周期T成反比;沖激強(qiáng)度的分布規(guī)

13、律決定于單個(gè)脈沖g(t)的2 T頻譜密度G();其主要分量集中在=0到1之間.1T之間,即在頻率f =0到1例2.求周期單位沖激T序列T (t)的頻譜密度T(t) =令:(t-nT )n = - T(t)T( ) ; 則據(jù)式(2 . 8 . 6) 有:T( ) =2 F (t) T( - n0 ) =n = - = n0因: F (t) = 1 , 則得:= 2 ( - n) = ( - n) (2. 8 . 8 )T n = - 0 0 0n = - 圖 2.2. 8. 4 符號(hào)函數(shù)的付立葉變換 符號(hào)函數(shù)Sg n(t) 定義為:Sg n(t) =1t0 0 t = 0-1 t 0 u t =

14、 12t = 0可表示為: u t = 12+ 1 Sgn t 由此有:20t0 F u t = 1 F 1 + 1 F Sgn t = + 12 2 j即: u t + 1j2.8.6.一些常見信號(hào)的付立葉變換(表2.2)2.9.能量譜密度與功率譜密度2.9.1能量譜密度令:f(t) 為實(shí)能量信號(hào),且 f(t) F ()2 1 jt則 f(t)的能量Ef = f- (t)dt =- f t 2 - F eddt = 1 jt1 *2 - F - f t ed t d =2 - F F d = 1 2 22 - F d =- F 2 fdf 即 21 2- ft dt =2 - F d 2.

15、9. 1式 (2.9.1) 稱作帕色瓦爾定理.通常令:E = F 2 或 E 2 f = F 2 f 2稱為f(t) 的 能量譜密度. 由此有:1 2Ef = ft dt =2 E d = E 2 f df 2. 9. 2- - - 由式 (2.9.2) 可看出E()是單位帶寬中的信號(hào)能量與角頻率 的關(guān)系,故稱其為能量譜密度. 由于E () 存在于(-0 00 (2.9.3)2.9.2.功率譜密度 T21 2令功率信號(hào)f (t)的平均功率為Pf =lim i t T ft dt = f 2 t-T其中 表示時(shí)間平均 T 2f t t T取 f(t) 的短截: f T t =令 f T t FT

16、 20 其他 t顯然f T t為能量信號(hào), 其能量為:2ET = f T2- 1t dt = FT - 2 d(根據(jù)帕色瓦爾定理)f (t) 的平均功率可表示為: 2ET 12 1 FT Pf = lim i t T = lim i t T 2 FT d = lim i t 2T d =T T - 令:2FT P = lim i tT(2.9.4)T - T 如果此極限在,則稱其為f(t) 的功率譜密度 .由此得到:1 Pf =2P d = P 2f df 2. 9. 5- - 由式(2.9.5) 可見,P( )表示單位帶寬中f(t)的平均功率與的關(guān)系,故稱其為f(t) 的功率譜密度 . 由于

17、P() 存在于(- 00 02. 9. 6信號(hào)f(t) 的功率Pf 可表示為:1 Pf =2B d = B 2 f df 2. 9. 70 02.9.3. 信號(hào)帶寬信號(hào)帶寬是指信號(hào)的能量或功率的主要部分集中的頻率范圍。若 信號(hào)的主要能量或功率集中在零頻率附近則稱這種信號(hào)為基帶信號(hào). 若信號(hào)的能量或功率集中在某一載波頻率附近，則稱此類信號(hào)為頻帶信號(hào).這里介紹幾種常見的定義信號(hào)帶寬的方法：1) 根據(jù)占總能量和總功率的比例如0.9,0.95或0.99等確定信號(hào)帶 寬.設(shè)信號(hào)帶寬為B赫,則根據(jù)所占的百分?jǐn)?shù)可列出等式:B2E 2fdf 0或 ( 對(duì)于能量等信號(hào) )2. 9. 8E = 90 %95 %

