合情推理──歸納推理

1、合情推理歸納推理的評課朱輝華師：我們知道，“推理”活動對于人們認(rèn)知客觀世界和改造客觀世界而言，具有非常重要的意義。所以我們有必要對“推理”的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行較深入的學(xué)習(xí)和加強。雖然，以古希臘為代表的西方數(shù)學(xué)在“推理”方面具有明顯的特點與優(yōu)勢，但中國古代也產(chǎn)生了大量的、擅長“推理”的“專家”?，F(xiàn)在請大家觀看一段視頻，并且在觀看的同時思考一個問題：即里面所涉及的主要人物是怎樣對面臨的問題進(jìn)行推理的？下面的視頻是三國演義中有關(guān)“草船借箭”的視頻，主要演示當(dāng)晚江中兩軍對峙的若干場景以及曹操面對“敵軍忽至”的應(yīng)對策略，時間為1分20秒。師：視頻中顯示的主人公是誰呀？生：曹操！師：那“草船借箭”真正的主人公是

2、誰？生：諸葛亮！師：俗話說的好：三個臭皮匠，頂個諸葛亮，下面我們來分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保證能借到“箭”呢？有什么理由？生：因為曹操性格是多疑的，他懷疑有埋伏，老師和學(xué)生一起進(jìn)一步分析，得到：師：由上可見，諸葛亮顯然是一個善于利用推理的“專家”。象這種利用幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這就是我們前面所講的“推理”。教師下面介紹了“推理”的概念。并利用如下的“思考1”讓學(xué)生學(xué)習(xí)了“推理”與“合情推理”的分類，引出了本節(jié)課的主題歸納推理。思考1：試根據(jù)以下前提進(jìn)行猜想。由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電由三角形內(nèi)角和為180，凸四邊形內(nèi)角和為360，凸五邊形內(nèi)角和為540。地球上

3、有生命，火星具有一些與地球類似的特征。因為所有人都會死，而蘇格拉底是人。師：我們通過“思考1”的前面兩個小題與屏幕上的兩種推理（注：這里略去）能不能總結(jié)出“歸納推理”的某些特征。生：很好！我們可以借此得到歸納推理的概念。即由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。這里面哪些是關(guān)鍵詞？生：部分對象，全部對象，個別事實，一般結(jié)論。師：很不錯！事實上歸納推理即為由部分到整體，由個別到一般的推理。這種推理在生活及學(xué)習(xí)中極為常見。大家能不能分組討論一下，得到一些例子？學(xué)生積極參與了討論，也得到了一些生活以及學(xué)

4、科上的例子，如市場的菜漲價問題、用樣本去估計總體以及化學(xué)中酸與堿反應(yīng)問題等等。師：實際上，在近代有得多著名科學(xué)猜想。如費馬大、小定理、費馬素數(shù)猜想、黎曼猜想、四色定理以及角俗猜想等等都與歸納推理有著千絲萬縷的關(guān)系。我們不妨看一下下面的“哥德巴赫猜想”。對于等式：3710,31720,131730，哥德巴赫經(jīng)過觀察沒有得到有用的結(jié)果，后經(jīng)過“局部整容”，即改變數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)方式：1037,20317,301317，他發(fā)現(xiàn)這些偶數(shù)能拆成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。通過更多特例的檢驗，從6開始，沒有出現(xiàn)反例，于是他就大膽猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)的和，即可以表示成，這個猜想被譽為“數(shù)學(xué)皇冠上的

5、明珠”。是“明珠”，大家都想要，我國數(shù)學(xué)家王元、陳景潤等都在此問題上作出了杰出的成績，其中后者更最接近“明珠”的結(jié)論，即。在學(xué)生對此猜想進(jìn)行若干嘗試之后，教師結(jié)合相應(yīng)軟件對猜想進(jìn)行了實例展析。師：我們從“哥德巴赫猜想”的產(chǎn)生與嘗試解決的歷程，可以學(xué)到什么？生：首先應(yīng)大膽猜想；其次是在必要時應(yīng)改變數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)形式。生：還有，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)抓住機遇并反復(fù)嘗試，才能對事物的內(nèi)部規(guī)律有所發(fā)現(xiàn)。師：很漂亮！另外，哥德巴赫猜想是否正確？（學(xué)生表示未加以完全證明之前，不能說其是正確的）那就說明通過歸納推理得到的結(jié)論是生：可能是正確的，也可能是不正確的！師：哥德巴赫猜想、四色定理、牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力以及門捷列

