2005-12西安電子科技大學高等代數(shù)

1、西安電子科技大學2005年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目代碼及名稱404 高等代數(shù)考試時間2005年1月23日下午(3小時)答題要求：所有答案(填空題按照標號寫)必須寫在答題紙上，寫 在試卷上一律作廢，準考證號寫在指定位置！必須寫在答題紙上，寫在試卷上一律作廢)01. 1.1110 1.111.設階矩陣/二11 1.01_11 1.10一、填空題(32分，所有答案,則|牛2.設a q /(x) = 1 + x +x2 + xn_1, g(x) = l-x, A =0 a/U)gU)=_ 設維向量 a =矩陣 A = E-aTa, B = E + 2aTa,其中E為階單位矩陣，則AB=_

2、 TOC o 1-5 h z 若才=&,且 a + E 可逆，貝iJ( + )- = .設人，是7 的子空間，dim=dim=w, dim(% c%) = -l,則dim(% + %)= .6.在線性空間Px”中，線性變換D(f(x) = f(x),則D的特征值是 , D的核是7.已知4階矩陣/相似于/的特征值為2,3,4,5, E為4階單位矩陣,則困一0=13-141 1 11& 設 0= 2 03_5 則 &+2+川43+&4= t “ 尼4 3 2 1卜（K二、（14分）設四元齊次線性方程組（I）為-竹2xx + 3x2 -x3=02)多項式，證明：如果多項 式久(小+筋(小十.+廠2人

3、X)能被1 + x + x1整除，貝悔個/.(%)(心1,2,” -1)的所有系數(shù)之和為零3 2-5六、(8分)求矩陣&= 2 6 -10的Jordan標準形._1 2-3_七、(io分)設4，&,耳,耳是階方陣，其中4,場是可逆的，試證：存在可 逆矩陣P, 0使PAQ = B： (i = 1, 2)成立的充要條件是4爲t與B Bf1相似.八、(12分)設？是數(shù)域P上有限維向量空間，/是7上一個線性變換，令Kerf和Im/分別表示f的核和值域，即Kerf = ve K | /(v) = 0Im/ = /(v)|vr證明：dim V = dim(Ke?/) + dim(Im f).九、（15分）

4、設“是歐氏空間/中一單位向量，對任一 0卩，定義A（a） = a-2（rj,a）?j證明：1） A是正交變換（這樣的正交變換稱為鏡面反射）；2）A是第二類的；3）如果維歐氏空間中，正交變換B以1作為一個特征值，且屬于特征 值1的特征子空間的維數(shù)為n-1.則B是鏡面反射.十、（12分）設4為”階方陣，證明：&為幕等方陣（即滿足A2 = A）的充要 條件為：秩（/）+秩（A-E） = n.十一、（10分）設4B都是階正定實對稱矩陣，證明：曲的特征值均為正 數(shù).西安電子科技大學、2006年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目代碼及名稱404高等代數(shù)考試時間2006年1月15日下午（3小時） 答題要

5、求：所有答案（填空題按照標號寫）必須寫在答題紙上，寫 在試卷上一律作廢，準考證號寫在指定位置！!填空題（30分，所有答案，必須寫在答題之上，寫在試卷上一律作廢）1.設/為3階方陣，才為伴隨矩陣2.已知4階行列式D的第3行元素分別為-1, 0, 2, 4,第4行元素對應的余子式 依次是2, 20, at 4。則a的值為 3-設 A, B 均為 4 階方陣，A=lt 0戶3,= （a,/2,/3,/4）. & =（，燈必宀），均為4維列向量，貝UL4+E匸 已知實二次型f（x,x2,x3）a（x +彳+彳）+4壬七+ 4x$3 + 4兀耳經正交變換x = Py可化為標準形/ = 6畀，貝“已知 4

6、 階矩陣 = （aptz2,a3,a4）, tzpcr2,a3,a4 均為 4 維列向量，其中a2,3,a4 線性無關，ax =2a2 -a3。如果0 =省+勺+也+%，則線性方程組心=0的 通解為設N是維線性空間卩的線性變換，則乂的秩+N的零度=（15分）設多項式/（x）除以+1, x2+2的余式分別為4x + 4, 4x + 8,求/（x） 除以（工+1）（+2）的余式。（10分）設。為非零的“維列向量，E為階單位陣，證明矩陣為正交矩陣。（15分）設兄是各階順序主子式均不為零的階矩陣，證明：存在下三角矩陣B與上三角矩陣C,使 A = BC（io分）設都是可逆矩陣，證明存在多項式/（x）使，

