金融工程7-維納過程與伊藤引理ppt課件

1、1第12章 維納過程和伊藤引理.2教學(xué)目的與要求掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握普通維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和規(guī)范差。掌握Ito過程的特征。 .3教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)一、馬爾科夫過程與效率市場(chǎng)的關(guān)系。二、維納過程、普通維納過程與此同時(shí)Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)和變化。三、Ito定理及其運(yùn)用。 .4期權(quán)的估值歐式期權(quán)的到期收益Max (STX, 0)ST不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值？風(fēng)險(xiǎn)中性估值期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值未來收益折現(xiàn)后的期望值cE Max (STX, 0)問題

2、ST的分布是怎樣的？只需確定ST的分布才干確定c的價(jià)值.512.1弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫過程效率市場(chǎng)假說1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場(chǎng)假說。該假說以為：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)錢對(duì)新的市場(chǎng)信息的反響是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)錢能完全反響全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)錢從一個(gè)平衡程度過渡到另一個(gè)平衡程度，而與新信息相應(yīng)的價(jià)錢變動(dòng)是相互獨(dú)立的。效率市場(chǎng)分類效率市場(chǎng)假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。弱式效率市場(chǎng)假說以為，證券價(jià)錢變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)錢未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能經(jīng)過技術(shù)分析獲得超越平均收益率的收益。.6半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說以為，

3、證券價(jià)錢會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的一切公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)錢和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的根本面信息都無助于挑選價(jià)錢被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說以為，不僅是已公布的信息，而且是能夠獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息(包括“內(nèi)幕信息)對(duì)挑選證券都沒有用途。效率市場(chǎng)假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對(duì)此進(jìn)展了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，興隆國家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說。.7馬爾可夫過程弱式效率市場(chǎng)假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程(Markov Stochastic Process)來表述。馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機(jī)過程。未來的預(yù)測(cè)只與變量的當(dāng)

4、前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從過去到如今的演化方式不相關(guān)。 股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場(chǎng)有效性(the weak form of market efficiency)相一致：一種股票的現(xiàn)價(jià)曾經(jīng)包含了一切信息，當(dāng)然包括了一切過去的價(jià)錢記錄。假設(shè)弱型市場(chǎng)有效性正確的話，技術(shù)分析師可經(jīng)過分析股價(jià)的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不能夠的。是市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)保證了弱型市場(chǎng)有效性成立。 .812.2維納過程 Wiener Process 布朗運(yùn)動(dòng)來源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動(dòng)的描畫，以發(fā)現(xiàn)這種景象的英國植物學(xué)家Robert Brown命名。描畫布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程的定義是維納(w

5、iener)給出的，因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱維納過程股價(jià)行為模型通常用布朗運(yùn)動(dòng)來描畫。布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊方式。.9維納過程 Wiener Process 維納過程Wiener Process性質(zhì)一：股票價(jià)錢的變動(dòng)是一個(gè)正態(tài)變量與時(shí)間的乘積 服從規(guī)范正態(tài)分布性質(zhì)二：恣意兩個(gè)不重疊時(shí)段的股票價(jià)錢變動(dòng)相互獨(dú)立從性質(zhì)一，我們知道z服從正態(tài)分布，性質(zhì)2那么隱含z遵照馬爾科夫過程。維納過程/布朗運(yùn)動(dòng)的特征股票價(jià)錢在恣意時(shí)段變動(dòng)的均值都為0。股票價(jià)錢在某一時(shí)段變動(dòng)的方差等于時(shí)間的長度.10程序：維納過程的模擬假定股票價(jià)錢服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，即dS=dt+dz，其中和均為常數(shù)，dz遵照規(guī)范布朗運(yùn)動(dòng)，也

6、就是說，在短時(shí)間t后，S值的變化值S為假定股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dS=dt+dz,其中和均為常數(shù)，dz遵照規(guī)范布朗運(yùn)動(dòng)，也就是說，在短時(shí)間t后，ln(S)值的變化值ln(S)為.當(dāng)股票價(jià)錢服從普通布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)的走勢(shì)圖11.當(dāng)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)的走勢(shì)圖12.13股票價(jià)錢的普通變動(dòng)普通化的維納過程變量本身隨著時(shí)間的推移會(huì)有定量的增長at除了時(shí)間價(jià)值之外的變動(dòng)為布朗運(yùn)動(dòng).1412.3 股票價(jià)錢的普通變動(dòng)股票價(jià)錢的變動(dòng)股票價(jià)錢有隨時(shí)間推移增長的穩(wěn)定趨勢(shì)股票“實(shí)踐價(jià)錢變動(dòng)為布朗運(yùn)動(dòng).布朗運(yùn)動(dòng)股票價(jià)錢.指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)股票價(jià)錢.上證指數(shù).1812.4 Itos LemmaItos Lemma假設(shè)存

