第3章 不等式綜合測試（教師版）

1、第3章不等式綜合測試一、單項選擇題1.以下命題中正確的選項是（）A.當xl 時，x + -2xC.當0vxv 1 時，G + f= 2 2【答案】BB.當x0時，jt + -2時，G +與22及 yJX【解析】【分 結合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【詳解】解:選項A.Qxl, x + 2 Jx = 2 ,等號成立的條件是x = nx = l,等號取不到，所以x +，2,故A X XXX錯誤；選項B.當x0,選項B.當x0,X H= 一 (-X)X-2J（-x）-=-29當且僅當x = 1時等號成立，故B正確;選項 C. 0 X 1 , fx H-r=y/x選項 C. 0 X 2l

2、-=2,等號成立的條件是1 = 1,等號取不到，即 +上2,故C錯誤；選項D.當x2時，4 +/2護差=2四，等號成立的條件是42一= j=,即x = 2時，但條件x2,所 yjx以等號取不到，故& +二2血，故D錯誤.vx應選：B2.假設為實數(shù)，且avvO,那么以下命題正確的選項是（）c”一11b aco、A. ac 7D. er ab a ba b【答案】D【解析】【分析】對于A,當C=O時，ac2 = he2 = 0,可判斷；對于B,舉反例，當 =-2,人=-1時: 代入比擬可判斷;4故答案為：y.【點睛】此題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，考查了 1的妙用，考查計算能力，屬于基礎題.

3、四、解答題17.關于x的不等式一/+0+。0.假設該不等式的解集為(-4, 2),求m8的值；假設。寸+1,求此不等式的解集.【答案】斫-2, b=S答案見解析【解析】【分析】(1)由不等式的解集與一元二次方程根的關系得出方程的根，然后由韋達定理列式求解;(2)根據(jù)相應一元二次方程的根的大小分類討論可得.根據(jù)題意得根據(jù)題意得-16-4。+ /? = 0,-4 + 2q + Z? 0,解得。=2, b=8.當=。+1 時，一f+ax+hAOof一仆(+1) 0,即口 (。+1) (x+1) 0.當4+1=1,即=2時，原不等式的解集為0；當+11,即1,即一2時，原不等式的解集為(-1, +1)

4、.綜上，當。2時，不等式 的解集為(一1, +1).18.假設不等式(1- a)/- 4x+60的解集是何3x0； (2)6為何值時，a?+bx + 3z。的解集為凡【答案】（口卜1一1 或 X一2(2) -6,6【解析】【分析】一 3 + 1=工（1）由題意可得-3和1是方程（1-。）%2-4/6 = 0的兩個根，那么有1丁，求出。的值，然后解不-3x1，等式2父+（2- d）x- q0即可，（2）由（1）可知13犬+區(qū)+ 320的解集為凡 從而可得AMO,進而可求出人的取值范圍-3 + 1 = 由題意得-3和1是方程（l-2-4x+6 = （）的兩個根，那么有1丁，解得。=3,-3x11

5、Q所以不等式2d+（2- a）x- a0化為2% 30, （x + l）（2x3） 。，3解得xv-1或,所以不等式的解集為卜忖-1或由（1）可知3/+法+ 320的解集為R所以 = 02_4x3x340,解得-6匕6,所以人的取值范圍為T,6.汽車在行駛過程中，遇到特別情況需要剎車，從剎車（剎死車輪）到停止汽車所走過的路程稱為剎車 距離.某汽車的剎車距離s （單位：m）與速度u （單位：m/s）之間的關系可近似表示為s = 0.072y. 假設該汽車在某路段行駛過程中，前方80m處可能會突然出現(xiàn)障礙物，駕駛員從發(fā)現(xiàn)障礙物到剎車需經(jīng)過0.8s 的反響時間，為了平安，汽車必須在障礙物前5m處停住

6、.問：這輛汽車在該路段最大限制速度是多少？【答案】27.19【解析】【分析】根據(jù)題意可得80-0.8口-5 2 0.072口2,解得即可得出答案.【詳解】解：由題意可矢口80 0.8口一5 2 0.072/,即0.072/ +0.8v-750,解得-38.3lv27.19,所以這輛汽車在該路段最大限制速度是27.19m/s. (1)Ovxvl,那么M4 3x)取得最大值時x的值為？(2)x1)的最小值為？ X-1【答案】(1)(2) 1； (3) 2g+ 2【解析】【分析】(1)積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗等號成立的條件；(2)結構為和的形式轉(zhuǎn)化為積的形式，并使積為定

7、值，同時要檢驗等號成立的條件；(3)二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出來，然后再別離，最后用基本不等式求解即可.【詳解】11 3x + 4 3%4(1) x(4-3x) = -x (3x) x(4-3x)0, 4那么/(%)=4工一2 + 二 (5 4x + ) + 3(2j(5 4x)x + 3 = 2 + 3 = 1.4x-55-41 V 5-4%當且僅當5-41=丁二，即x = l時，取等號. 5-4%故/(x) = 4x-2 +彳，的最大值為1. 4x-5+ 2 x2x + l + 2x 2 + 3(3) y =x-x - 1(x-1)2+2(x-1) + 3X-= (x

8、-1) +4- + 2N2 6+ 2. x-當且僅當X 1=2,即X = G + 1時，取等號.X-L故函數(shù)的最小值為26 + 2.函數(shù)y = / +云+。的零點為 =2,9 =3(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)假設對于任意的-3V、V3,不等式y(tǒng)W-/+l恒成立，求/的取值范圍.(3)假設對于任意的-3 W3,不等式y(tǒng)W+i2恒成立，求x的取值范圍.【答案】(1) y = Y5x + 6； (2) Y5或噂6； (3) -1,6.【解析】【分析】(1)利用韋達定理求出、c的值即可；(2)利用二次函數(shù)的知識求出當-34xV3時y = Y5x + 6的最大值即可；(3)易得/+12的最小值為12

9、,然后解出不等式V5x-6W0即可.【詳解】(1)由題知2和3是方程f +/?% + c = 0的兩個根.b = 2 + 3 b = 5由根與系數(shù)的關系得c)即 乙，所以y = %25x + 6.c=2x3c=6(2)不等式對于任意-3VxV3恒成立，由于y = /5x + 6的對稱軸是x =由二次函數(shù)的知識可得，當 = -3時二次函數(shù)取最大值=3。，所以只需產(chǎn)一年30,即“-3020,解得芯-5或壯6.(3)當才=0時,-+12取得最小值為12,故y12, gpx2-5x-60 ,其中.(1)當攵變化時，試求不等式的解集A；(2)對于不等式的解集A,假設滿足人。2 = 3 (其中Z為整數(shù)集)

10、.試探究集合8能否為有限集？假設能，求出使得集合3中元素個數(shù)最少時攵的所有取值；假設不能，請說明理由【答案】(1)答案不唯一見解析；(2)可以，k=-3.【解析】左=3和左3五利用基本不等式(1)根據(jù)相應二次函數(shù)的開口方向和二次方程根的大小關系，分攵。，k 0Z:3,種情況討論求解.1c +9(2)根據(jù)解集4結合3為有限集，那么攵0,在根據(jù)5中元素個數(shù)最少，那么土二最大,K求解.【詳解】上2 +9(1)當左0時，不等式化為(x 勺匯)。6)0, k TOC o 1-5 h z 此時幺式6,不等式的解集是(，二,6), kk當 = 0時，不等式化為x-60,不等式的解集是(7,6),.k2 +O