7、47，=/（4）（15分）設九B為“階矩陣，且/有個互不相同的特征值，證明：存在可逆矩陣P 使可同時對角化（即PSP, PBP都是對角矩陣）的充要條件是AB BA （10分）設2均為mxn實矩陣，且秩A + Bn,證明：ata + btb 為正定矩陣。 TOC o 1-5 h z 31（10分）求矩陣/= 04 0的若當標準形-115（20分）在三維線性空間V = 11)T可化為桶圓樣面方y(tǒng)/ + 4y/=4.試求a#及正交矩陣FI . 設域性變換內V滿足盲=# 才=甲,噴擇下列命題Z給予證呱(!)卩與憶有相同值就的充分必晏條件是- iff,艸=解，(2)卩與附有相同的核的充分必雯集件超 卩附

8、二爐，甲p =甲西安電子科技大學2008年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目代碼及名稱 871高等代數(shù)考試時間 2008年1月20日下午（3小時） 答題要求：所有答案（填空題按照標號寫）必須寫在答題紙上，寫 在試卷上一律作廢，準考證號寫在指定位置！一、（30分，所有答案，行列式210 x-1xX2-1必須寫在答題紙上，寫在試卷上一律作廢）2x一】0一 x中J項的系數(shù)足二2.0 0 23 1 0,則1 2_5 2 0_7已知矩陣/的逆矩陣A =3.設a,0都是非零列向量，A = E_ab ,已知才=3E-2/l,則=_4.設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知詁2爲 是它的三個解向最

9、，且j+=（2,6,4,8）t, 2+$3=（1，2,3,4）t,則該方程組的通解為二5. 4 E是三階矩陣，滿足E + B = 4B, &有特征值3,-3,0 ,則B的特征值為_6.當2滿足 時.二次型/（X!，r2,x3） = 5xf + x； + Axj + 4xjX2 一2x,x 一2x2x3 是正定的.二、（10分）計算n階行列式X y y z x yy yyz zXz zz X三、(15分)/(x)與g(x)是兩個多項式，且f(x3) + xg(x3)可被x2+x + l整除，證明:/ = (D = 0.廠1 2 3、四、(15分)己知三階矩陣&的第一行是(a,b,c,),a,b,

10、c不全為零，矩陣B= 2 4 k、3 6 9, 為常數(shù))，且AB = O,求線性方程組Ax = O的通解.五、(15分)設蟲為乃階矩陣，試證：秩(4”)=秩()；對于任意止整數(shù)刃，是否有秩(才)二秩(Anm ) ?為什么？六、(20分)設7是數(shù)域K上的力維線性空間，并且VUW。任給aw V .設a = ax+a2, aU, a2eW ,令 T(a) = at ,iE 明：T是/上的線性變換，并且T2=T,丁 的核ker7 = W, 丁的象(值域)lmT = U；V中存在一個基，使得線性變換T在這個基下的矩陣是E。，其中E,是r階單位矩陣，請指出r等于什么？七、(10分)設三階對稱矩陣4的特征值

11、人=1,勺=2, =-2，且a】=(l,-l,l)T是A的屬于人的一個特征向塑.記B = 5 - 44? +2E,其中E為三階單位矩陣.驗證a】是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；求矩陣B.八、(15分)設二次型為f(x,y,z) = x1 +2y2 +3z 2 4xy 4yz用正交變換化二次型/(X,y,z)為標準形，并寫出所作的正交變換.求在條件x2+2+z2=l之下二次型f(x,y,z)的最大值與最小值，并寫出達到最大值和最小值時x, y, z所取的值.九、（10分）設是兩個wxn實對稱矩陣，且B是正定矩陣.證明存在一實可逆 矩陣F使PJAP 與 PBP同時成為對角陣.十、