18、, 9 9 %B2P 2fdf 0Pf= 90 % 或 95 % ,9 9 %2. 9. 9( 對(duì)于功率信號(hào) )2) 若E( )或 P() 在0頻率處最大,則可以將E( )或 P()值下降到3db (半功率點(diǎn))的頻率定為信號(hào)帶寬.即:3) 等E效2矩B形=B或, 其P定2義B為=:E 0 P 02帶寬22. 9. 1 0E 2fdf B = - 2. 9. 1 12E 0- P 2fdf B = 2 P 02. 9. 1 22.10. 確定信號(hào)的相關(guān)函數(shù)2.10.1. 定義:令 f1(t) , f2(t) 為能量信號(hào),一般情況可以是時(shí)間的復(fù)函數(shù). 稱:*R12 = f 1- t f 2 t+

19、dt 2. 10 . 1為f1(t) 和 f2(t) 的互相關(guān)函數(shù).令 f1(t) , f2(t) 為功率信號(hào), 則稱:T1 2*R12 = lim i t T f 1t f 2t+ dt 2. 10 . 2T -T為f1(t) 和 f2(t) 的互2相關(guān)函數(shù).若 f1(t) 和 f2(t) 為周期信號(hào)( 周期為T ), 則有:T*1 2若R12 =T f 1 t f 2 t+ dt 2. 10 . 3:-T2若 f 1 t = f 2 t = f t , 則稱T2R = lim i t 1 f * t f t+ dt 2. 10 . 4T -T2為 f t 的自相關(guān)函數(shù).對(duì)于能量信號(hào),自相關(guān)

20、函數(shù)的定義為:R = f * t f t- dt 2. 10 . 5- 對(duì)于實(shí)信號(hào),上述公式中去掉共軛符號(hào)*.舊一化相關(guān)函數(shù)的定義為:R12 r12 =21R1 R2 2. 10 . 62.10.2. 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1221 1 R = R* -2 r12 13 R = R* -4 R R 05 能量信號(hào)的能量 E = R 0 , 功率信號(hào)的平均功率P = R 06)周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是周期 函數(shù),且周期與信號(hào)周期相等.下面我們對(duì)于實(shí)信號(hào)證明此性質(zhì).(對(duì)于復(fù)信號(hào)用類似方法也可證明)令 f (t )為實(shí)周期信號(hào),周期等于T . 可將其展為付立葉級(jí)數(shù):nf t = F ejn0tn = - 2-

21、 t 其中: 0 = Tf t 的自相關(guān)函數(shù)為:T2R = 1 f t f t+ dt =T -T2T T2 2n= 1 F ejn0tjm0 t+F e dt =mFnjm0 1Fm ej0 n+m tT -T n m2T2n m T -Tedt 2考慮到 1 ej0 n+m t dt = 1 m = -nT -T20 m -n以及對(duì)實(shí)信號(hào)有:F* = F可得到:n -n2 jn0R = Fn en = - - 2. 10 . 72由式 2. 10 . 7可看出, R 是周期為T 的周期函數(shù). (注意到: 0 = T )2.10.3. 相關(guān)函數(shù)與能量(功率)譜密度的關(guān)系1) 能量信號(hào)的自相關(guān)

22、函數(shù)與其能量譜密度互為付立葉變換.即:R E = F 2 2. 10 . 8證: 令 f t 為能量信號(hào), 且: f t F 根據(jù)定義有: R = f * t f t+ dt = f * t 1F ej t+ d dt =- - 2 - = 1 f * t ejtdt F ejd = 1 F* F ejd =2 - - 2 - = 1 F 2 ejd = 1 E ejd 證畢.2 - 2 - 2) 功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度互為付立葉變換. 即:R P 2. 10 . 9證: 令f (t ) 為功率信號(hào),取其短截:f t , t Tf T t =20 t 為其他值令 fT t FT 顯

23、然 fT(t)是能量信號(hào),令其自相關(guān)函數(shù)為RT 2則有：RT FT 據(jù)定義f(t)的自相關(guān)函數(shù)為:T2 TR = lim i t 1 f * t f t+ dt = lim i t 1 f *t f Tt+ dt =T-TT 2T - T = lim i tRT TT 2己知: RT FT 由此有:RT 2FT lim i tT lim i tT R P 證畢.T T 利用式(2.10.8) 和式(2.10.9)可根據(jù)巳知的相關(guān)函數(shù)求出相應(yīng)的 能量譜密度或功率譜密度.例 2.10.1求周期信號(hào)的功率譜密度2 ejn0 又有: R P 解:由式(2.10.7) 有 :則:R = Fnn = -