11、當0 v攵 3時，不等式化為(x)(x- 6) 0 ,k“2+9仆+9此時幺出6 ,不等式的解集是(-8, 6)5?,+8)， kk當攵=3時，不等式化為3(x-6)20,不等式的解集是(-8,6)56,+8),. +9當左31寸，不等式化為(x)(x-6) 0，k此時工口6,不等式的解集是(-oo,6)u(U2,+oo), kk川+9綜上：當0時，不等式的解集是(人士,6),K當k=0時，不等式的解集是(Y,6),2 +9當0v攵3時，不等式的解集是(-8, 6)5,+00),k當攵=3時，不等式的解集是(-8, 6)。(6,田),k2 +9當女3時，不等式的解集是(-00,6)。(仁二,+

12、8), k(2)假設3為有限集，那么0此時A=(心26), kE +9要使3中元素個數(shù)最少，那么人口最大， k工+2)+ k k(一外9當且僅當(-前9當且僅當(-前即左=-3時，取等號,所以攵=-3時，集合5中元素最少.【點睛】方法點睛：含有參數(shù)的不等式的解法：往往需要比擬（相應方程）根的大小，對參數(shù)進行分類討論：（1）假設二次 項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；假設不易分解因式，那么可對判別式進行分類討論；（2） 假設二次項系數(shù)為參數(shù)，那么應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集 的形式；（3）其次對相應方程的根進行討論，比擬大小，以便寫出解集

13、.對于c,作差23 =生二由可判斷； a b ab對于D,運用作差比擬法可判斷.【詳解】對于A,當。=0時，ac2 = be2 = 0, A錯誤；對于B,當 =一2,6=一1時，=一1，? = 一1，此時，B錯誤； alba b對于C,因為av/70,所以go ,又.2_3 =止式 o ,C錯誤;a b abci b對于 D, Qab0, .a-b0,z.a2 abb2 , D 正確.應選：D.假設 1,那么 x2-2x + 2 有（）2x - 2A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1【答案】A【解析】【分析】將給定表達式整理變形，再利用基本不等式即可作答.【詳解】因 Q1,那么

14、._2x + 2_L（x_l） ：1=,鼠_1）+，卜2、_）.工=1,當且僅當x 1 = 一,即x = 2時 2x-22（x-1）297 x-lj V x-lx-取等號.所以3-2x + 2有最小值為. 2x-2應選：A.假設 - 2xo）”的充分不必要條件，那么實數(shù)機的取值范圍是（）A. mlB. m2C. m3D. m4【答案】c【解析】【分析】x+mx - 2m20）,解得-22Vx7%.根據(jù)-2x3是f+znx - 2m20）”的充分不必要條件,可得-2m - 2,心0.解出即可得出.【詳解】解：f+mx - 2m2Q),解得-2mxm.- 2Vx(3是N+mx - 2m20)”的充

15、分不必要條件，-2m - 2, 30.解得侖3.那么實數(shù)機的取值范圍是3, +8).應選：C. TOC o 1-5 h z 5.設一元二次不等式以2+法+ 1。的解集為x|那么他的值為()A. 1B. C. D.442【答案】B【解析】【分析】根據(jù)-1和2是方程辦2+法+ 1 =。的兩個根，由韋達定理解得和，可得結果.【詳解】由題意可知方程以2 +公+ 1 = 0的根為一1,2 , TOC o 1-5 h z b1由韋達定理得：1 + 2 = , 1x2 = , aa解得 = ， = _,所以 224應選：B.6.對于任意實數(shù)羽不等式m2)/2(42)X40恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍為()A

16、. aa2B. aa2C. a 2a2D. a 2a2【答案】D【解析】【分析】分。2 = 0和。一2#)兩種情況進行討論，第一種情況很容易驗證符合題意，第二種情況結合二次函數(shù)的特點，討論開口方向和判別式從而可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當。-2 = 0,即。=2時，-40,恒成立，符合題意；當a2加時 由題意知，q 2 04（a-2+16（a-2）0解得一2vv2, A -2a1人-1,那么以下不等式中恒成立的是（）A.B./C. ab2D. a2 2ba ba b【答案】C【解析】【分析】ABD通過舉反例可知錯誤，C利用不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】對于人例如。=2,匕=一!，此時滿足1人一

