2022年河北省雄安新區(qū)博奧高三下學期一模考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（ ）ABCD2已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）A4B8C16D23已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距

2、離為（ ）ABCD4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD5已知下列命題：“”的否定是“”；已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題；“”是“”的充分不必要條件；“若，則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為（ ）ABCD6已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）A25B32C35D407已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD8已知隨機變量服從正態(tài)分布，（ ）ABCD9已知橢圓：的左，右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，成等差數(shù)列，則的離心率為（ ）ABCD10要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，只需將的圖像（ ）A向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3

3、倍B向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍11若函數(shù)在時取得極值，則（ ）ABCD12設(shè)，是空間兩條不同的直線，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得最大值時，其底面棱長為_.14如圖，在ABC中，AB4，D是AB的中點，E在邊AC上，AE2EC，CD與BE交于點O，若

4、OBOC，則ABC面積的最大值為_15定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的，都有；當時，則函數(shù)的解析式可以是_.16在中，是的角平分線，設(shè)，則實數(shù)的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.18（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍19（12分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20（12分）設(shè)，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.21（12分）已知x，y，z均為正數(shù)

5、（1）若xy1，證明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若，求2xy2yz2xz的最小值22（10分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

6、【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計算,難度容易.3B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z, 復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)學運算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.4D【解析】利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,

7、重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.5B【解析】由命題的否定，復(fù)合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關(guān)系對每個命題進行判斷【詳解】“”的否定是“”，正確；已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題，正確；“”是“”的必要不充分條件,錯誤；“若，則且”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯誤.故選：B【點睛】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ)6C【解析】設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，即可根據(jù)題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，即有故選：C【點睛】本題

8、主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，屬于容易題7B【解析】根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，所以是的一個零點，當時，若，則，即，所以，解得；當時，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應(yīng)用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題

9、.8B【解析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.9C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，成等差數(shù)列，設(shè)，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.10D【解析】先求得，再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識，選出正確選項.【詳解】依題意，所以由

10、向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選：D【點睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又函數(shù)在時取得極值，所以，解得.故選D【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.12C【解析】根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：、也可能相交或異面，故錯：因為，所以或，因為，所以，故對：或，故錯：如圖因為，在內(nèi)過點作直線的垂線，則直線，又因為，設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為， 所以，

11、所以，故對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為，則斜高為，即此四棱錐的高為，所以此四棱錐體積為，令，令，易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.14【解析】先根據(jù)點共線得到，從而得到O的軌跡為阿氏圓，結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B，O，E共線，則，解得，從而O為CD中點，故.在BOD中，BD2，易知O的軌跡為阿氏圓，其半徑，故故答案為：

12、.【點睛】本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15（或，答案不唯一）【解析】由可得是奇函數(shù)，再由時，可得到滿足條件的奇函數(shù)非常多，屬于開放性試題.【詳解】在中，令，得；令，則，故是奇函數(shù)，由時，知或等，答案不唯一.故答案為：（或，答案不唯一）.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及到由表達式確定函數(shù)奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.16【解析】設(shè)，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設(shè)，由得：，化簡得，由于，故.故答案為：【點睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.三、解答題：共7

13、0分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)；(2)見解析【解析】(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值； (2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而可得，即，即可證出【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當時，故在上單調(diào)遞增，又，所以當時，不符合題意；當時，令得，當時，；當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，所以，當時，；當時，所以在 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當，時，即在上單調(diào)遞增；又

14、，所以，使得，當時，；當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以， 即，所以，即【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題18（1）.（2）.【解析】試題分析：（）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；（）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），解得實數(shù)的取值范圍是點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)

15、形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向19（1）；（2）.【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】（1），又，切線方程為，即.（2）令，若，則在上單調(diào)遞減，又，恒成立，在上單調(diào)遞減，又，恒成立.若，令，易知與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，恒成立，在上單調(diào)遞減，又，恒成立，當即時，使，在遞增，此時，在遞增，不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【

16、點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題，第二問的難點是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問題，對分類討論思想及化歸與等價轉(zhuǎn)化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.20（1）2；（2）見解析【解析】（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，.（2），即：或.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.21（1）證明見解析；（2）最小值為1【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根據(jù)0 xy1時, 即可證明|x+z|y+z|4xyz.（2）由, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3，從而求出2xy2yz2xz的最小值.【詳解】（1）證明：x，y，z均為正數(shù)，|x+z|y+z|（x+z）（y+z），當且僅當xyz時取等號又0 xy1，|x+z|y+z|4xyz；（2），即，當且僅當xyz1時取等號，xy+yz+xz3，2xy2yz2xz2xy+yz+xz1，2xy2yz