從一道數(shù)學(xué)題看學(xué)生的發(fā)散性思維(共6頁(yè))

1、 從一道高考(o ko)數(shù)學(xué)試題探索學(xué)生(xu sheng)發(fā)散性思維的培養(yǎng)(piyng)新昌縣知新中學(xué) 黃永鋒摘要 思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等是發(fā)散思維的特性，教學(xué)要有意識(shí)地抓住思維特性進(jìn)行訓(xùn)練與培養(yǎng)，既可提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，又是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從一道數(shù)學(xué)題出發(fā)從不同的方向、多角度、多側(cè)面地進(jìn)行分析思考，探求不同的解題途徑，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué) 思維 能力 培養(yǎng) 發(fā)散性思維是沿著不同的方向?qū)σ延械牡男畔⒅匦逻M(jìn)行組織，探求新的答案的思維方式。以知識(shí)和智力為基礎(chǔ)的創(chuàng)造性思維，它的顯著特征是求異.這是一種不依常規(guī),大膽設(shè)想,從同一信息來(lái)源,沿

2、著各種不同方向變化,產(chǎn)生為數(shù)眾多的輸出,以探索盡可能多的答案的思維方式。這種思維方式,不受現(xiàn)成知識(shí)的局限,不受傳統(tǒng)方式的束縛,其結(jié)果由已知導(dǎo)致未知。美國(guó)教育學(xué)指出：“創(chuàng)造力=知識(shí)量+發(fā)散性思維”。徐利治教授也曾講過(guò)：“數(shù)學(xué)的新思想，新概念和新方法往往來(lái)源于發(fā)散性思維”。發(fā)散性思維是創(chuàng)新思維的核心，沒(méi)有思維的發(fā)散就算不上思維的集中求異和獨(dú)創(chuàng)。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力是很重要的，只有通過(guò)發(fā)散性思維的培養(yǎng)，才能培養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)新能力。2015年浙江省普通高考考試說(shuō)明（理科）中的數(shù)學(xué)科部分考試內(nèi)容的能力要求中明確規(guī)定：要求學(xué)生“會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行比較分析綜合抽象與概括即思維能力要求；運(yùn)算

3、求解能力：會(huì)根據(jù)其中法則和公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，有分析運(yùn)算條件探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式確定運(yùn)算程序；還有創(chuàng)新意識(shí)：能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路?！边@些能力的要求都決定了在教授學(xué)生知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)該有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生從不同方向看問(wèn)題的發(fā)散性思維。這對(duì)學(xué)生以后的發(fā)展是一種提高和促進(jìn)。縱觀2008年浙江省高考數(shù)學(xué)（理）第8題的三角函數(shù)的選擇題，試題設(shè)計(jì)情景熟悉、入口寬、方法多。筆者從不同的方向、多角度、多側(cè)面地進(jìn)行分析思考，探求不同

4、的解題途徑。對(duì)這題的探討可以通過(guò)縱橫發(fā)散，使知識(shí)串聯(lián)，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的目的。2008年浙江省高考數(shù)學(xué)（理）第8題 若,則（ ） A、B、C、D、命題意圖：考查簡(jiǎn)單的三角變形及其計(jì)算。 思維取向一：從同角變換(binhun)的角度切入方法(fngf)(一)由可知(k zh)，兩邊同時(shí)平方得，左邊除以得，所以，解得，故選B點(diǎn)評(píng) 由等號(hào)左邊是一次式，等號(hào)右邊是零次（常數(shù)），聯(lián)想把等號(hào)左邊變成零次，再者，本方法比較常規(guī)學(xué)生很容易想到。類似地,如直接將正弦、余弦化為正切，則又有下面的思路如，則，代入，得，因?yàn)?，得?shù)學(xué)中常用逆向思維方法，它著眼于事物間的雙向性和可逆性，在數(shù)學(xué)解題中“執(zhí)果索因”的分

