教師版-5升602數(shù)論綜合三

1、五升六暑期第 02 講數(shù)論綜合（三）基礎(chǔ)知識（1）公約數(shù)和最大公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12 的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；18 的約數(shù)有：1，2， 3，6，9，18。12 和 18 的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。提問：為什么不最約數(shù)？因為任意兩個非零自然數(shù)的最約數(shù)都為 1，所以沒有必要。（2）公倍數(shù)和最叫做這幾個數(shù)的最倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，倍數(shù)。例如：12 的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，18 的倍

2、數(shù)有：18，36，54，72，12 和 18 的公倍數(shù)有：36，72，.其中 36 是 12 和 18 的最數(shù)，記作12，18=36。倍提問：為什么不最大公倍數(shù)？因為最大公倍數(shù)無窮大，找不出來，所以沒有必要。互質(zhì)數(shù):如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。即(a,b)=1,則 a 與 b互質(zhì)。除，除以、被除，整除，被整除，等概念區(qū)分：巧計：除，除以，被除有用，其他字眼忽略。A 除以 B， A 被 B 除，B 除 A，用 B 去除 A，A 能被 B 整除， B 整除 A，可寫成 AB 的形式。求最大公約數(shù)，最多個數(shù)求大公約，倍。最大公約數(shù)與最倍數(shù)的方法：短除法，輾轉(zhuǎn)相除法（算法）。

3、倍的方法：分解質(zhì)因數(shù)后取公共部分得大公約，取高次方得倍數(shù)關(guān)系：（a，b）a，b=ab，證明過程見例題。（7）所有約數(shù)個數(shù)公式：嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，指數(shù)加 1 再連乘。（每個因子有不取,取 1,取 2種取法）奇約數(shù)個數(shù)公式：嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，奇因子的指數(shù)加 1 再連乘。(不能取 2)偶約數(shù)個數(shù)公式：嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，因子 2 的指數(shù)乘以其他因子的指數(shù)加 1 的積。（必須取2）含因子 A 的約數(shù)個數(shù)：嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，A 的指數(shù)乘以其它因子的指數(shù)加 1 后的乘積。（必須取 A）所有約數(shù)和公式:嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，質(zhì)因子從 0 次方加到最高次方再連乘（每個因子指數(shù)加1 種取法）奇約數(shù)的和：嚴格分解質(zhì)因數(shù)

4、后，奇因子從 0 次方加到最高次方再連乘。（不能取 2）偶約數(shù)的和：因子 2 從 1 次方加到最高次方乘以其它因子從 0 次方加到最高次方的積。（必須取 2）含因子約數(shù)A 的和：因子 A 從 1 次方加到最高次方乘以其它因子從 0 次方加到最高次方的積。(必須取 A)（8）只有完全平方數(shù)才有奇數(shù)個約數(shù)，只有質(zhì)數(shù)的平有 3 個約數(shù)。一般的數(shù)有偶數(shù)個約4000-636-566，群,536464661/ 8數(shù)，且約數(shù)成對出現(xiàn)。1-21 的這 21 個數(shù)的平方要求學(xué)員要熟記，會在各種題型中用到。A：整除特征：(1)能被 2 整除的數(shù)，看末 1 位（個位）能被 5 整除的數(shù)，看末 1 位原因：25=10

5、原因：425=100 原因：8125=1000原因：16625=10000能被 4 整除的數(shù)，看末 2 位能被 8 整除的數(shù)，看末 3 位能被 16 整除的數(shù)，看末 4 位能被 3(或 9)整除的數(shù)，任意 能被 25 整除的數(shù)，看末 2 位能被 125 整除的數(shù)，看末 3 位 能被 625 整除的數(shù)，看末 4 位，看數(shù)（字）之和除以 3（或 9）。(6)能被 99 整除的數(shù)，兩位一段，看和除以 99 的余數(shù)。能被 7、11、13 整除的數(shù)，從低位開始，每 3否整除。原因：71113=1001能被 11 被整除的數(shù)，從低位開始，每 1除。B：被 7,13 整除的幾種常用形式：，奇位和偶位和，以大

6、減小，看差能，奇位和偶位和，以大減小，看差能否整ababab= ab10101=ab371337abcabc=abc1001=abc71113abcdabcdabcd=abcd100010001=abcd3713379901C：求末幾位的整除數(shù)，常用試除法。十進制與二進制的互相轉(zhuǎn)化，當寫上一個數(shù)目 1997 時，實際上意味著使用了“十進制”數(shù)，即1997=11000+9100910+71也就是說：1997 中含有一個 1000，九個 100，九個 10 與七個 1。二進制數(shù) 10 表示十進制數(shù) 2；二進制數(shù) 100，表示十進制數(shù) 4；二進制數(shù) 1000，表示十進制數(shù) 8；二進制數(shù) 10000