24、nP = F R = F Fnn = - 2 ejn0= Fnn = - 2 F ejn00已知: F ejn0 = 2 - n得到:R = 2 Fn2 - n 0 2. 10 . 1 0n = - 2.10.4.定義:互能量譜密度和互功率譜密度令 f1(t) 和 f2(t) 為能量信號(hào),且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12 (), 稱R12 ()的付立葉變換為f1(t) 和 f2(t) 的互能量譜密度, 以E12() 表示之.即: R12 ()E12()(2.10.11)性質(zhì):令f1(t) F1() , f2(t) F2( ) 則有:*E12() = F1 () F2()(2.10.12)證: F R

25、12 = f 1 t f 2 t+ dt ed =*j- - -j11 f 2 t+ e- - d dt = f *jt- t F2 edt =1= F * F 2證畢.定義:令f1(t) 和 f2(t)為功率信號(hào), 且它們的互相關(guān)函數(shù)為R12(),稱R12 ()的付立葉變換為f1(t) 和f2(t) 的互功率譜密度,以P12() 表示之.即: R12()P12( ) (2.10.13)-jP12 = R12 e d- 2.11. 卷積積分2.11.1. 卷積積分的定義令有函數(shù)f1(t) 和 f2(t) ,稱積分f 1 f 2 t- d- 為f1(t) 和 f2(t)的卷 積積 分 , 簡 稱

26、 卷 積 , 通 常以 f 1 t f 2 t表示.即:f 1 t f 2 t= f 1 f 2 t- d2. 11 . 1- 式中為積分變量, 由于定積分值與積分變量符號(hào)無關(guān), 所以式2. 11 . 1中的積分變量可用任何符號(hào)表示,例如:2.11.2. 卷積的性質(zhì)1) 交換律:f1(t) f2(t) = f2(t) f1(t)2) 分配律: , , 等.f1(t) 3) 結(jié)合律:f2(t)+ f3(t) = f1(t) f2(t)+ f1(t) f3(t)f1(t) f2(t) f3(t) =f1(t) f2(t) f3(t)4) 卷積的微分:df 1 t f 2 t / /dt = f 1

27、 t f 2 t = f 1 t f 2 t2.11.3. 卷積定理1) 時(shí)域卷積定理令: f1(t) F1( ), f2 (t) F2 ()則有:f 1 t f 2 t F 1 F 2 2. 11 . 2證: F ft f t =f f-jt- d e-jt dt =-jt1 2 1 2- - = f 1 - f 2 t- e- dt d = f 1- F2 ed = F1 F2 證畢.2) 頻域卷積定理令:f 1 t F1 ; f 2 t F2 則:1f 1 t f2 t證:F -1 12 F1 F 2 2. 11 . 32 F1 F2 = 1= 1 2 Fu F2 - u du ejt

28、d =2 - - 12= F1- 1u 1 F22 - - u ejt d d u =21= F1u f2t eju t du = ft 1 Fu eju t du = f1t f2 t2 - 2 - 證畢.2.11.4.函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積由定義和(t)的性質(zhì)可得到下列各式:f t t = f t - d = f t- f t - t1 t - t2 = f t - t1 - t2 t - t1 t - t2 = t - t1 - t2相似地,在頻域中有類似的關(guān)系:F - 0= F - 0F - 1 - 2= F - 1 - 2 - 1 - 2= - 1 - 22. 11 . 42. 1