7、在一個(gè)伊藤過程：假設(shè)G是x和t的函數(shù)，即：G=G(x,t)那么：期權(quán)及其他衍生證券的價(jià)錢變動(dòng)股票價(jià)錢服從維納過程：那么：.19證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢變動(dòng)過程服從：其中利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，G(x,t)可以展開為.20因此，上式可以改寫為保管1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng).21其中忽略高階項(xiàng)：.22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。.2312.5 股票價(jià)錢的對(duì)數(shù)正態(tài)特性對(duì)數(shù)正態(tài)分布股票價(jià)錢服從維納過程股票價(jià)錢的分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布公式.24關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布定義G=lnS，由于：所以有：即：顯然G為一個(gè)廣義維納過程，其漂移率為常數(shù) ，動(dòng)搖率為常數(shù) 。因此，lnS的變化服從正態(tài)分

8、布，不難知道：.25對(duì)數(shù)正態(tài)分布.幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深化分析在很短的時(shí)間t后，證券價(jià)錢比率的變化值 為：可見，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征其均值為 ，規(guī)范差為 ，方差為 。 .幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深化分析2但是，在一個(gè)較長的時(shí)間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：多期收益率的乘積問題，服從正態(tài)分布的變量的乘積并不服從正態(tài)分布。而由于總的延續(xù)復(fù)利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態(tài)分布。因此，雖然是短期內(nèi)股票價(jià)錢百分比收益率的規(guī)范差，但是在恣意時(shí)間長度T后，這個(gè)收益率的規(guī)范差卻不再是 。股票價(jià)錢的年動(dòng)搖率并不是一年內(nèi)股票價(jià)錢百分比收益率變化的規(guī)范差。.幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深化分析3假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

9、，那么可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)錢自然對(duì)數(shù)lnS所遵照的隨機(jī)過程：這個(gè)隨機(jī)過程的特征：普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。在恣意時(shí)間長度T之后，G的變化依然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。規(guī)范差依然可以表示為 ，和時(shí)間長度平方根成正比。從自然對(duì)數(shù)lnS所遵照的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論:.1幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)錢服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)辰G的值為lnS，T時(shí)辰G的值為lnST，其中S表示t時(shí)辰當(dāng)前時(shí)辰的證券價(jià)錢，ST表示T時(shí)辰未來時(shí)辰的證券價(jià)錢，那么在Tt期間G的變化為：這意味著： 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到也就是說，證券價(jià)錢對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。假設(shè)一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正

10、態(tài)分布，那么稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這闡明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 這正好與作為預(yù)期收益率的定義相符。.2股票價(jià)錢對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)踐上就是延續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)踐上意味著對(duì)數(shù)收益率遵照普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的規(guī)范差與時(shí)間的平方根成比例。將t與T之間的延續(xù)復(fù)利年收益率定義為，那么.結(jié)論幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描畫了股票價(jià)錢的運(yùn)動(dòng)過程。.3212.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬有關(guān)蒙特卡羅方法的由來取名于摩納哥的著名賭城擲色子是一個(gè)隨機(jī)事件蒙特卡羅方法任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題估計(jì) 圓周率 優(yōu)化問題40年代美國Los

11、 Alamos 實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研討代表人物：馮諾依曼.經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法Monte Carlo 方法在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，假設(shè)我們對(duì)某種估計(jì)方法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方法時(shí)，可以用Monte Carlo 方法來處理.在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子:對(duì)聯(lián)立方程偏誤的定量研討.確定Dickey-Fuller 檢驗(yàn)的臨界值.確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對(duì)檢驗(yàn)效果的影響.經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法Monte Carlo 方法在金融中的例子:奇特期權(quán)的定價(jià).確定宏觀環(huán)境對(duì)金融市場(chǎng)的影響.風(fēng)險(xiǎn)管理建模: 壓力測(cè)試，例如，確定最小資本要求.模擬中的“隨機(jī)數(shù)進(jìn)展蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)