7、表示十進制數(shù) 16；可以看出規(guī)律：二進制數(shù) 100000 應(yīng)該表示十進制數(shù) 32，。那么寫下一個二進制數(shù) 10110，則應(yīng)表示它含有一個 16，一個 4 與一個 2，也就是 10110=116+08+14+12+01明白了上面所說的兩點，則二進制與十進制之間的轉(zhuǎn)化的道理就容易懂了。為了敘述的方便，約定：用（ ）2 表示括號內(nèi)寫的數(shù)是二進制數(shù)，如（1011）2；用（ ）10 表示括號中寫的數(shù)是十進制數(shù)，如（37）10。用“短除求余、逆序求解”的方法，可以把十進制數(shù)改寫十進制數(shù)。如，將 37 改寫成二進制數(shù)，可以按下面的方法進行換算：所以37（100101）2【經(jīng)典例題】(本題很重要，知識點豐富)

8、數(shù) 360 的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?有多少個奇約數(shù)？奇約數(shù)的和為多少？含因子 2 的約數(shù)？含因子 2 的約數(shù)的和？【分析與解】（1）360 分解質(zhì)因數(shù):360=222335=23325；由乘法原理取因子 2 共有 4 種取法：0，1，2，3取因子 3 共有 3 種取法：0，1，2取因子 5 共有 2 種取法：0，1：4000-636-566，群,536464662/ 8所以約數(shù)有（3+1）(2+1) (1+1)=24 個約數(shù)。（2）所有約數(shù)的和： (1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)=1170（3）求奇約數(shù)個數(shù)，也就是含因子 2 的不取，由乘法原理個奇約數(shù)個數(shù)：(2+1

9、)(1+1)=6（4）奇約數(shù)的和：不計含因子 2 的，由乘法原理：(1+3+32)(1+5)=78（5）含因子 2，則因子 2 不能取 0 次，所以含因子 2 的約數(shù)個數(shù)為 3(2+1) (1+1)=18 個約數(shù)。余數(shù)考點1、被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)2、和差積的余數(shù)同余余數(shù)的和差積，考周期時，周期一般不超過 30。3、求除數(shù)用同余定理，關(guān)鍵在于找出除數(shù) x 的倍數(shù)。余數(shù)不同時通過加法乘法化成相同。ax 余 r, bx 余 r，則| |是 x 的倍數(shù),x 是| |的約數(shù)。ax 余 r, bx 余 2r，則|2 |是 x 的倍數(shù),x 是|2 |的約數(shù)。4、個位數(shù)字：（a 是常數(shù)）的

10、個位數(shù)字都可以看成 4 次方 1 個周期。除以 10 或除以 5 所得余數(shù)都可以看成 4 次方 1 周期。除以非 10 非 5 所得余數(shù)的周期沒有固定規(guī)律，細心求解。5、日期與：包含與不包含兩種思考方式，注意區(qū)分。6、數(shù)列數(shù)表的周期問題，常用余數(shù)求解，以簡化題目難度，方便求解。7、求被除數(shù) x 用余數(shù)三大類問題: 逐步滿足條件法求出最小解。加上倍的倍數(shù)得到通A：x=最倍數(shù)的倍數(shù)+余數(shù)x31，則 x=2, 3n+1=6n+1倍數(shù)的倍數(shù)-差x32，則 x+1=2, 3n=6n,x=6n-1x21, B：差同：x=最 x21,C：都不同：用不定方程，對較小的系數(shù)求余數(shù)，逐步滿足條件法求出最小倍的倍數(shù)

11、得到通解。例題中講解方法，常考難點。加上如果7338的結(jié)果是99 的倍數(shù)，那么所代表的兩位數(shù)是。【】因為 99=119，根據(jù) 9 和 11 的倍數(shù)特征 73 不可能是 11 的倍數(shù)只能是 9 的倍數(shù)，所以=8；38要想是 11 的倍數(shù)=5；=85。兩個數(shù)的最倍數(shù)是 1650。這兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到的兩個商的和是 13。這兩個整數(shù)分別是多少？【】1650235511。在 1650 的約數(shù)中，互質(zhì)且和為 13 的只有 2，11 和 3， 10。 165021175；752150，7511825；165031055553165，5510550,這兩個整數(shù)是 150，825 或 16

