初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何難題及答案30160教學(xué)提綱

1、經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDXAB,EnAB,EGCO.求證：CD=GF.（初二）abDOF第1題圖2、已知：如圖，P是止方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，/PAD=求證：PBC是正三角形.（初二）3、如圖，已知四邊形ABCD、AiBiCiDi都是止方形，的中點(diǎn).求證：四邊形A2B2c2D2是止方形.（初一BV、C第3題圖4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、線交MN于E、F,求證：/DEN=/F.經(jīng)典難題（1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）（1）求證：AH=2OM;（2）若/BAC=600,求證：AH=AO.（初二）二BC第2題圖/PDA=

2、15.A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB、CC1、DD1二）F.上M第4題圖N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)二）O為外心，且OMLBC于M.2、設(shè)MN是圓。外一直線，過(guò)。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于BC及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初

3、二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/AC,AE=AC,AE與CD相交于F.求證：CE=CF.（初二）2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC,且CE= CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.求證：AE=AF.（初二）3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn),PFAP, CF平分/ DCE.求證：PA=PF.（初二）4、第3題圖如圖,PC切圓。于C, AC為圓的直徑,求證:AB=DC, BC=AD.（初三）第4題圖PEF為圓的割線,AE、AF與直線PO相交于 B、D.經(jīng)典難題（四）1、已知: ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn)， PA=3, PB= 4PC= 5.求：/A

4、PB的度數(shù).（初二）第1題圖第2題圖2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/PBA=/PDA.求證：/PAB=ZPCB.（初二）AE與CF相交于P,且第1題圖第2題圖3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCD+ADBC=ACBD.（初三）4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),AE=CF.求證：/DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證：WLV2.A2、P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).

5、第3題圖第4題圖4、如圖，ABC中，/ABC=/ACB=800,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，/DCA=300,/EBA=20,求/BED的度數(shù).經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDXAB,EFLAB,EGCO.求證：CD=GF。（初二）證一：連接OE。EGCO,EFAB,O、G、E、F四點(diǎn)共圓，且OE為直徑。.GF=OEsin/GOF。XAOCD中，CD=OCsin/COD。./GOF+/COD=180,OC=OE為。O半徑，.CD=GFo證二：連接OE,過(guò)G作GHAB于H。EGCO,EFAB,O、G、E、F四點(diǎn)共圓，且OE為直徑。/GEO=/HFG。又/E

6、GO=/FHG=Rt/,.-.GEOAHFGo.GF:OE=GH:OG。又GH/CD,.GH:CD=OG:OC,即GH:OG=CD:OC，.二GF:OE=CD:OC,而OE=OC,，CD=GF。2、已知：如圖,P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，/PAD=ZPDA=150.求證：PBC是正三角形.（初二）證明:3、如圖，已知四邊形ABCD、AiBiCiDi都是正方形，隈、B2、C2、D2分別是AAi、BBi、CO、DDi的中點(diǎn).求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F.求證：/DEN = /

7、 F.經(jīng)典難題（二）1、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）（1）求證：AH = 2OM ;（2）若/ BAC=600,求證：AH = AO.（初二）,O為外心，且OM LBC于M .2、設(shè)MN是圓。外一直線，過(guò)。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于日C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,

8、點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形, 求證：CE= CF.（初二）DE/AC, AE=AC, AE 與 CD 相交于 F.FADBC2、如圖，四邊形 ABCD為正方形,DE/AC,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.求證：AE=AF.（初二）3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PFLAP,CF平分/DCE.求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知：ABC是正三角形，

9、P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5.求：ZAPB的度數(shù).（初二）B2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/PBA=/PDA.求證：/PAB=/PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCD+ADBC=ACBD.（初三）4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE=CF.求證：/DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證：WLV2.2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a

10、,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).4、如圖，ABC中，/ABC=/ACB=800,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，/DCA=300,/EBA=20,求/BED的度數(shù).經(jīng)典難題（一）.如下圖做GHLAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/GFH=/OEG,riEOGOCO-i即GHFAOGE,可得=，又CO=EO,所以CD=GF得證。GFGHCD.如下圖做DGC使與4ADP全等，可得PDG為等邊,從而可得DGCZAPDACGP,得出PC=AD=DC,和/DCG=ZPCG=150所以/DCP=300,從而得出PBC是正三角形.如下圖連接BCi和AB分別找其中點(diǎn)F,E連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)

11、,連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=1AiBi=1BiCi=FB2,ER=AB=1BC=FCi,又/GFQ+/Q=900和/GEB2+/Q=900,所以/GEB2=/GFQ又/B2FC2=/AzER,可得B2FC2AA2EB2,所以A2B2=b2c2,又/GFQ+/HB2F=900和/GFQ=/ERA2,從而可得/A2B2C2=900,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得/QMF=/F,/QNM=/DEN和/QMN=ZQNM,從而得出/DEN=ZF。經(jīng)典難題(二)1.(1

12、)延長(zhǎng)AD至ijF連BF,彳OOGXAF,又/F=ZACB=ZBHD,可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB,OC,既得/BOC=120,從而可得/BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。.作OFCD,OGXBEE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。,ADACCD2FDFD由于=一ABAEBE2BGBG由此可得ADFAABG,從而可得/AFC=/AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/AFC=/AOP和/AGE=/AOQ,/AOP=/AOQ,從而可得AP=AQ。.過(guò)E,C,F點(diǎn)分

13、別作AB所在直線的高EG,CI,FH。可得PQ=EG+2FH。由AEGAAIC,可得EG=AI,由BFHACBI,可得FH=BI。，一口AI+BIAB,一/口、從而可得PQ=,從而得證。22經(jīng)典難題（三）.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AADE,到ABG,連接CG.由于/ABG=/ADE=900+450=135從而可得B,G,D在一條直線上，可得AGBACGBo推出AE=AG=AC=GC,可得AGC為等邊三角形。/AGB=30,既得/EAC=30,從而可得/AEC=75。又/EFC=ZDFA=45+30=75.可證：CE=CF。.連接BD作CHXDE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得

14、/CEH=300,所以/CAE=ZCEA=ZAED=150,又/FAE=900+450+150=1500,從而可知道/F=150,從而得出AE=AFo.作FGCD,FEELBE,可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。tan/BAP=tan/EPF=X=Z,可得YZ=XY-X2+XZ,YY-X+Z即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出ABPAPEF,得到PA=PF,得證。經(jīng)典難題（四）.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP600,連接PQ,則PBQ是正三角形。可得APQC是直角三角形。所以/APB=1500。.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE/DC,BE/P

15、C.可以得出/ABP=/ADP=/AEP,可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。可得/BAP=ZBEP=ZBCP,得證。.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=/ACD,既得BECsADC,可得:BEAD目口=,即AD?BC=BE?AC,BCAC又/ACB=/DCE,可彳ABCADEC,既得ABDE目.=,即AB?CD=DE?AC,ACDC由+可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=ACBD,得證。一，一.S.過(guò)D作AQXAE,AGXCF,由Svade=Svdfc，可得:2AEgPQAEgPQ上-=-,由AE=FC。22可得DQ=DG,可得/DPA=/DPC（角平分線逆定理）經(jīng)典難題(五).

16、(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC600,可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,即如下圖：可得最小L=(2)過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F由于/APD/ATP=/ADP,推出ADAP又BP+DPBP和PF+FCPC又DF=AF由可得：最大L/ATP=/ADP,推出ADAP又BP+DPBP和PF+FCPC又DF=AF由可得：最大L2;由（1）和（2）既得:.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4BPC600,可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上,即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF=F亭