《理論力學(xué)》精品課件-虛位移原理

1、第15章 虛位移原理虛位移原理應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問題，是研究靜力學(xué)平衡問題的另一途徑。虛位移原理與達朗貝爾原理結(jié)合起來組成動力學(xué)普遍方程，為求解復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題提供了另一種普遍方法，構(gòu)成了分析力學(xué)的根底。本課程只介紹虛位移原理的工程應(yīng)用，而不按分析力學(xué)的體系追求其完整性和嚴密性。15-1 約束虛位移虛功一、約束及其分類1約束和約束方程1約束定義在第一章，我們將限制物體位移的周圍物體稱為該物體的約束。為研究上的方便，現(xiàn)將約束定義為：限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動的條件稱為約束。2約束方程表示限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。2幾何約束和運動約束1幾何約束限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾

2、何位置的條件稱為幾何約束。例如圖15-1所示單擺，其中質(zhì)點M可繞固定點O在平面Oxy內(nèi)擺動，擺長為l。圖15-1這時擺桿對質(zhì)點的限制條件是：質(zhì)點M必須在以O(shè)點為圓心、以l為半徑的圓周上運動。假設(shè)以x，y表示質(zhì)點的坐標，那么其約束方程為。又如質(zhì)點M在圖15-2所示固定曲面上運動，那么曲面方程就是質(zhì)點M的約束方程，即圖15-2又例如，在圖15-3所示曲柄連桿機構(gòu)中，連桿AB所受約束有：點A只能作以點O為圓心、以r為半徑的圓周運動；點B與點A間的距離始終保持為桿長l；點B始終沿滑道作直線運動。這三個條件以約束方程表示為圖15-3上述例子中各約束都是限制物體的幾何位置，因此都是幾何約束。2運動約束在力

3、學(xué)中，除了幾何約束外，還有限制質(zhì)點系運動情況的運動學(xué)條件，稱為運動約束。例如，圖15-4所示車輪沿直線軌道作純滾動時，車輪除了受到限制其輪心A始終與地面保持距離為r的幾何約束yA=r外，還受到只滾不滑的運動學(xué)的限制，即每一瞬時有上述約束就是運動約束，該方程即為約束方程。圖15-4設(shè)xA和分別為點A的坐標和車輪的轉(zhuǎn)角，有，。那么上式又可改寫為3定常約束和非定常約束1非定常約束圖15-5為一擺長l隨時間變化的單擺，圖中重物M由一根穿過固定圓環(huán)O的細繩系住。圖15-5設(shè)擺長在開始時為l0，然后以不變的速度v拉動細繩的另一端，此時單擺的約束方程為由上式可見，約束條件是隨時間變化的，這類約束稱為非定常約

4、束。2定常約束不隨時間變化的約束稱為定常約束，在定常約束條件下的約束方程中不顯含時間t，圖15-1所示單擺的約束是定常約束。4其他約束1非完整約束和完整約束。如果約束方程中保含坐標對時間的導(dǎo)數(shù)如運動約束，而且方程不可能積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。非完整約束方程總是微分方程的形式。 反之，如果約束方程中不包含坐標對時間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的微分項可以積分為有限形式，這類約束稱為完整約束。例如，在上述車輪沿直線軌道作純滾動的例子中，其運動約束方程雖是微分方程形式，但它可以積分為有限形式，所以仍是完整約束。完整約束方程的一般形式為式中n為質(zhì)點系的質(zhì)點數(shù)，s為完整約束的方程數(shù)。2雙側(cè)約束

5、和單側(cè)約束在前述單擺的例子中，擺桿是一剛性桿，它限制質(zhì)點沿桿的拉伸方向位移，又限制質(zhì)點沿桿的壓縮方向的位移，這類約束稱為雙側(cè)約束或稱為固執(zhí)約束，雙側(cè)約束的約束方程是等式。假設(shè)單擺是用繩子系住的，那么繩子不能限制質(zhì)點沿繩子縮短方向的位移，這類約束稱為單側(cè)約束或稱為非固執(zhí)約束，單側(cè)約束的約束方程是不等式。例如，單側(cè)約束的單擺，其約束方程為這里只討論定常的雙側(cè)幾何約束，其約束方程的一般形式為式中n為質(zhì)點系的質(zhì)點數(shù)，s為約束的方程數(shù)。二、虛位移1虛位移的概念在靜止平衡問題中，質(zhì)點系中各個質(zhì)點都不動。我們設(shè)想在約束允許的條件下，給某質(zhì)點一個任意的、極微小的位移。例如在圖15-2中，可設(shè)想質(zhì)點M在固定曲面