12、5，550。4000-636-566，群,536464663/ 8(199419941995199519961996)1997199719981998 算式的個位數(shù)是多少？（注：1994 是 1994 個 1994 相乘）【】19941994 的個位數(shù)是 6，19951995 的個位數(shù)是 5，19961996 的個位數(shù)是 6。1997n 的個位數(shù)字，按照 7、9、3、1 循環(huán)，19974 余數(shù)是 1，19971997 的個位數(shù)是 7。1998n 的個位數(shù)字，按照 8、4、2、6 循環(huán)，19984 余數(shù)是 2，19981998 的個位數(shù)是 4。因此，題中算式的個位數(shù)與(656)74 的個位數(shù)相同

13、。所以，所求的個位數(shù)是 6。一個自然數(shù)，除以 11 時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以 9 時所得到的商是余數(shù)的 3 倍，這個自然數(shù)是?！尽吭O(shè)這個自然數(shù)除以 11 余a (0 a 11) ，除以 9 余b (0 b 9) ，則有11a a 9 3b b ，即3a 7b ，只有a 7 ， b 3 ，所以這個自然數(shù)為12 7 84 。找出這樣一組連續(xù)的三個自然數(shù)使它們從小到大分別是 3、5、7 的倍數(shù)。滿足條件的自然數(shù)最小的一組是那三個數(shù)？【】可以先從這組數(shù)中最大的一個數(shù)入手，這個數(shù)除以 7 余 0，除以 5 余 1，除以 3 余 2。根據(jù)剩余定理不難找到這個數(shù)是 56；那么這組數(shù)從小到大分別是 5

14、4、55、56。家的號碼是個七位數(shù)，它恰好是一個 100 以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)與另外幾個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積，這個積的后四位恰好是前三位的 10 倍，家的號碼是?！尽刻柎a的個位是 0，并且形如。1001101001102571113所以這個號碼是 97 與從 2 開始的若干個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積。經(jīng)測算，得到 97235711132912910在 724 左邊添上一個數(shù)字 a，右邊添上一個數(shù)字 b，組成一個五位數(shù)，如果這個五位數(shù)是 12 的倍數(shù)，那么 ab 的最大值是?！尽恳驗槭?12 的倍數(shù)，必是 4 的倍數(shù)，所以 b 最大是 8。4000-636-566，群,536464664/ 8又因為必是 3 的倍數(shù)，

15、所以（a724b）是 3 的倍數(shù)，所以 a 最大是 9。ab 的最大值是 8972。答：ab 的最大值是 72。N 為正整數(shù)，將它除以 10 余數(shù)為 9；將它除以 9 余數(shù)為 8；將它除以 8 余數(shù)為7；將它除以 2 余數(shù)為 1。請問滿足上述條件的 N 的最小值是多少？【】10、9、8、7、6、5、4、3、22520。252012519。問 101102103199200 這 100 個數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的零？200200200100100】 + -=2525【5251255(1)211（5）=】（1）211（5）=56（10）（2）2011（10）=（10）（2）【（2）2011（1

16、0）=11111011011（2）起 102007 天后的那一天是若是六，從幾？【】因為 1073,10272，10376，10474，10575，10671，余數(shù)是 6 個一循環(huán)。200763；第三個余數(shù)是 6，從周六開始數(shù)六個后面的一天是周五。一個自然數(shù)最小的兩個因數(shù)的和是 4，最大的兩個因數(shù)的和為 540，那么這個自然數(shù)一共有多少個因數(shù)？【】一個自然數(shù)最小的因數(shù)是 1，所以這個數(shù)的第二小的因數(shù)是 4-1=3，那么這個數(shù)就是它第二大因數(shù)的 3 倍。這個數(shù)是 540（3+1）3=405,405=53333，這個數(shù)的因數(shù)個數(shù)為（4+1）（1+1）=10（個）。一個自然數(shù)可以分解為三個質(zhì)因數(shù)的積