29、1 . 52. 11 . 62. 11 . 72. 11 . 82. 11 . 9卷積定理和式2. 11 . 4 到式2. 11 . 9 在信號(hào)分析中很有用.2.12. 確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)(濾波)通信系統(tǒng)由許多部份組成,例如,天線,放大器,信道和調(diào)制解調(diào)器 等.其中一些部份可看作是線性系統(tǒng).例如,信道,放大器,濾波器等.本節(jié) 研究確定信號(hào)通過線性系統(tǒng).并限于研究具有一個(gè)輸入端和一個(gè)輸出 端的系統(tǒng) .x(t) L y(t)一個(gè)輸入信號(hào)x (t),對(duì)應(yīng)有一個(gè)確定的輸出信號(hào)y(t).將x (t)變換 為y(t)的運(yùn)算,數(shù)學(xué)上稱為算子,以 L 表示.則可表示為:y(t) = L x(t) (2.12

30、.1)2.12.1. 線性算子與線性系統(tǒng)令: yi(t) = L xi(t) i = 1,2,3.若系統(tǒng)算子滿足以下關(guān)系:y (t)= L ci xi(t) = ci Lxi (t) =ci yi (t) (2.12.2)i i i其中: ci 為任意常數(shù), i = 1,2,3,.則稱此算子為線性算子,相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),式(2.12.2) 稱為疊 加原理.其表述為:系統(tǒng)輸入線性和的響應(yīng)等于響應(yīng)的線性和.如前所述,任意信號(hào)x(t) 可以表示為:x t = x t - d = x t t- 對(duì)于線性算子, 有: y t = L x t = Lx t - d = x L t - d - - 令

31、: L t - = h t, , 稱作系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng), 得到:y t = x h t, d - 若系統(tǒng)滿足 L t - = h t - , 2. 12 . 3則稱系統(tǒng)為時(shí)不變線性系統(tǒng)或稱恒參線性系統(tǒng).本節(jié)僅研究時(shí)不變(恒參)線性系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為:h(t) = L (t)由此對(duì)于恒參線性系統(tǒng)有:y t = x h t - d - 2. 12 . 42. 12 . 5或?qū)憺?y t = x t h t2. 12 . 6式 (2.12.6) 是恒參線性系統(tǒng)時(shí)域的重要關(guān)系式,它通過系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將系統(tǒng)的輸入和輸出聯(lián)系起來.通過時(shí)域卷積定理,可將輸入與輸出在頻域的關(guān)系表示出.令: x t

32、x , y t y , h t H 據(jù)式 2. 12 . 6 有:x t h t y , x t h t x H 由此得:y = x H 2. 12 . 7式 2. 12 . 7是系統(tǒng)輸入輸出的頻域關(guān)系式.即輸出的頻譜密度等于輸入的頻譜密度乘以H ( ). H = y x 是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的付立葉變換,稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù),一般它是 的復(fù)函數(shù),可表示為:H = H ej 2. 12 . 8H 稱作系統(tǒng)的幅度-頻率特性,簡稱幅-頻特性; 稱作相位-頻率特性,簡稱相-頻特性.它們反映正弦信號(hào)通過線性系統(tǒng)后幅度和相位 的變化與頻率的關(guān)系.2.12.2.信號(hào)不失真的條件 信號(hào)通過線性系統(tǒng)會(huì)引起變化.從

33、傳送信息的角度考慮,重要的是信號(hào)波形的變化.我們認(rèn)為信號(hào)波形大小和時(shí)延的變化不影響信號(hào)所帶的信息.因此我們定義通過線性系統(tǒng)信號(hào)不失真的條件為:y t = k x t - 其中: k , 均為常數(shù), 可取任意值.x t 和 y t 是系統(tǒng)的輸入和輸出.2. 12 . 9由式 2. 12 . 9可得出系統(tǒng)的沖激響應(yīng):h t = k t - 式 2. 12 . 1 0 是信號(hào)不失真的時(shí)域的充分條件.2. 12 . 1 0在頻域有:H h t , H k t - H = k t - e-jtdt = k e-j - 2. 12 . 1 1- 式 2. 12 . 1 1是信號(hào)不失真的頻域的充分條件.式

34、(2.12.11)還可從關(guān)系式kx e-j H = y x 直接得到:H =-j = k ex 滿足信號(hào)不失真條件的系統(tǒng)稱作理想系統(tǒng).由式(2.12.11)可知: 理想系統(tǒng)的 幅-頻特性為一常數(shù) k , 即:H = K - 2. 12 . 1 2而 相-頻特性為: = - - 0 -1 0 為0 0 j 0 域相移 -2在 0 域相移2 在 0 0 0 2F 0 即: F Z * = 2F u - 2. 14 . 6證 : 己知 Z * t = f t - jf t , F Z* t = F - j F = F 1- Sgn = 2F u - 6. 令 Z 1 t 和 Z 2 t 為解析信號(hào),

35、 則有:1 2Zt Z t = 0; Z 1 t Z2 t = 0 .證畢.2. 14 . 72. 14 . 82證: Z 1 t Z 1 =2 F 1 u Z *t 2 F 2 u - 根據(jù)卷積定理有:1 2 1 2Z t Z * t 2 F u 2 F u - = 0由此得到:同理可以證明:*Z 1 t Z 2Z *t = 0 證畢.1 t Z 2 t = 0 .7. 解析信號(hào)的能量等于實(shí)信號(hào)能量的二倍. E Z = Z t2d t = f t +jf t f t -jf t d t =- - 2. 14 . 9f= f 2 t + f 2 t dt = 2f 2 t dt = 2E- -

36、 考慮到:f t f t dt = 0 和f 2 t dt = f 2 t dt - - - e例2.14.1. 確定j 0 t是否是解析信號(hào).j 0 te = co s 0t + j si n 0 t因其虛部為其實(shí)部的希爾伯特變換,所以它是解析信號(hào).也可在頻域驗(yàn)證:co s 0 t + 0 + - 0e j 0 t2 - 0因 e j 0 t的付立葉變換是其實(shí)部 的付立葉變換正頻率部份的兩倍 ,故是解析信號(hào).一般講,若復(fù)信號(hào)的付立葉變換在 2 w則稱此頻帶信號(hào)為窄帶信號(hào).在無線通信系統(tǒng)中通常滿足窄帶條件.利用解析信號(hào)表示頻帶信號(hào)(特別是窄帶信號(hào))很便于對(duì)頻帶信號(hào)的 分析.令 f t為頻帶信號(hào)

37、, 且f t F 其解析信號(hào)為:Z t = f t + j f tZ = 2F u 的圖形如圖2. 15 . 2所示.Z 2A0c- wc c+ w 圖 2. 15 . 2解析信號(hào)的頻譜密度 -j c t令: f t = Z t ef t F c c c則有: = Z + = 2 F + u + F 的圖形示于圖 2. 15 . 3 .F 2A2. 15 . 22. 15 . 3- w圖 2. 15 . 30 w 復(fù)包絡(luò)的頻譜密度j c t在式 2. 15 . 2兩邊乘以 e可得:f tZ t = ej c t2. 15 . 4f t 稱為 Z t的復(fù)包絡(luò),j c t Z te 稱為的復(fù)載波.

38、由圖2. 15 . 3可見: 頻帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò) f t是復(fù)基帶信號(hào).令 f t = f c t + j f s t2. 15 . 5顯然 ,f c t和 f s t都是實(shí)基帶信號(hào).由解析信號(hào)性質(zhì)有:f t = Re Z t = Re f t ej c t = Re f c t + j f s t co s c t +j si n c t = Re f c t co s c t - f s t si n c t + j f c t si n c t +j f s t co s c t = f c t co s c t - f s t si n c t 2. 15 . 6式 2. 15 . 6 中

39、co s c t 稱作f t 的載波; f c t 稱作同相分量; f s t 稱作正交 分量.復(fù)包絡(luò)還可以表示為:f t = a t ej t 2. 15 . 7其中：a t 和 t均為實(shí)基帶信號(hào).將式 2. 15 . 7帶入式2. 15 . 4 .j c t + t 2. 15 . 8得： Z t = a t e = a t co s c t + t + j si n c t + t由 f t = Re Z t 得:f t = a t co s c t + t2. 15 . 9式 2. 15 . 9 中a t 稱作 f t的包絡(luò); t 稱作 f t的相位;c 稱作 f t的載波角頻率 .式