6、上沿某個方向有一極小的位移。在圖15-3中，可設(shè)想曲柄在平衡位置上轉(zhuǎn)過任一極小角，這時點A沿圓弧切線方向有相應(yīng)的位移，點B沿導(dǎo)軌方向有相應(yīng)的位移。上述兩例中的位移，都是約束允許的、可能實現(xiàn)的某種假想的極微小的位移。在某瞬時，質(zhì)點系在約束允許的條件下，可能實現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。虛位移用符號表示，它是變分符號，“變分包含有無限小“變更的意思。2虛位移與實際位移的區(qū)別必須注意，虛位移與實際位移簡稱實位移是不同的概念。實位移是質(zhì)點系在一定時間內(nèi)真正實現(xiàn)的位移，它除了與約束條件有關(guān)外，還與時間、主動力以及運動的初始條件有關(guān)；而虛位移僅與約束條件有關(guān)。因為虛

7、位移是任意的無限小位移，所以在定常約束的條件下，實位移只是虛位移中的一個，而虛位移視約束情況，可以有多個，甚至無窮多個。對于非定常約束，某個瞬時的虛位移是將時間固定后，約束所允許的虛位移，而實位移是不能固定時間的，所以這時實位移不一定是虛位移中的一個。對于無限小的實位移，我們一般用微分符號表示，例如，等。三、虛功力在虛位移中作的功稱為虛功。如圖15-3中，按圖示的虛位移，力F的虛功為，是負功；力偶M的虛功為，是正功。力F在虛位移上作的虛功一般以表示，本課程中的虛功與實位移中的元功雖然采用同一符號，但它們之間是有本質(zhì)區(qū)別的。因為虛位移只是假想的，不是真實發(fā)生的，因而虛功也是假想的，是虛的。圖15

8、-3中的機構(gòu)處于靜止平衡狀態(tài)，顯然任何力都沒作實功，但力可以作虛功。四、理想約束如果在質(zhì)點系的任何虛位移中，所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為理想約束。假設(shè)以表示作用在某質(zhì)點i上的約束力，表示該質(zhì)點的虛位移，表示該約束反力在虛位移中所作的功，那么理想約束可以用數(shù)學(xué)公式表示為在動能定理一章中已分析過光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿、不可伸長的柔索、固定端等約束為理想約束，現(xiàn)從虛位移原理的角度看，這些約束也為理想約束。理論力學(xué)72學(xué)時第72學(xué)時講稿一、授課主題：約束虛位移虛功二、根本問題1約束的定義是什么？什么叫約束方程？2什么稱為幾何約束、運動約束、定常約束和完整約束？3什么叫虛位移？

9、4什么叫虛功？如何用數(shù)學(xué)公式表示虛功？5什么叫理想約束？如何用數(shù)學(xué)公式表示理想約束？三、根本概念和根本定律約束；約束方程；幾何約束；運動約束；定常約束；完整約束；理想約束；虛位移；虛功四、根本定理和根本結(jié)論五、根本方法六、根本內(nèi)容1約束及其分類2虛位移3虛功4理想約束七、思考題和課外作業(yè)思考題：15-1，15-2習 題：15-1，15-5八、參考文獻1 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編理論力學(xué)普通高等教育“十五國家級規(guī)劃教材，第六版北京：高等教育出版社，20022 洪嘉振，揚長俊編著理論力學(xué)普通高等教育“十五國家級規(guī)劃教材第二版北京：高等教育出版社，20023 范欽珊，劉燕，王琪編著理論力學(xué)普通高等院校根底力學(xué)系列教材北京：清華大學(xué)出版社，20044 清華大學(xué)理論力學(xué)教研組編理論力學(xué)：上冊，中冊，下冊第四版北京：高等教育出版社，19945 王鐸主編理論力學(xué)解題指導(dǎo)及習題集：上冊，下冊高等院校教學(xué)參考書北京：高等教育出版社，19866 南京工學(xué)院，西安交通大學(xué)主編理論力學(xué)：上冊，下冊高等學(xué)校試用教材北京：人民教育出版社