5、析法，是逆向思考的“寵兒”。思維取向二：從三角函數(shù)的角度切入方法(二)，又所以，即所以，故選B點(diǎn)評(píng) 公式是解決這類問(wèn)題較常見(jiàn)的方法，但學(xué)生使用時(shí)對(duì)的確定感到拿不定主意，這是概念不清造成失誤，再加上新教材已知三角函數(shù)值求角不作要求，所以學(xué)生基本上能想到，但解決不了。思維取向三：從誘導(dǎo)公式的角度切入方法(fngf)(三)由方法(二)，得，向左平移(pn y)個(gè)單位(dnwi)得即，從而得，故選B點(diǎn)評(píng) 本方法在構(gòu)思中比較獨(dú)特，讓人有拍案叫絕之感，利用平移的思想轉(zhuǎn)移問(wèn)題的切入口，使問(wèn)題得到巧妙地解決，這取決于對(duì)問(wèn)題的深入研究。思維取向四：從柯西不等式的角度切入方法（四）根據(jù)柯西不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等

6、號(hào)成立，從而得然，故選B點(diǎn)評(píng) 柯西不等式作為人教版選修4-5不等式選講中的內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，它是異于均值不等式的另一個(gè)重要不等式，此方法上選修內(nèi)容時(shí)講解感到特新奇，在利用柯西不等式求解，關(guān)鍵就是要構(gòu)造為柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和形式。思維取向五：從數(shù)列的角度切入方法（五）分析 由聯(lián)想到等差中項(xiàng)的知識(shí)，如果，則可設(shè)解：由，可設(shè)，由，得解得，則，所以，故選B點(diǎn)評(píng) 無(wú)論是解題思維，還是文化底蘊(yùn)，都如同小說(shuō)的故事情節(jié)，讓人回腸蕩氣，引人入勝。解題過(guò)程中，思考過(guò)程并非一帆風(fēng)順，往往曲曲折折，探究過(guò)程有如王安石在褒禪山所經(jīng)歷的那樣，當(dāng)我們體會(huì)到那種由于曲徑通幽而令人回腸蕩氣時(shí)，反思一番在所難免。

7、思維取向六：從三角函數(shù)的定義的角度切入方法（六）由三角函數(shù)定義得，其中則，可化為，所以(suy)即，化簡(jiǎn)得，所以(suy)，故選B點(diǎn)評(píng) 從三角函數(shù)的基本定義入手，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為定義中的幾個(gè)基本元素之間的關(guān)系式；顯而易見(jiàn)，真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)涵義，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大的促進(jìn)作用。因?yàn)橐磺械臄?shù)學(xué)性質(zhì)(xngzh)無(wú)不是從基本概念出發(fā)而逐步發(fā)展的，是否真正理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，決定了能否很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)性質(zhì)，這實(shí)際上也是一切數(shù)學(xué)問(wèn)題得以解決的基本前提。思維取向七：從平面向量的角度切入方法（七）令向量，則其中，所以，所以共線且方向相反，所以，即，故選B點(diǎn)評(píng) 在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，中學(xué)數(shù)學(xué)課程開(kāi)始關(guān)注角與向

8、量之間的聯(lián)系，在今后的課程教學(xué)中，解三角問(wèn)題能融入向量的內(nèi)容，并作為它們的應(yīng)用。新教材用平面向量?jī)?nèi)容代替老教材中的復(fù)數(shù)內(nèi)容，故也可用復(fù)數(shù)知識(shí)解決本題，這里就不加以解答，由讀者自己解決。思維取向八：從方程的角度切入方法（八）可得兩邊同時(shí)平方得，又，整理得，即,所以,從而得，故選B點(diǎn)評(píng) 由想到用方程解出的值，從而求得，這是一種大多數(shù)學(xué)生使用的方法，但由于學(xué)生計(jì)算能力弱等因素導(dǎo)致三角公式變形受阻，時(shí)間消耗過(guò)多之后倉(cāng)促選擇，導(dǎo)致錯(cuò)選。下一種方法解決了上一種方法計(jì)算量大這一問(wèn)題。方法（九）令 （1） （2），可知(k zh)，所以(suy)，從而(cng r)得，故選B思維取向八：從曲線方程的角度切入方

9、法（十）點(diǎn)是直線L:和圓C:交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得，所以，故選B點(diǎn)評(píng) 著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形本是一家親，數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微！”。從曲線方程利用其自身具備的幾何意義，所為數(shù)形結(jié)合是一種基本而有效的數(shù)學(xué)方法.它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀,是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一.由于它的直觀，快捷，許多同學(xué)對(duì)它青眼有加“言必形，形必果”。直線L和圓C相切于點(diǎn)M，就是直線OM的斜率，故得B思維取向九：從萬(wàn)能公式切入方法（十一）設(shè)，所以，求的值，即得B點(diǎn)評(píng) 由于教材中沒(méi)有萬(wàn)能公式，此方法學(xué)生不能接受，再加上運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可作為提高要求用。思維取向十：從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的角度切入方法（十二）設(shè)函

