中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題1-線(xiàn)段角的計(jì)算證明問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題1 線(xiàn)段角的計(jì)算證明問(wèn)題第一部分 真題精講如圖，梯形中，求的長(zhǎng)【思路分析】線(xiàn)段，角的計(jì)算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察的。所以這就要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線(xiàn)做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知條件當(dāng)中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個(gè)有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中.于是有解如下.

2、【解析】作于于 ，四邊形是矩形 是的邊上的中線(xiàn) 在中，【例2】已知：如圖，在直角梯形中，于點(diǎn)O，求的長(zhǎng). 【思路分析】 這道題給出了梯形兩對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系.求梯形上底.對(duì)于這種對(duì)角線(xiàn)之間或者和其他線(xiàn)段角有特殊關(guān)系(例如對(duì)角線(xiàn)平分某角)的題,一般思路是將對(duì)角線(xiàn)提出來(lái)構(gòu)造一個(gè)三角形.對(duì)于此題來(lái)說(shuō),直接將AC向右平移,構(gòu)造一個(gè)以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線(xiàn)段之一,而另一條線(xiàn)段BC是已知的.于是問(wèn)題迎刃而解.【解析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn). . 于點(diǎn), . . ， 四邊形為平行四邊形. . ， . ， . 此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳

3、角互余關(guān)系，證明ACD和 DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出CD。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究?！纠?】如圖，在梯形中，為中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門(mén)檻題。乍看之下好象直接過(guò)D做垂線(xiàn)之類(lèi)的方法不行.那該怎樣做輔助線(xiàn)呢?答案就隱藏在E是中點(diǎn)這個(gè)條件中.在梯形中,一腰中點(diǎn)是很特殊的.一方面中點(diǎn)本身是多對(duì)全等三角形的公共點(diǎn),另一方面中點(diǎn)和其他底,腰的中點(diǎn)連線(xiàn)就是一些三角形的中線(xiàn),利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題,過(guò)中點(diǎn)E做BC的垂線(xiàn),那么這條垂線(xiàn)與AD延長(zhǎng)線(xiàn),BC就構(gòu)成了兩個(gè)全等的直角三角形.并且這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)

4、銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.【解析】過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn). 在梯形中，是的中點(diǎn)，在和中， . ，.在中，.在中，【總結(jié)】 以上三道真題,都是在梯形中求線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題.這些問(wèn)題一般都是要靠做出精妙的輔助線(xiàn)來(lái)解決.輔助線(xiàn)的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達(dá)到利用已知求未知的目的.一般來(lái)說(shuō),梯形的輔助線(xiàn)主要有以下5類(lèi):過(guò)一底的兩端做另一底的垂線(xiàn)，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形平移對(duì)角線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于另一底延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過(guò)中點(diǎn)做底邊垂線(xiàn)構(gòu)筑

5、兩個(gè)全等的直角三角形以上五種方法就是梯形內(nèi)線(xiàn)段問(wèn)題的一般輔助線(xiàn)做法。對(duì)于角度問(wèn)題，其實(shí)思路也是一樣的。通過(guò)做輔助線(xiàn)使得已知角度通過(guò)平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線(xiàn)段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來(lái)看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題?！纠?】 如圖，在梯形中，平分，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)【思路分析】 此題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，不需要做輔助線(xiàn)就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類(lèi)角度問(wèn)題的基本條件。例如對(duì)角線(xiàn)平分某角，然后有角度之間的關(guān)系。面對(duì)這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線(xiàn)這一條件，可以得出（見(jiàn)下圖）角C與角1，2，3以及角E的關(guān)系。于是

6、一系列轉(zhuǎn)化過(guò)后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解?！窘馕觥浚?， 梯形是等腰梯形 ， 在中， ， 【例5】已知：，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB 的兩側(cè).如圖，當(dāng)APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問(wèn)。如果線(xiàn)段角的計(jì)算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并不會(huì)太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時(shí)候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求AB比較容易，過(guò)A做BP垂線(xiàn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將APB分成兩個(gè)有很多已知量的RT。但是求PD時(shí)候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個(gè)鈍角三角形，所以就需要我們將PD放在一