17、1,但故A錯，2a b對于B,例如q = 2, b =,止匕時滿足41/?一1,但故8錯，2a b對于 C, v-1 /? l,.0Z?2 L:.ab2 9 故 C正確,此時滿足11一1, a 0, 0, + = 1,假設x + 2y 廠-2機恒成立，那么實數(shù)力的取值范圍是（）A.加24或mV-2B.加22或mV-4C. -2m4D. -Am2【答案】C【解析】【分析】2 1由題意可得病-2根加2 2加恒成立，那么加之_2根(x+2yL，因為x + 2y = (x + 2y)2 +， = 4 +匕+ 224 + 2 世 J=4 + 2x2 = 8,(x ) x y x y即x = 4,y =

18、2時取等號.4y x 當且僅當上二一 % )所以(2九=8所以2 _ 2m v 8 ,即所2m 8 0 ,由畢得：2 m QB.不等式法+ c0的解集是x|x-6C. a+b+cOD.不等式Cx2 -法+ 4 0的解集判斷出0,結合根與系數(shù)關系、一元二次不等式的解法判斷BCD選項 的正確性.【詳解】關于X的不等式加+bx + c0的解集為(-8,-2)53,+。),.。0隊選項正確；且一2和3是關于x的方程辦2+云+。= 0的兩根，由韋達定理得,c c C -2x3 = a那么 =一,。二一6。，那么 +/? + c = -6q0即為融6。0,解得x-6,B選項正確；不等式一 一法+。 3,D

19、選項正確. JN應選：ABD.設實數(shù)。、b、c滿足b + c = 6 4Q + 3/,。_。= 4一44 + /,那么以下不等式成立的是()A. cC. baD. cil. TOC o 1-5 h z (1Y 3Lb Q = I2 + 1Q= ClH 0 ,I2j4ffij cb = 4 4。+。=(2)-N0 c N b, y/ATHj c b ci.應選：BD.實數(shù)羽 y 滿足3x + 2y2,l2xy4,那么()A. x的取值范圍為(T,2)B. V的取值范圍為(-2,1)C. x+V的取值范圍為(一3,3)D.的取值范圍為(7,3)【答案】ABD【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.【詳解

20、】因為一lv2x-y4,所以一2V4x-2y8.因為-3vx + 2y2 ,所以一55x10,那么一lvxv2,故 A 正確;因為-3vx + 2yv2,所以-6 v 2x + 4y v 4.因為1 v 2xy v 4 ,所以-4v2x+y vl ,所以lOv5y5,所以2yl,故8正確； TOC o 1-5 h z 936114因為一3x+2y v2, 1 2xy v4,所以(x + 2y), (2xy) ,那么一2vx+y2,故 C錯 555555誤；2133312因為一3 vx+2y v 2, 1 v 2xy v4, 所以(x + 2y)一, (2x y) , 那么一Ivxy。的解集中恰

21、有3個整數(shù)，那么。的值可以為()A. -B. 1C. -1D. 22【答案】AC【解析】【分析】由題意先判斷出。0的解集中恰有3個整數(shù)，那么這3個整數(shù)中一定有。和1,所以分這3個數(shù)為-1O1,或QL2,分別計算求解即可.【詳解】不等式(5-1)(尤+2-1)0的解集中恰有3個整數(shù)當。=。時，不等式化為-IvO,那么解集中有無數(shù)個整數(shù).當q0時，不等式(以-l)(x+2a-1)。的解集中有無數(shù)個整數(shù).所以 avO, 1,所以一0的解集中恰有3個整數(shù)，那么這3個整數(shù)中一定有。和1.那么這3個整數(shù)為：-1,0,1,或0/2l-2a2假設這3個整數(shù)為：-1,0,1,那么( 0 1，解得：a =2-2a3假設這3個整數(shù)為：。,1,2,那么1-2 -1解得：a-