10、數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)即時(shí)，取到極值，而恰好是的最小值也就是極小值，所以，故選B點(diǎn)評(píng) 對(duì)于最值問(wèn)題往往會(huì)聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決最值問(wèn)題是較常規(guī)的方法。對(duì)于高中數(shù)學(xué)新課程中三角函數(shù)作為函數(shù)的作用顯得越來(lái)越突出。這也與20世紀(jì)初著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克萊因主張，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)該圍繞著函數(shù)展開(kāi)相一致。 以上1、2、8這三種解法，都是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練中比較常見(jiàn)的3種解法，不偏不怪，沒(méi)有超出學(xué)生視野，體現(xiàn)了高考“堅(jiān)持多角度，多層次考查”命題思路。思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等是發(fā)散思維的特性。通過(guò)與學(xué)生交談，學(xué)生都認(rèn)為可以運(yùn)用上述方法解題，但在解題中，對(duì)1、2、8這三種方法能想到，由于三角公式

11、記錯(cuò)、思維定勢(shì)（特別是一上來(lái)就對(duì)式子兩邊平方，之后陷入困境）、計(jì)算能力弱等因素導(dǎo)致三角公式變形受阻，時(shí)間消耗過(guò)多之后倉(cāng)促選擇，導(dǎo)致錯(cuò)選。運(yùn)用解法3、4、5、6、7、9、10、11、12解題的少之又少。反映學(xué)生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于用常規(guī)的解法解答常見(jiàn)的題型，解題的新意不夠，缺乏鉆研精神；教師在教學(xué)中，講得過(guò)多、過(guò)死，學(xué)法指導(dǎo)不夠，缺乏對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，應(yīng)試教育觀念太強(qiáng)。對(duì)解法3、4、9對(duì)于必修教材的解法，此解法具有思維流暢、解題明了、簡(jiǎn)潔自然等特點(diǎn)，體現(xiàn)了國(guó)家課程改革高中教學(xué)逐步走向新大綱、新教材過(guò)渡的必然，這也是認(rèn)為此題是一個(gè)好題的原因之一，它既體現(xiàn)了高考改革的命題方向，也體現(xiàn)了新課程發(fā)展的要求

12、。蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。從不同方向看問(wèn)題，就是(jish)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路，運(yùn)用不同的方法和不同的運(yùn)算過(guò)程，解答同一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，它屬于解題的策略問(wèn)題。就象鄭毓信教授認(rèn)為，“采取(ciq)前一種立場(chǎng)的即是所謂的數(shù)學(xué)(shxu)活動(dòng)論。數(shù)學(xué)活動(dòng)論的興起正是數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代發(fā)展的一個(gè)重要特點(diǎn)”。心理學(xué)研究表明，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，如果主體所接觸到的不是標(biāo)準(zhǔn)的模式化了的問(wèn)題，那么，就需要進(jìn)行創(chuàng)造性的思維，需要有一種解題策略，所以策略的產(chǎn)生及其正確性被證實(shí)的過(guò)程，常常被視為創(chuàng)造的過(guò)程或解決問(wèn)題的過(guò)程。而這種創(chuàng)造

13、點(diǎn)燃了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生鉆研。從不同方向看問(wèn)題，提供了一個(gè)很好的教師和學(xué)生相互交流的平臺(tái)。“數(shù)學(xué)是一種探索精神，是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，是一個(gè)思維的試驗(yàn)過(guò)程，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過(guò)程”，教學(xué)中，積極、適宜地進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的技能和技巧；有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與智慧的增長(zhǎng)；有利于開(kāi)拓學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。參考文獻(xiàn)1 孟昭蘭.普通心理學(xué).北京大學(xué)出版社2 浙江省普通高中新課程.學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn).浙江教育出版社3 不著葛為民 馮成火 張江琳 .2009年浙江省普通高考考試說(shuō)明（理科）. 4 李昌官 .數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)順其自然、追求自然.課程.教材.教法2005.125 羅增儒 .數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.陜西師范大學(xué)出版社. 2001.7第2版6 肖凌