第08講 基本不等式（學生版）

1、第08講 基本不等式編【學習目標】.掌握基本不等式y(tǒng)ab + （a 0/ 0）. 2.能靈活應用基本不等式解決一些證明、比擬大小問題.進一步熟練掌握基本不等式，能夠通過拼湊、變形等利用基本不等式求最值.能夠利用基本不等式解決實際問題.【基礎知識】知識點一基本不等式如果0,。0,那么如中，當且僅當。=b時，等號成立.我們把這個不等式稱為基本不等式.知識點二基本不等式與最大（?。┲诞擷, y均為正數(shù)時，下面的命題均成立：V2假設x+y=S（S為定值），那么當且僅當x=y時，孫取得最大值了；（簡記：和定積有最大值）假設孫=P（P為定值），那么當且僅當x=y時，x+y取得最小值2杯.（簡記：積定和有最

2、小值）知識點三基本不等式的實際應用基本不等式常用于求解與最值有關(guān)的實際問題，具體步驟如下：先理解題意，設出變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為因變量.建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.（4）根據(jù)實際意義寫出正確的答案.【考點剖析】即。，求產(chǎn)的最小值；解答過程：4x2 = 2； h a考點一：對基本不等式的理解及簡單應用.以下運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（）7 設xl,求y = x+5的最小值； x-1 2 當且僅當工=一?即工二？時等號成立， x-1A. 0個B. 1個考點二：利用基本不等式比擬大小 亡例

3、2.設A =，+ ，其中。、b是正實數(shù)，且出b, B = -x2+4x-2,那么A與B的大小關(guān)系是()A. ABB. ABC. ABD. A 2.，x-1 Vx-1把x = 2代入2、叵得最小值為4.C.2個D. 3個考點三：利用基本不等式證明不等式例3.設。，6為正實數(shù)，求證:(a + b)(/+/?3)之8/73.考點四：利用基本不等式求最值A. 4假設40/0,且3。+ = 1 .那么的最小值為( a bB. 2a/2D. 4+26考點五：利用基本不等式求解恒成立問題江例5.當xl時，不等式 +占2 a恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是(A. (-oo,2B. 2,+ oo)C. 3,+ o

4、o)D. (-oo,3考點六：基本不等式在實際問題中的應用例6.如圖，將一矩形花壇ABC。擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求點3在AM上，點。在AN上，點。在MN上，蝕=3米，4) = 2米.要使擴建成的花壇面積大于27米2,那么an的長度應在什么范圍內(nèi)？（2）當AN的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.【真題演練】.假設。,且他0,那么以下不等式中，恒成立的是 2baA. a1 +b2 2ab B. a + b2yabC. + 7f= D. + y2a b yjaha ba1 +b2 2ab A ab0。力 2,1x = 21）2.假設。那么力+ 乒+6的最baba b

5、 aa b小值為. 設x0, yOf x + 2y = 4,那么（入十口呢）十的最小值為. 孫.假設a0, /20,氏2,那么以下不等式對一切滿足條件的。，恒成立的是（寫出所有正確命題的編號）.叱1； &l+M 4亞; 2+/2； （4）6Z3+/?33；+ y 2. a b.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使 一年的總運費與總存儲費用之和最小，那么1的值是.要制作一個容器為4加3,高為血的無蓋長方形容器，該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，那么該容器的最低總造價是 （單位：元）.x,yR+,且x+4y =

6、l,那么叱丁的最大值為.圍建一個面積為360小的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2機的進出口，如下圖，舊墻的維修費用為45元/如新墻的造價為18。元/加，設利用的舊墻的長度為x（單位：元）.設修建此矩形場地圍墻的總費用為丁XX（I）將y表示為X的函數(shù);（H）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.設a, b, c均為正數(shù)，且+Z?+c=l,證明:(I ) ab+bc+ac1. b c a.假設0力0,且_1 +，=而 a b（1）求+63的最小值;（2）是否存在力，使得2+ 3/? = 6,并說

7、明理由.【過關(guān)檢測】1.以下結(jié)論中正確的選項是（）A.假設 ac be ,那么B. a2 -h2 1）最小值為3 x-19 QD.假設 + b = 6,那么一+丁的最小值為3 a b.幾何原本卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù), 通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如下圖圖 形，點尸在半圓。上，點C在直徑A3上，且ObJ_AB,設AC =。，BC = b,那么該圖形可以完成的無字證 明為（）a + yfab(ci O.b 0) 2iC. a 0,/? 0) a + ba + yfab(ci O.b 0)

8、2iC. a 0,/? 0) a + ba2 +b2 2ab(a 0,b 0)D./ +人2八7 八、-(q Q,h 0).當0%2時，M2 工)的最大值為()A. 0B. 1C. 2D. 4.給出下面三個推導過程：%、b為正實數(shù)，2 + 之2、祖?=2； a b Nab4d;。，存0, 一 +”一q =4； a V a二”、yR, xyQ9 + = (-) + (-) QMB. MPQC. QMPD. MQP7.。0,Z?0,假設不等式2 +。2 z恒成立，那么機的最大值（）2 + C3 + V23 + 2V2D. 5.正數(shù)x、y滿足x + =4,那么孫的最大值為.假設 q0, b0, Q

9、= a + b + 15,那么的最小值為.實數(shù)么b滿足/+從=2,那么必的最大值為.4 TOC o 1-5 h z .假設X（1,4W）,那么=工+ 一；的最小值是.函數(shù)y=一-2：+12（%0）的最小值為.149.那么21 + ；一；的最小值為一.221.當x2時、函數(shù)5=.+ + 6的最小值為.x + 22.x0, y0,且2x+y = l,那么一 + 一的最小值是.x0, yo, M- + - = 2,那么x + 2y的最小值為 % y3y 11. x0,0, x+y = l,那么一+ 一 + 一的最小值為一.x x y4.。3,求證：+。27.4 319.為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形ABC。，如圖）上設計三 個等高的宜傳欄（欄面分別為一個