1076常微分方程-國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2020年1月至2020年7月期末考試試題及答案（202001-202007共2套）

1、試卷代號(hào)：1076 座位號(hào)口口國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試常微分方程試題（半開(kāi)卷） r2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 一階線性微分方程dydx+p(x)y=q(x)的積分因子是( ) A=e-qxdx B=eqxdx C. =e-pxdxD. =e-pxdx2方程dydx=1-y2+1( ) A無(wú)奇解 B. 有奇解y=1 C有奇解y=1 D有奇解y= -13二階方程y+ 2xy+xy =0的等價(jià)方程組是( )Ay=y1 y1=2xy1+xy By=y1 y1=-2xy1-xy Cy=y1 y1=2xy1-xy Dy=y1 y1=-2xy1+xy

2、4三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)( )線性空間 A1維 B2維 C3維 D4維 5方程組曲dxdt=-ydydt=x 的奇點(diǎn)(o，o)的類型是( ). A焦點(diǎn) B. 中心 C鞍點(diǎn) D結(jié)點(diǎn)二、填空題（每小題3分，本題共15分） 6方程(y+1)dx+(x+1)dy =0所有常數(shù)解是_ 7方程dydx=| y |滿足初值解存在且唯一的區(qū)域是 8向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x)，Yn(x)線性相關(guān)的_條件是它們的朗斯基行列式W(x)=0 9方程x +2x+x=et的任一解的圖像是三維室間（t,x,x）中的_ 10.點(diǎn)（x0，y0）是方程組dxdt=P（x，y）dydt=Q（x，y） 點(diǎn)的充分條

3、件是_ 。三、計(jì)算題（每小題8分本題共40分）求下列方程的通解或通積分：11求變量可分離方程tany dx - cotx:dy=0的解12求一階線性非齊次方程dydx+1+xxy=3xe-x的解13.求全微分方程-yxdx(y3+lnx)dy=0的解14求克萊洛方程y=xy +y2的解15.求恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程yy+ (y)2+ 3x2 =0的解四、計(jì)算題（本題共15分） 16求下列方程組的通解 dxdt=2x-3ydydt=x-2y 17證明：一階微分方程 dydx=sinyx2+y2+1的任一解的存在區(qū)間必是(-，+)試卷代號(hào)：1076國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試常微分方程試

4、題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（半開(kāi)卷）2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空題（每小題3分，本題共10分） 6y =-1,x=-1 7全平面 8必要 9一條曲線 10.P(x0 ,y0)=Q(x0,y0)=0三、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分） 11求變量可分離方程tan y dx - cotxdy =0的解 解 當(dāng)x2+k，yk，k = 0，1，2，時(shí)，分離變量，兩端取積分得dytany=dxcotx+ln|C| （4分） 即ln|siny|=-ln|cosx|+ln|C| 通積分為：sinycosx=C （8分） 12求一階線性非齊次方程dyy

5、=-1+xxdx+C的解. 解 先解齊次方程，通解為：dyy=-1+xxdx+C 即 y=Ce-xx （4分） 令非齊次方程的特解為：y=C(x)e-xx 代人原方程，求出C(x) =x3+C 原方程的通解為：y=e-xx (x3+C ) （8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同樣給分 1 3求全微分方程yxdx+y3+lnxdy=0的解 解 因?yàn)镸y=1x=Nx，所以原方程是全微分方程. （3分） 取(x0，y0)=(1，0)，原方程的通積分為： （6分） 1xyxdx+0yy3dy=C 即ylnx+14y4=C （8分） 14.求克萊洛方程y=xy+ y2的解 解 克萊洛方程，通解為：

6、y=Cx+C2 （8分） 15求恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程yy+（y）2+3x2 =0的解 解 原方程是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可寫(xiě)成：(yy+x3)=0 即 yy+x3=C1 （4分） 分離變量解此方程，通積分為：12y2=C1x-14x4+C2 （8分）四、計(jì)算題（本題共15分） 16求下列方程組的通解dxdt=2x-3ydydt=x-2y 解 特征方程IA-EI=2- -31 -2-=+1-1=0 （5分） 特征根為1=1，2=-1 （7分）1和2對(duì)應(yīng)的特征向量分別是31和11 （12分） 原方程組的通解是xy=C13etet+C2e-te-t (15分)五、證明題(本題共15分) 17證明：一階微分方程 dy

7、dx=sinyx2+y2+1 的任一解的存在區(qū)間必是（-，+） 證明 方翟在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又y=k，k=0，1，2，是方程的常數(shù)解 （6分） 對(duì)平面上任取的（x0，y0） 若y0=k，則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解y=k，其存在區(qū)間顯然是（-，+） 若y0(k，(k+1)，則過(guò)該點(diǎn)的解可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，但是上下又不能穿越y(tǒng)=k和y=（k十1），于是解的存在區(qū)間必是（-，+） (15分)試卷代號(hào)：1076國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試 1常微分方程 試題 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 1積分方程yx=1+0 x3t2y(t)dt的解