17、。如果 3 個質(zhì)因數(shù)的平方和是7950，這個自然數(shù)是。4000-636-566，群,536464665/ 8【】3 個質(zhì)數(shù)的平方和7950。這是一個偶數(shù)，因此這 3 個質(zhì)數(shù)中必有 2。另外兩個質(zhì)222數(shù)均為奇質(zhì)數(shù)。設(shè)為 p ，p ,則 + =7950-2 =79461212由于奇數(shù)的平方的個位數(shù)只能取值 1、5、9。但 7946 的個位數(shù)是 651，所以2，2的12個位數(shù)只能是 1 和 5。由于 15、25、35均不是質(zhì)數(shù)，所以，這個奇質(zhì)數(shù)只能是 5。于是又有2=7946-52=7921=8921所以自然數(shù)為 2589890。若 2836，4582，5164，6522 四個自然數(shù)都被同一個自然

18、數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為?！尽吭O(shè)除數(shù)為 A。因為 2836，4582,5164，6522 除以 A 的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被 A 整除。又因為余數(shù)是兩位數(shù)，所以 A 至少是兩位數(shù)。 5164 4582 582 ，6522 5164 1358 ，因為(582,1358) 194 ，所以 A 是 194 的大于 10 的約數(shù)。194 的大于 10 的約數(shù)只有 97 和 194。如果 A 194 ， 2386 194 14 120 ，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符。如果 A 97 ，經(jīng)檢驗，余數(shù)都是 23，除數(shù) 余數(shù) 97 23 120 。自然數(shù)的平方按從小到大排成 、

19、 、 、個位置的數(shù)字是幾？、 、.問第 612【】13 的平方是一位數(shù)，占去 3 個位置；49 的平方是二位數(shù)，占去 12 個位置；1031 的平方是三位數(shù)，占去 66 個位置；3299 的平方是四位數(shù)，占去 272 個位置；將 1 到 99 的平方排成一行，共占去 31266272353 個位置，從 612 減去 353，還有 259 的平方。2595154。從 100 起到 150，共 51 個數(shù)。它們的平方都是五位數(shù)，要占去 259 個位置中的 255 個從左到右的每 4 個位置上是 0，這就是本題的，即第 612 個位置上的數(shù)是 0。1122334455667

20、78899 除以 3 的余數(shù)是幾？】上式各項中，33、66、99 除以 3 余數(shù)得 0，所以只須看表達式 112244557788。任何不是 3 的倍數(shù)的自然數(shù)，必可表示為 3k1 或 3k2，其中 k 是某個非負【除以 3整數(shù)。而(3k1)29k26k1,(3k2)29k212k31?？梢?，不是 3 的倍數(shù)的自然數(shù)的平方，除以 3 余數(shù)都是 1，即都可表示為 3 的某數(shù)的倍數(shù)加 1。4000-636-566，群,536464666/ 8令 111，2231，44(42)23m 1，55(52)25(3m 1)(32)9m 36m 2122272 383m32，7 (7 ) 7(3m41)(6

21、1)3m51，8 8423m61。綜上可見，原式除以 3 的余數(shù)，是 1112117 除以 3 的余數(shù)，所以余數(shù)是 1。若數(shù)20182018n個2018201801可被 11 整除。請問 n 的最小值是多少？【】偶數(shù)位數(shù)字和:1(80)n18n。奇數(shù)位數(shù)字和:0(12)n3n。于是，18n3n15n，即(15n)要被 11 整除。N 最小取 2。課堂中的例題建議重做一遍，再做課后練-3 道不會為正?，F(xiàn)象。1四個連續(xù)自然數(shù)的和等于 54，那么這四個數(shù)的最倍數(shù)的是 _。10【】這四個數(shù)中間兩個數(shù)的和為 5424=27, 27=13+14 ，那么這四個數(shù)為 12,13,14,15112,13,14,

22、15=5460。5460 =546。10一些四位數(shù)，百位數(shù)字都是3，十位數(shù)字都是6，并且他們既能被2 整除又能被3 整除。甲是這樣四位數(shù)中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數(shù)的千位數(shù)字和個位數(shù)字（共四個數(shù)字）的總和是。【】設(shè)這個四位數(shù)為 A36B，因為甲是最大的，所以 A=9，根據(jù) 2,3 的整除特征 B=6。乙是最小的 A=1 那么 B=2。那么和為 1+2+6+9=18?；?1325)8 為二進制數(shù)?！尽慷M制數(shù)與八進制數(shù)有著特殊的關(guān)系，這是因為 2以，一位八進制數(shù)相當于三位二進制數(shù)，如：(1)8(001)2 (2)8(010)2 (3)8(011)2 (4)8(110)2(5)8(101)2 (6)8(110)2 (7)8(111)2所以，(1325)8(001011010101)2(1011010101)2。4000-636-5