40、 2. 15 . 6 和式2. 15 . 9是頻帶信號(hào)的常用的表示式.由式 2. 15 . 7 和 式2. 15 . 9可見: 復(fù)包絡(luò) f t包含了 f t的除載波頻率以外的全部信息.由式 f t = a t co s c t + t = a t co s t co s c t - a t si n t si n c t和式 2. 15 . 6可得到同相分量、正交分量與包絡(luò)和相位的關(guān)系:f c t = a t co s t f s t = a t si n t2. 15 . 1 02. 15 . 1 1csa t = f 2t + f 2 t f s t2. 15 . 1 2 t = ar c

41、 t gf c t2. 15 . 1 3例 2.15.1.令 m t即其帶寬為w .為基帶信號(hào), 其頻譜密度M 如圖2. 15 . 4所示.1) 確定j 0 tS t = m t e是解析信號(hào)的條件 ;2) 求m t co s 0 t的希爾伯特變換 .j 0 t S 解: 確定S t = m t e 是否是解析信號(hào), 應(yīng)看其頻譜密度 是否只在正頻率域有值, 即:S = S 00 0. 由 :S = M - 0可知只有當(dāng)w 0時(shí) 才能滿足此條件 見j 0 t圖 2. 15 . 5 即 w 0時(shí) S t = m t e是解析信號(hào), 否則不是.j 0 t S t又知 S t = m t e= m t

42、 co s 0 t + j m t si n 0 t, 若 為解析信號(hào)則其虛部為其實(shí)部的希爾伯特變換.因此若H m t co s 0 t = m t si n 0 tw 0, 則有:由此例可見: 窄帶信號(hào)均滿足以上條件,因而具有上 述性質(zhì).M - W 0 W 圖 2. 15 . 4基帶信號(hào) m tS 的頻譜密度j 0 t0 0 W0 + W 圖2.15.2. 帶通系統(tǒng)2. 15 . 5復(fù)信號(hào)S t = m t e的頻譜密度1) 定義: 若系統(tǒng)的通頻帶位于某一頻率附近, 即其傳遞函數(shù)如圖2. 15 . 6所示, 則稱 系統(tǒng)為帶通系統(tǒng).H 0W 0 0 +W0 0 W0 0 +W 圖2. 15 .

43、 6帶通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若帶通系統(tǒng)的帶寬遠(yuǎn)小于其中心頻率, 即 2W 0或表為:0 00 0-j 0 t 1為單位階躍函數(shù).令: hL t =2 Z t e2 Z + 0 = H + 0 u + 02. 15 . 1 4令: HL = H + 0u + 02. 15 . 1 5有:hL tHL hL t HL 稱作帶通系統(tǒng)的等效低通單位沖激響應(yīng) . 稱作帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù).2. 15 . 1 6H 和HL 的圖形示于 圖2. 15 . 7 和 圖2. 15 . 8 .H 00 0 圖 2. 15 . 7帶通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)HL 圖 2. 15 . 80 帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)由圖 2.

44、 15 . 8可見, 帶通系統(tǒng)的等效低通傳遞函數(shù)是低通型的.因此其付立葉反變換即帶通系統(tǒng)的等效低通單位沖激響應(yīng)是基帶型的.3) 頻帶信號(hào)通過帶通系統(tǒng)分析令 x t為頻帶信號(hào);且 x t X ,帶通系統(tǒng)的特性為h t H 求 x t通過此帶通系統(tǒng)的響應(yīng) y t, 令 y t Y .此問題可用一般方法解決:y t = x t h t 或Y = X H 但對(duì)帶通系統(tǒng)此法比較繁瑣. 利用頻帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò)和帶通系統(tǒng)的等 效低通特性可以使分析簡化.下面介紹此法:由式 又知:L2. 15 . 1 4可得到:t e +LZ t = 2 h L t ej 0 t2. 15 . 1 7h t = 12令:Z t + Z* t = hj 0 th t ej 0 t *2. 15 . 1 8 j 0 tZ 1 t = x t + j x t = x t e2. 15 . 1 9 j 0 tZ 2 t = y t + j y t = y t e由解析信號(hào)的定義和性質(zhì), 有:2. 15 . 2 0 x t = 1211Z t + Z *t = 12x t e + x t ej 0