格密碼培訓(xùn)王鯤鵬02傅里葉變換

1、格理論與密碼學(xué)傅里葉變換傅里葉變換定義定義1. 中函數(shù) 符合定義2. 函數(shù) 的傅里葉變換 定義為例1不然若例2. 高斯函數(shù)（非標(biāo)準(zhǔn)命名） 其中 則例2中出現(xiàn)的函數(shù)的圖形 定理1： 對任意的以下成立且對任意若若若 則 則是由函數(shù) f 的函數(shù)值取復(fù)共軛得到，則 定義 則 且若 則逆變換定理2.設(shè)且 f 連續(xù),則 n 維情形的傅里葉變換 定義設(shè),定義如下且對任意若若若 則由函數(shù) f 的函數(shù)值取復(fù)共軛得到，則若 則且若 存在，則 定理3： 對任意的以下成立:若,則 例3：設(shè)則于是有 進(jìn)而對于函數(shù)有n（2）維高斯函數(shù) n 維情形的逆變換 定理4.對于 傅里葉級數(shù)，一維、周期為 1定義：設(shè) 是一個(gè)以 1

2、為周期的周期函數(shù)，則我們?nèi)缦露x函數(shù) 為其傅里葉級數(shù):且其在整數(shù) k 處的函數(shù)值 稱為第 k 個(gè)傅里葉系數(shù). 傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì) 定理5.設(shè) f 和 g 是周期為 1 的函數(shù)，則有，且對任意若若， 其中， 其中 則 則 傅里葉級數(shù)的逆變換 定理6.設(shè) f 是周期為 1 的函數(shù)，則有 定理7.對于足夠好的函數(shù) ，有 或者寫成， 泊松求和公式由速降函數(shù)構(gòu)造周期函數(shù)移一位疊加疊加結(jié)果按格點(diǎn)移位 疊加的結(jié)果，一個(gè)周期函數(shù) 得到這個(gè)周期函數(shù)的另一個(gè)方法 對于一個(gè)好函數(shù)構(gòu)造 注意到的周期是因此我們可以算出它的傅里葉級數(shù)：因此我們看到和 f 的傅里葉變換在整數(shù)上的取值是一樣的，根據(jù) 傅里葉級數(shù)的逆變換的公

3、式有： 公式兩邊取 x = 0 就有結(jié)論成立 傅里葉級數(shù)，一維、周期不是 1設(shè)周期函數(shù) 的周期是實(shí)數(shù)，則定義其 傅里葉級數(shù)為如下函數(shù)： 定理 周期不是 1 的傅里葉級數(shù)的逆變換定理8.對于 以及足夠好的函數(shù) ，有或者寫成， 泊松求和公式構(gòu)造 則具有周期任取有傅里葉級數(shù) 由傅里葉級數(shù)的逆變換公式有 公式兩邊取 x = 0 就有 例4.對于以及任意的 我們有 特別地，高斯函數(shù)的泊松求和公式 高維傅里葉級數(shù)定義5.對于以 為周期的函數(shù) ，定義其傅里葉級數(shù) 為： 高維傅里葉逆變換和泊松求和公式定理10：對于足夠好的函數(shù) f 有引理11：對于足夠好的函數(shù) f 有 高維傅里葉級數(shù)定義6.設(shè) B 是滿秩格 的基，對于以 為周期的函數(shù) f ，定義其傅里葉級數(shù) 如下： 高維傅里葉逆變換和泊松求和公式定理12：對于足夠好的函數(shù) f 及滿秩格 有引理13：對于足夠好的函數(shù) f 及滿秩格 有 高維高斯函數(shù)泊松求和公式例5