6、夫發(fā)現(xiàn)元素周期律等等充分說明應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論！用一個成語表示，就是“一葉知秋”，即通過一些具體的、有限的事例能夠推知一般的規(guī)律。下面的同學(xué)發(fā)會心的微笑。師：下面請同學(xué)們運用剛才所學(xué)的知識解決如下題組一的有關(guān)問題。對于數(shù)列由此你猜想出第個數(shù)是_。觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論：_。，對任意的正整數(shù)，猜想與的大小關(guān)系。學(xué)生對于前面兩個小題的解決不成問題，而有相當(dāng)多的同學(xué)對于最后一個問題卻產(chǎn)生了錯誤，即認(rèn)為：對于，總有。針對這種情況，教師先與同學(xué)們一起進(jìn)行驗證，結(jié)果同學(xué)們終于發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論存在著問題。教師隨之利用幾何畫板軟件對這兩種函數(shù)的圖像進(jìn)行了比較，得到了正確的結(jié)論。師：我們也

7、可以在數(shù)學(xué)史上找到一些利用歸納推理而導(dǎo)致錯誤的例子，如著名的費馬素數(shù)猜想。于是，教師向同學(xué)們介紹了費馬素數(shù)猜想的起源與解決過程以及希爾伯特的“23個問題”等猜想對數(shù)學(xué)發(fā)展的重大促進(jìn)作用。并與同學(xué)們一起總結(jié)了歸納推理的基本過程與若干特點。師：雖然歸納推理具有從特殊到一般以及創(chuàng)造性的特點，但由于其還具有或然性的特點，所以著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞先生說過：“合情推理是冒險的，有爭議的和暫時的”。那么現(xiàn)在有一個重大的問題：既然歸納推理有這樣的“先天不足”，那么我們還有必要經(jīng)常使用它來分析問題，甚至于解決問題嗎？生：我認(rèn)為有必要，因為雖然它有缺點，但也具有鮮明的特點，即具有創(chuàng)造性，我們能夠運用它發(fā)現(xiàn)出一些

8、對我們有用的、隱藏于內(nèi)部的規(guī)律！這時候，另有同學(xué)插嘴說：“人都有缺點，何況是一種數(shù)學(xué)推理方法呢！我人；較要忍受它的缺點，發(fā)揚它的優(yōu)點！”同學(xué)們發(fā)出一陣歡笑。師：由于歸納推理的結(jié)果是帶有或然性的，我們可以用一句著名的廣告語，即生：（異口同聲）一切皆有可能！然后教師讓同學(xué)們獨立思考、分析題組二（這里略去），強調(diào)數(shù)列通項公式的猜想應(yīng)注意各項之間的共同特征以及項與序號之間的關(guān)系；再師生結(jié)合幾何畫板軟件討論、分析了有關(guān)吳文俊教授與“機器證明”的有關(guān)史實。師：以前我們大多數(shù)同學(xué)都接觸過“河內(nèi)塔游戲”，現(xiàn)在請大家閱讀之后，思考一下怎樣通過歸納推理來分析這一問題。（“河內(nèi)塔”問題在此略去，詳見人教版選修12頁

9、）同學(xué)們比較熟練地分別解決了1至3個金屬片的移動次數(shù)問題。師：我們不但應(yīng)進(jìn)行數(shù)值上的歸納，而且也應(yīng)該進(jìn)行數(shù)學(xué)方法上的歸納。那現(xiàn)在我們分別考慮一下2個金屬片移動與1個金屬片移動、3個金屬片移動與2個金屬片移動之間存在著何種聯(lián)系？結(jié)合游戲軟件讓同學(xué)們動手操作，在解決了4個金屬片移動的問題后，通過教師的引導(dǎo)，同學(xué)們歸納出：移動個金屬片的任務(wù)，可以轉(zhuǎn)化成移動兩次個金屬片和移動一次第個金屬片的任務(wù)，即，并且歸納得出。師：這個結(jié)論是我們猜想的結(jié)果，是不是正確的？能不能通過上面的分析過程加以證明呢？生：可以通過遞推公式加以證明。教師與同學(xué)們不約而同地鼓起掌來，然后大家對這個游戲的操作與推理過程進(jìn)行了數(shù)學(xué)思想

10、方法層面上的總結(jié)，強調(diào)了轉(zhuǎn)化與歸納思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。最后，師生對這節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行了相應(yīng)地梳理，教師布置作業(yè)也正好下課了。對這節(jié)新授課教學(xué)的若干分析1本案例從教學(xué)設(shè)計上看，案例構(gòu)思合乎新課程理念，頗具匠心新課標(biāo)指出：“教材中素材的選取，首先要有助于反映相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，充分考慮學(xué)生的心理特征和認(rèn)識水平”。正是基于這種理念，并考慮到數(shù)學(xué)推理在日常生活、軍事政治等方面的廣泛應(yīng)用，本節(jié)課采用了同學(xué)們耳熟能詳?shù)娜龂萘x中“草船借箭”視頻，并且精心選取、合成了能反映人物心理變化與戰(zhàn)場實景的片斷。這種素材不僅緊扣本節(jié)課的主題，引出了“推理”的數(shù)學(xué)概念，

