2019_2020學年高中數(shù)學第1章立體幾何初步1.2.3空間中的垂直關系(第2課時)平面與平面垂直學案新人教B版

1、第2課時平面與平面垂直學習目標1.了解面面垂直的定義(重點)2.掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理(重點)3.靈活運用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決空間中的位置關系問題(難點)核心素養(yǎng)1.通過平面與平面垂直的定義學習，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).2.借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).1平面與平面垂直的判定(1)平面與平面垂直定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直畫法：記作：.(2)判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直圖形語言符號語言ll2.平面與

2、平面垂直的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面a符號語言laal圖形語言思考：若定理中的“交線”改為“一條直線”，結論會是什么？提示相交或平行1ABC所在的平面為，直線lAB，lAC，直線mBC，mAC，則直線l，m的位置關系是()A相交C平行B異面D不確定C因為lAB，lAC且ABACA，所以l平面ABC.同理可證m平面ABC，所以lm，故選C.2設平面平面，在平面內(nèi)的一條直線a垂直于平面內(nèi)的一條直線b，則()A直線a必垂直于平面B直線b必垂直于平面C直線a不一定垂直于平面D過a的平面與過b的平面垂直C當，在平面內(nèi)垂直交線的直線才垂直于平

3、面，因此，垂直于平面內(nèi)的一條直線b的直線不一定垂直于，故選C.3空間四邊形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBCDADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.4平面平面，l，n，nl，直線m，則直線m與n的位置關系是_平行因為，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.平面與平面垂直的判定【例1】如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC.證明連接AC，BC，則BCAC，又PA平面ABC，BC平面AB

4、C，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.證明面面垂直的方法1判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；2性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面1如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上求證：平面AEC平面PDB.證明ACBD，ACPD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.面面垂直性質(zhì)定理的應用【例2】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形且DAB60，側

5、面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD的中點，求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB.思路探究(1)菱形ABCD，DAB60ABD為正三角形面PAD底面ABCDBGADBG平面PAD(2)要證ADPB，只需證AD平面PBG即可證明(1)如圖，在菱形ABCD中，連接BD，由已知DAB60，ABD為正三角形，G是AD的中點，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如圖，連接PG.PAD是正三角形，G是AD的中點，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB.1面面垂直的性質(zhì)定理，

6、為線面垂直的判定提供了依據(jù)和方法所以當已知兩個平面垂直的時候，經(jīng)常找交線的垂線，這樣就可利用面面垂直證明線面垂直2兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線2.如圖所示，四棱錐VABCD的底面是矩形，側面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求證：平面VBC平面VAC.證明平面VAB底面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.垂直關系的綜合應用探究問題1.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為a的正方

7、形，側棱PDa，PAPC2a，你能證明PD平面ABCD嗎？ADDB，點C為圓O上一點，且BC3AC，P為母線SA上的點，其在底面圓O上的正投影提示PDa，DCa，PC2a，PC2PD2DC2，PDDC.同理可證PDAD，AD平面ABCD，DC平面ABCD，且ADDCD，PD平面ABCD.2如圖所示，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且13為點D，求證：PACD.提示連接CO(圖略)，由3ADDB知，D為AO的中點，又AB為圓O的直徑，ACCB，由3ACBC知，CAB60，ACO為等邊三角形，從而CDAO.點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD平面ABC，又CD平

8、面ABC，PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，PACD.3試總結線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化關系提示垂直問題轉化關系如下所示：【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點求證：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.思路探究(1)證明ENDM；(2)由ADBC可證AD平面PEB；(3)利用(2)可證PB平面ADMN.證明(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC.又平

9、面ADMN平面PBCMN，ADMN.MNBC且MNBC，又BCAD，MNBC.又N是PB的中點，點M為PC的中點12又E為AD的中點，MNDE，且MNDE.四邊形DENM為平行四邊形ENDM，且EN平面PDC，DM平面PDC.EN平面PDC.(2)四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且BAD60，BEAD.又側面PAD是正三角形，且E為AD中點，PEAD，BEPEE，AD平面PBE.又ADBC，BC平面PEB.(3)由(2)知AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB.又PAAB，N為PB的中點，ANPB.且ANADA，PB平面ADMN.又PB平面PBC.平面PBC平面ADMN.垂直關系的相互轉化

10、在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：提醒：應用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點：兩個平面垂直是前提條件；直線必須在其中一個平面內(nèi)；直線必須垂直于它們的交線3如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，ABBC，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC.證明(1)因為PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC，所以PABD.(2)因為ABBC，D為AC的中點，所以BDAC.由(1)知，PABD，又AC

11、PAA，所以BD平面PAC.因為BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.1本節(jié)課的重點是掌握兩個平面互相垂直的定義和畫法，理解并掌握兩個平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，并能解決有關面面垂直的問題難點是綜合利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理解決關于垂直的問題2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)利用線面垂直的性質(zhì)證明平行問題(2)應用面面垂直的判定與性質(zhì)證明垂直問題(3)掌握垂直關系的轉化3本節(jié)課的易錯點是垂直關系轉化中易出現(xiàn)轉化混亂錯誤.1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)如果兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)的一條直線不一定垂直于另一個平面()(2)如果兩個平面互相垂直，那么過交線上的一

12、點垂直于交線的直線，垂直于另一個平面()(3)如果兩個平面互相垂直，那么分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線分別垂直()答案(1)(2)(3)提示(1)正確(2)錯誤必須要在其中一個平面內(nèi)作直線才能成立(3)錯誤可能平行，也可能相交或異面2下列命題中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面，其他與交線不垂直的直線均不與平面垂直，故D項敘述是錯誤的3下列四個命題中，正確的序號有_，則；，則；，則；，則.不正確，如圖所示，但，相交且不垂直4(2019全國卷)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積解(1)由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG