知識(shí)講解 二項(xiàng)式定理理提高110

1、第 PAGE15 頁(yè) 二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并駕馭二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法 2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決及二項(xiàng)綻開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對(duì)于隨意正整數(shù),都有：這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理， 等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)綻開式。式中的做二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為綻開式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2二項(xiàng)式(a+b)n的綻開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)

2、n字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)綻開式：要點(diǎn)二, 二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：它表示二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；a及b的次數(shù)之和為n。 要點(diǎn)詮釋： （1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)和(b+a)n的二項(xiàng)綻開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)分的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨意交換位置的 （2）通項(xiàng)是針對(duì)在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(ab)n的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)是（只需把b看成b代入二項(xiàng)式定理）。要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角

3、和二項(xiàng)綻開式的推導(dǎo)。在我國(guó)南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,時(shí),如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的綻開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n綻開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個(gè)括號(hào)中取r個(gè)b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù) 2.的

4、綻開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù), , 具有如下性質(zhì)：對(duì)稱性：二項(xiàng)綻開式中，及首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；增減性及最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分漸漸增大，在后半部分漸漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)綻開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)綻開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大.各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；二項(xiàng)綻開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即。要點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)及綻開式的系數(shù)的區(qū)分二項(xiàng)綻開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，綻開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不肯定相等。如(ab)n的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)是，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都

5、是，但項(xiàng)的系數(shù)是，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念3.綻開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：綻開式中含的系數(shù)為要點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的綻開式問(wèn)題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。要點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.求綻開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于隨意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過(guò)對(duì)a, b取不同的特別值）可解決及二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，留意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避開漏項(xiàng)等狀況。設(shè)令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項(xiàng)式定

6、理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關(guān)的不等式問(wèn)題：有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)綻開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再依據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。；（）如：求證：5.進(jìn)行近似計(jì)算：求數(shù)的次冪的近似值時(shí)，把底數(shù)化為最靠近它的那個(gè)整數(shù)加一個(gè)小數(shù)(或減一個(gè)小數(shù))的形式。當(dāng)充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：如：求的近似值，使結(jié)果精確到0.01；【典型例題】類型一, 求二項(xiàng)綻開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1. 求的二項(xiàng)式的綻開式 【思路點(diǎn)撥】 依據(jù)二項(xiàng)式的綻開式或按通項(xiàng)依次寫出每一項(xiàng)，但要留意符號(hào)【

7、解析】 （1）解法一：解法二：【總結(jié)升華】 記準(zhǔn), 記熟二項(xiàng)式(a+b)n的綻開式，是解答好及二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件，對(duì)較困難的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再綻開會(huì)更簡(jiǎn)捷舉一反三：【變式】求的二項(xiàng)式的綻開式【答案】先將原式化簡(jiǎn)。再綻開例2試求：（1）(x3)5的綻開式中x5的系數(shù)；（2）(2x2)6的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)；【思路點(diǎn)撥】先依據(jù)已知條件求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后再求綻開式中含x的項(xiàng)因?yàn)轭}中條件和求解部分都涉及指定項(xiàng)問(wèn)題，故選用通項(xiàng)公式【解析】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數(shù)（2）Tr1(2x2)6-r(1)r26-r依題意123r0，解得r4故2260為所

8、求的常數(shù)項(xiàng)【總結(jié)升華】1.利用通項(xiàng)公式求給定項(xiàng)時(shí)避開出錯(cuò)的關(guān)鍵是弄清共有多少項(xiàng),所求的是第幾項(xiàng),相應(yīng)的是多少；2. 留意系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)分；3. 在求解過(guò)程中要留意冪的運(yùn)算公式的精確應(yīng)用。舉一反三：【變式1】求的綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)及的系數(shù).【答案】，；通項(xiàng)，故綻開式中的二項(xiàng)式系數(shù)為，的系數(shù)為.【變式2】求的綻開式中的第4項(xiàng).【答案】；【變式3】（1）求的綻開式常數(shù)項(xiàng)； （2）求的綻開式的中間兩項(xiàng)【答案】，（1）當(dāng)時(shí)綻開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為；（2）的綻開式共項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第項(xiàng), 第項(xiàng)，例3 求二項(xiàng)式的綻開式中的有理項(xiàng) 【思路點(diǎn)撥】 綻開式中第r+1項(xiàng)為，綻開式中的有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)

9、中x的指數(shù)為正整數(shù)的項(xiàng)【解析】 設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，即r=0，2，4，6，8時(shí)，。 二項(xiàng)式的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)：；有理項(xiàng)是第1項(xiàng)：x20，第3項(xiàng)：，第5項(xiàng)：，第7項(xiàng)：，第9項(xiàng)：【總結(jié)升華】 求有理項(xiàng)是對(duì)x的指數(shù)是整數(shù)狀況的探討，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號(hào)的要求舉一反三：【變式】假如在 的綻開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求綻開式中的有理項(xiàng)?！敬鸢浮浚?）綻開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項(xiàng)為。類型二, 二項(xiàng)式之積及三項(xiàng)式綻開問(wèn)題例4求的綻開式中的系數(shù).【思路點(diǎn)撥】 將變形為，要使兩個(gè)因式的乘積

10、中出現(xiàn)，依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類探討：當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為；也可以利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬旱耐?xiàng)公式（），分三類探討：（1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為，即；（2）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為，即；（3）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為，即；故綻開式中的系數(shù)為。解法二：的通項(xiàng)公式（），的通項(xiàng)公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為。舉一反三：【變式1】求的綻開式中的系數(shù).【答案】；的通項(xiàng)公式（），分二類探討：（1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為，即；（2）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)當(dāng)為，即；故綻開式中的系

11、數(shù)為?！咀兪?】在(1x)5(1-x)4的綻開式中，x3的系數(shù)為_【答案】 (1x)5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中(1-x2)4綻開的通項(xiàng)為(-x2)r，故綻開式中x3的系數(shù)為-4例5. 求(1+x+x2)8綻開式中x5的系數(shù)【思路點(diǎn)撥】要把上式綻開，必需先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理綻開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理綻開【解析】 解法一：(1+x+x2)8=1+(x+x2)8，所以，則x5的系數(shù)由(x+x2)r來(lái)確定，令r+k=5，解得或或。含x5的系數(shù)為。解法二：則綻開式中含x5的系數(shù)為。 解法三：(1+

12、x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2)（共8個(gè)），這8個(gè)因式中乘積綻開式中形成x5的來(lái)源有三： （1）有2個(gè)括號(hào)各出1個(gè)x2，其余6個(gè)括號(hào)恰有1個(gè)括號(hào)出1個(gè)x，這種方式共有種； （2）有1個(gè)括號(hào)出1個(gè)x2，其余7個(gè)括號(hào)中恰有3個(gè)括號(hào)各出1個(gè)x，共有種；（3）沒有1個(gè)括號(hào)出x2，恰有5個(gè)括號(hào)各給出1個(gè)x，共有種所以x5的系數(shù)是【總結(jié)升華】 高考題中，常出現(xiàn)三項(xiàng)式綻開或兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的綻開問(wèn)題，所用解法一般為二項(xiàng)式定理綻開，或?qū)⑷?xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式舉一反三：【變式1】的綻開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】 = 所求綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是-20【變式2】在(1+x+px2)10的綻開式中，試

13、求使x4的系數(shù)為最小值時(shí)p的值【答案】由通項(xiàng)，又(1+px)r的通項(xiàng)為。而m+r=4，且0mr10。，或，或。x4的系數(shù)為僅當(dāng)p=4時(shí)，x4的系數(shù)為最小。類型三：有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算的問(wèn)題例6. （1）求(1+2x)7綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求(12x)7綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?！舅悸伏c(diǎn)撥】 利用綻開式的通項(xiàng)，得到系數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值?！窘馕觥?（1）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有即，解得，即，r=5。系數(shù)最大的項(xiàng)為。（2）綻開式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一, 三, 五, 七這四項(xiàng)中取得。又因(12x)7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)肯定值大于前項(xiàng)系數(shù)肯定值，故系數(shù)最大的項(xiàng)必

14、在中間或偏右，故只須要比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可，所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，?！究偨Y(jié)升華】求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是解一個(gè)不等式組。舉一反三：【變式】設(shè)綻開式的第10項(xiàng)系數(shù)最大，求n. 【答案】綻開式的通項(xiàng)為第10項(xiàng)系數(shù)最大，又n=13或n=14【變式2】 已知的綻開式中第五, 六, 七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)?！敬鸢浮?因?yàn)椋?。即n221n+98=0，解得n=14或7。當(dāng)n=14時(shí)，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，。當(dāng)n=7時(shí)，第4項(xiàng)及第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，類型四, 利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。例7. 已知(12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求

15、：（1）a1+a2+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|。【思路點(diǎn)撥】求綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法【解析】 令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令x=1，則a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，（1）因?yàn)閍0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+a7=2。（2）由（）2得。（3）由（+）2得。（4）方法一：因?yàn)?12x)7綻開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(

16、a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x)7綻開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，所以|a0|+|a1|+|a7|=37=2187。【總結(jié)升華】 求綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法?！百x值法”是解決二項(xiàng)式系數(shù)常用的方法，依據(jù)題目要求，敏捷賦給字母不同的值。一般地，要使綻開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x=0可得常數(shù)項(xiàng)，令x=1可得全部項(xiàng)系數(shù)之和，令x=1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和及奇次數(shù)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項(xiàng)綻開式中含負(fù)值時(shí)，令x=1則可得各項(xiàng)系數(shù)肯定值之和。舉一反三：【變式1】已知，求：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，綻開式右邊為當(dāng)時(shí)，（2）令， 令， 得：， .（3）由綻開式知：均為負(fù)，均為正，由（2）中+ 得：，舉一反三：【變式1】求值：.【答案】【變式2】設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的值【答案】令得：類型四, 二項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用例8.求證：（）能被64整除.【思路點(diǎn)撥】可將化成再進(jìn)行綻開,化簡(jiǎn)即可證得.【解析】故（）能被64整除?！究偨Y(jié)升華】利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明,須要多項(xiàng)式綻開后的各項(xiàng)盡量多的含有的式子.舉一反三：【變式1】求證能被10整除【答案】故能被10整除。例9：當(dāng)且1，求證【解析】 從而【總結(jié)升華】 用二項(xiàng)式定理證明不等式時(shí)，依據(jù)n的最小值，確定綻開的最少項(xiàng)，然后分析詳細(xì)狀況確定其中有多