12、（10分設2是階正交矩陣的復特征值，屬于特征值;I的特征向量為a ,若a = 0 + yi,其中0是實向量，求證：戸,了的長度相等旦它們互相正交.西安電子科技大學2009年攻讀碩士研究生入學考試試題一、(30分，所有答案必須卸載答題紙上，寫在試卷上一律作廢)1.設n維向量a = a,O,0,a,a 0;E為n階單位矩陣，矩陣A = E-aaT ,B = E +1 a(a，其中A與B互為逆矩陣，則a =.a01400017132設3階方陣A , B滿足關系式A-BA = 6A + BA，且A = 0 TOC o 1-5 h z 則 B =.3設A為三階方陣且A = 2 A堤A的伴隨矩陣，則|(3

13、A)-1 - 2A* =已知實二次型 fx2, x3) = a( x12 + x22 + x32) + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4 x2x3 經正交變換x = Py可化成標準型f = 6y12，則a =設A為n階矩陣，| A豐0，若A有特征值2,貝A* )2 + E必有特征值.6設7是數(shù)域P上的一個3維線性空間，5，&2,3是它的一組基，f是7上的一個線性函數(shù)，已知 f +S2 ) = 1, f(2 - 2s3 ) = -1, f( +s2 ) = -3，貝Vf (1 + 2 &2 - &3 ) =二、(10分)設f (x) = x2 +-4x + a存在唯一的3次首一多項式g(x

14、)，使得f |g且 g|f2，求 a 與 g (x)三、(15分)設n階矩陣A與B滿足r(A) + r(B)|+|5|.當且僅當B = O時，等號成立.西安電子科技大學2011年攻讀碩士學位研究主入學考試試題考試科甘代碼及名稱871高等代數(shù)A者試時間2011年1月16日下午(3小時)答JK要求：所有答案(填空18按照標號寫勢須寫在答趣紙匕寫 在試卷上一律作廢.椎考證號寫在指定位置1!選擇(20分)_0 0 !設矩陣= 0 10.A W于則秩(*-2)與軼(d-E)W和第1 0 0于A. 2 B. 3 C. 4 D. S設/為flixn矩陣* D為”矩K.厠域性方fi?il(J4B)xa0A.當

15、nm時僅有事解B.當m時必有非零解芻耐時僅有*解D.豈時玄有非琴解設”蜒列向章組務.的，,a,(m)所朝余式丸 .設且|4-|I+2|U+3|J),惻|2才-3f|= 一.乳 設”毗陣豪的各打元H之卵均為 且)n-l.=0的通解為 設點肋晝-牛5階 1矩陣.験為4.初彗珂子為備用*才，2-h2-lM + l. TOC o 1-5 h z (A + 1)*剛機和的標淮晤為.設彳迪丹陽E交矩幣 R|4S|-l|4+fi| = _ 亠三、(10#)式的慚n + B afl1 a + fl nfl rI H+0a+fl afl1 ap四 (15已 51!=fl51t flfj ei-i024bK.問口

16、上為何值時，/N、穗曲碼.丐，碼集性我示？a*b為宵值時 #確由塀*心”円唯域性鍛示？aTAR|ftH,必對由州*網.出球性袁示且農用式卓曜t井并岀農示此S71高等代敵試縣共3頁第2貢五、（10分）設3慚實對稱矩陣d的特征值為122,特征值1對用的特征向為 X, -（1,1,1/. *4*.穴.HD分用正交變換= 化二次舉/（斗*”町=閔 +ar； +6x/ 4-SXj +4巧巧-4鉆為杯準毎7才+7或-2#*求參數(shù)a及正交趣薛P.七、10分）設/tC是階正定矩陣，已知占是矩陣方程，AX + XAtC的唯一解， 證明；/?是正建矩陣.八、（15分設崔S（敵域上的”維找性空同* Cpf,耳為F前一組基b為F上的一個且在基哥*%”,下的矩陣為一個若爾當塊.證明；（1）卩中含野的b的不變子空何只有卩本身；.（2）P中b的任一非事不變子空間怒含九、（15分）Ift氏空間卩中的經性變換去稱為反対豔的.如杲對卩中任童向就a”A（a）tfi工 4a,（/?）（Va,e V）證明，1）對有限統(tǒng)歐氏空間卩來說，線性嘗換；？為反劉稱的充要條件是，蟲在標準 止交皓卜的矩陣為反對稱矩陣；（2）如是反對稱