11、而且極大的調(diào)動了學(xué)生的注意力與積極性，取得了良好的效果。其次，由于“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理”，所以在本節(jié)課的授課過程中，教師“因地制宜”地、非常貼切地利用“局部整容”、“一葉知秋”以及“一切皆有可能”等比喻來展示所對應(yīng)的數(shù)學(xué)的特征或其形式的變化特點。這種設(shè)計使得原本讓人感覺生澀、抽象的數(shù)學(xué)變得較為淺顯易懂，并且在形式上呈現(xiàn)出幽默風(fēng)趣、言簡意賅的物色，使“數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”，這從現(xiàn)場學(xué)生的反應(yīng)情況以及筆者課后的調(diào)查情況中得到了充分映證。另外，“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不單獨設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中”。顯而易見

12、，本節(jié)課不僅在具體內(nèi)容上把哥德巴赫猜想、費馬素數(shù)猜想以及“河內(nèi)塔游戲”等數(shù)學(xué)文化蘊含其中，而且還涉及到四色定理、機器證明以及著名的“23個數(shù)學(xué)問題”等數(shù)學(xué)文化。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)和“洗禮”，使學(xué)生了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識客觀世界的過程；養(yǎng)成求知、求實、大膽猜想以及勇于探索的情感和態(tài)度。最后，新課標(biāo)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造過程”。在本節(jié)課的授課過程中，不僅在歸納推理舉例時讓學(xué)生們積極

13、參與，而且在解決問題遇到困難時，兩次讓學(xué)生自身通過幾何畫板軟件演示從而突破難點。而在“河內(nèi)塔游戲“的解決過程中充分調(diào)動學(xué)生的積極性，利用游戲軟件讓師生、生生互動，不但在金屬片的移動次數(shù)的數(shù)值上進(jìn)行規(guī)律上的歸納，而且還在教師的協(xié)助下，歸納出個金屬片的移動過程與個金屬片的移動過程的關(guān)系。從而達(dá)到數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識上的飛躍，使學(xué)生實現(xiàn)了主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識之目的。2本案例從整體上來看，還存在著幾點尚待探討的困惑首先，從本節(jié)課的整體效果以及聽課師生的課后反應(yīng)來看，大都持肯定態(tài)度。但是筆者發(fā)現(xiàn)此節(jié)課有超過一半時間以上的授課、討論等內(nèi)容與數(shù)學(xué)無關(guān)或者說只是存在表面形式上的關(guān)系，由于“推理”這一部分內(nèi)容與生活或者

14、其它學(xué)科存在著密切的關(guān)系，所以師生討論的范圍并不囿于數(shù)學(xué)學(xué)科的范疇，這也無可置疑，但在另一方面也產(chǎn)生無法預(yù)料的副作用，即數(shù)學(xué)味不濃，有“去數(shù)學(xué)化”之嫌。例如一學(xué)生舉出化學(xué)中酸與堿反應(yīng)這一方面的例子，導(dǎo)致教師的反應(yīng)明顯遲鈍，只好采取淡化的方法，阻斷了學(xué)生再向物理、生物等學(xué)科方面聯(lián)想的念頭。筆者顯然對授課教師做出這種選擇持肯定態(tài)度。在課后討論時，大多數(shù)教師認(rèn)為：這種做法看上去與新課程理念并不十分相宜，但也是無奈之舉，關(guān)鍵還是在于“度”的把握上。其次，雖然開設(shè)這節(jié)課的所在學(xué)校的硬件設(shè)施還比較完備，但是由于課時數(shù)的限制、學(xué)生對幾何畫板等軟件掌握情況以及應(yīng)試要求等方面的原因，雖然新課標(biāo)強調(diào)“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”，但是在實際教學(xué)中，譬如本節(jié)課中，只有個別數(shù)學(xué)成績較好、相關(guān)軟件掌握也較好的學(xué)生才能夠得到動手操作的機會，其他學(xué)生只能觀其行、思其意而已。而在統(tǒng)計案例以及概率等相關(guān)內(nèi)容中，利用計算機或計算器教學(xué)只是徒有虛名，實際卻未得到真正的執(zhí)行，這主要并不是教師的教學(xué)行為或思想觀念上沒有跟上，只是硬件條件尚難達(dá)到而已。顯然，對于其它經(jīng)濟條件相對落后的地區(qū)也就更不待言了。另外，筆者