8、是( ) Ay=1 By=ex Cy=ex2 Dy=ex3 2若f(x，y)在全平面上連續(xù)且對(duì)y，滿足李普希茲條件，那么方程dydx=f(x,y)的任一解的存在區(qū)間( ) A因解而定 B必為(一，0) C必為（-，+） D必為（0，+） 3一階線性非齊次方程組dYdx=Axy+Fx，Y=(y1，yn)T的任一解的圖像是n+1維空間(x，y1，yn)中的( ) A一個(gè)曲面 B一條曲線 C一族曲線 D一族曲面 4已知方程xy+y=4x的一個(gè)特解為x2，又對(duì)應(yīng)齊次方程xy+y=0有一個(gè)特解為lnx，則原方程的通解為( ) Ay=C1x+C2lnx+x2 By=C1x2+C2lnx+x2Cy=C1+C

9、2lnx+x2 Dy=C1x3+C2lnx+x2 5平面系統(tǒng)dxdt=2x+ydydt=3x+4y的奇點(diǎn)(0，0)的類型是( ) A鞍點(diǎn) B不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) C不穩(wěn)定焦點(diǎn) D穩(wěn)定焦點(diǎn)二、填空題（每小冠3分，本題共15分）6方程xsinydx+ycosx=0的所有常數(shù)解是_.7常微分方程的一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是_區(qū)間8二階線性方程y+y=0的基本解組是_.9n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)_維線性空間 10根據(jù)零解穩(wěn)定性定義，系統(tǒng)dxdt=y dydt=-x的零解是_.三、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）求下列方程的通解或通積分：11求變量可分離方程 x2-1y+2xy2=0 的解12求

10、一階線性非齊次方程 dydx+yx=x2 的解13求全微分方程 e-ydx-2y +xeydy=0 的解，14求克萊洛方程 y=xy+y+(y)2 的解15求可降階的高階方程y3y+1=0的解.四、計(jì)算題（本題共15分） 16求下列方程組的通解.dxdt=y dydt=2x+y五、證明題（本題共15分）17若f(u)在(-，+)上連續(xù)可微，且當(dāng)u0時(shí)，uf（u）0，求證：方程dydx=x2f(sinx)的任一解y=y(x)均在(-，+)上存在.試卷代號(hào)：1076國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試常微分方程 試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本

11、題共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空題（每小題3分，本題共15分） 6x=2+k，y= k，k=0,1，2， 7開(kāi) 8cosx，sinx 9n 10.穩(wěn)定的三、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分） 11.求變量可分離方程(x2-1)y+ 2xy2=0的解 解 當(dāng)x1,yo時(shí)，分離變量積分，得-1y2dy=2x(x2-1)dx （4分） 積分得1y2=ln | x2 -1 |+C 即通積分為：y=1ln | x2 -1 |+C-（8分） 12求一階線性非齊次方程dydx+yx=x2的解 解 齊次方程的通解為：y=Cx （4分） 設(shè)原方程的通解為：了一 - 代入原方程，得C(x)=x4

12、4+C 所以，原方程的通解為：y=1x（C+14x4）（8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同樣給分 13.求全微分方程e-y dx -（2y+xe-y）dy =0的解 解 因?yàn)镸x=- e-y=Nx， 所以，原方程是全微分方程（3分） 取(x0，y0)=(0，0)，原方程的通積分為：0 xe-ydx-0y2ydy=C（6分） 即xe-y - y2 =C（8分） 14.求克萊洛方程y=-xy +y+ (y)2的解. 解 克萊洛方程的通解為：y=Cx+C+C2（8分） 15求可降階的高階方程y3y”+1=0的解 解 令y=p，y=pdpdx等代人方程，得 Pdp=-1y3dy（3分） 積分，

13、得12p2=12y-2+C1,p2=1y2+C=1+Cy2y2, dydx=1+Cy2y（5分） 分離變量，積分得ydy1+Cy2=dx+C2 原方程的通積分為：1+ Cy2=（Cx +C3）2（8分）四、計(jì)算題（本題共15分） 16求下列方程組的通解dxdt=ydydt=2x+y 解 特征方程為：| A-E|= -121-=0 即2-2=0 特征根為1=2，2 =-1（5分） 1=2對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足：-2121-2a1b1=00 可確定出a1b1=12(10分) 同樣可算出2=一1對(duì)應(yīng)的特征向量為a2b2=1-1 (12分) 所以，原方程組的通解為：xy=C1e2t2e2t+C2e-t-e-t(15分)五、證明題(本題共15分) 17.若f(u)在（-，+）上連續(xù)可微，且當(dāng)u0時(shí)，uf(u) 0，求證：方程 dydx=x2f(siny