7、個(gè)直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡(jiǎn)單的就是過(guò)P做DA延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)交DA于F，DF交PB于G。這樣一來(lái)，得到了PFA AGE等多個(gè)RT。于是與已求出的AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解?！窘馕觥浚喝鐖D，作AEPB于點(diǎn)E APE中，APE=45， ， ， 在RtABE中，AEB=90， 如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)，與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交PB于G在RtAEG中，可得，（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系），在RtPFG中，可得，【總結(jié)】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計(jì)算證明問(wèn)題時(shí)，一般情況下都是要將已知角度通過(guò)平行，垂直等關(guān)系過(guò)度給未知角

8、度。所以，構(gòu)建輔助線(xiàn)一般也是從這個(gè)思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來(lái)達(dá)到求解的目的。第二部分 發(fā)散思考通過(guò)以上的一模真題，我們對(duì)線(xiàn)段角的相關(guān)問(wèn)題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來(lái)我們自己動(dòng)手做一些題目。希望考生先做題，沒(méi)有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案。【思考1】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若ACBD，CBDAAD+BC=， 且， 求CD的長(zhǎng)【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過(guò)，梯形問(wèn)題無(wú)非也就那么幾種輔助線(xiàn)的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個(gè)RT三角形中。另外遇到對(duì)角線(xiàn)垂直這類(lèi)問(wèn)題，一般都是平移某一條對(duì)角線(xiàn)以

9、構(gòu)造更大的一個(gè)RT三角形，所以此題需要兩條輔助線(xiàn)。在這類(lèi)問(wèn)題中，輔助線(xiàn)的方式往往需要交叉運(yùn)用，如果思想放不開(kāi)，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法見(jiàn)后文【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD/BC，B=30，C=60，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，已知BC=7，MN=3，求EFADCFEMBN【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算方法，也對(duì)三點(diǎn)共線(xiàn)提出了要求。若求EF，因?yàn)锽C已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B，角C的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。（解法見(jiàn)后）【思考3】已知，延長(zhǎng)到，使取的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)ABFECD 求的值； 若，求的

10、長(zhǎng)【思路分析】 求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來(lái)求解。此題中有一個(gè)等量關(guān)系BC=CD，又有F中點(diǎn)，所以需要做輔助線(xiàn)，利用這些已知關(guān)系來(lái)構(gòu)造數(shù)個(gè)相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。（解法見(jiàn)后）【思考4】如圖3，ABC中，A=90，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=3，CF=4，試求EF的長(zhǎng)【思路分析】 中點(diǎn)問(wèn)題是中考幾何中的大熱點(diǎn)，幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線(xiàn)，而倍長(zhǎng)中線(xiàn)方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形，很多問(wèn)題就可以輕松求解。本題中，D為中點(diǎn)，所以大家可以看看如何在這個(gè)里面構(gòu)造倍長(zhǎng)中線(xiàn)。（解法見(jiàn)后）【思考5】 如圖

11、，在四邊形中，為上一點(diǎn)，和都是等邊三角形，、的中點(diǎn)分別為、，試判斷四邊形為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論【思路分析】此題也是中點(diǎn)題，不同的是上題考察中線(xiàn)，此題考察中位線(xiàn)。本題需要考生對(duì)各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺(jué)。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。（解法見(jiàn)后）第三部分 思考題答案思考1【解析】：作DEBC于E，過(guò)D作DFAC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F 則四邊形ADFC是平行四邊形，DF=AC 四邊形ABCD是等腰梯形，AC=BD 又ACBD，DFAC，BDDFBDF是等腰直角三角形在中， ， ADCFEEMBNH思考2【解析】：延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)H，連接HN，因?yàn)锽=30，C=60，所以BHC=90所以HN=DN（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)）NHD=NDH=60連接MH，同理可知MHD=C=60。所以NHD=MHD，即H，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)（這一點(diǎn)容易被遺漏，很多考生會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為他們共線(xiàn)，其實(shí)還是要證明一下）所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5所以AD=1 EF=（1+7）/2=4思考3【解析】 過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)ABFECDM為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)，由，得， ，又，思考4【解析】：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)