12、定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例如模擬樣本為100的隨機(jī)趨勢(shì)過程的DF統(tǒng)計(jì)量的分布，假設(shè)實(shí)驗(yàn)1萬次，那么需求生成200萬個(gè)隨機(jī)數(shù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機(jī)數(shù)普通是服從N(0,1)分布的隨機(jī)數(shù)。計(jì)算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是“純隨機(jī)數(shù)，而是具有某種一樣統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種“偽隨機(jī)數(shù)pseudo-random number。生成隨機(jī)數(shù)的程序稱作“偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)。實(shí)踐上計(jì)算機(jī)不能夠生成純隨機(jī)數(shù)。.模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理根本一樣。假設(shè)

13、干例子見圖。. 圖1 隨機(jī)游走序列 圖2 帶趨勢(shì)項(xiàng)的隨機(jī)游走序列 圖3 三維圖圓環(huán) 圖4 空間曲面. 圖5 投幣1000次的概率值模擬 圖6 生長曲線 圖7 二元正態(tài)分布 圖8 蒲豐問題.3912.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)我們從幾個(gè)例子來看例1：兩個(gè)I(1)變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬 未到達(dá)N圖11 蒙特卡羅模擬過程表示圖生成 xt, ytI(1) 估計(jì)相關(guān)系數(shù)r 分析r的 分布 設(shè)定循環(huán)次數(shù)N 設(shè)定 xt,yt I(1) .EViews程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor !i=1 to 500smpl 1 100series x=nrnds

14、eries y=nrndseries xxseries yyscalar sum1=0scalar sum2=0for !counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定義一個(gè)非時(shí)間序列u任務(wù)文件，corr，容量為500。定義一個(gè)空序列result，用來存儲(chǔ)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。!i為控制變量，經(jīng)過一個(gè)for循環(huán)語句使計(jì)算進(jìn)展500次。把樣本范圍設(shè)置成100

15、。生成兩個(gè)互不相關(guān)的白噪聲序列x、y，樣本容量100。定義兩個(gè)空的序列xx和yy，樣本容量也是100。定義兩個(gè)標(biāo)量sum1和sum2，初始值為0。!counter為控制變量，在這個(gè)for循環(huán)中，分別對(duì)序列x和y進(jìn)展一次累加生成兩個(gè)一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列xx和yy中。累加一次。計(jì)算序列xx和yy的相關(guān)系數(shù)，并將結(jié)果放到標(biāo)量r中。將相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果放到序列result中，在這個(gè)for循環(huán)中，這個(gè)操作要進(jìn)展500次。顯示序列result的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計(jì)量。.圖13 兩個(gè)非相關(guān)I(1) 序列的相關(guān)系數(shù)的分布.例2：DW統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬 生成T=50的相互獨(dú)立的IN(0,1)序列

16、ut 和vt用ut 和vt分別生成兩個(gè)相互獨(dú)立的I(1)序列yt = yt-1 + ut , y0 = 0, xt = xt-1 + vt , x0 = 0,估計(jì)模型yt = 0 + 1xt + wt 并計(jì)算殘差用殘差計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量的值存儲(chǔ)2000個(gè)DW值畫DW頻數(shù)分布直方圖。記錄T=50條件下DW分布的均值、規(guī)范差和第90、95、99百分位數(shù)。分別估計(jì)DW均值、規(guī)范差和第90、95、99百分位數(shù)值對(duì)(1/T )的呼應(yīng)面函數(shù). 例3利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)展定價(jià)設(shè)股票價(jià)錢St服從風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的幾何Brown運(yùn)動(dòng)：其離散化方式為根據(jù)金融工程實(shí)際，設(shè)如今股票價(jià)錢為S0，T時(shí)辰到期單位天，敲定價(jià)為

17、K的歐式看漲期權(quán)的價(jià)錢為MC方案：按照1遞推產(chǎn)生n條風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的軌道，提取出ST (n)；2.44對(duì)一個(gè)群眾型歐式看漲期權(quán)的定價(jià). 詳細(xì)步驟如下:確定標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程. 通常假設(shè)該過程為具有漂移的隨機(jī)游走，即要確定漂移和動(dòng)搖參數(shù). 同時(shí)要確定行權(quán)價(jià)錢K 及到期日T.產(chǎn)生T 個(gè)規(guī)范正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，作為誤差項(xiàng), ut N(0,1).構(gòu)造T 個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的觀測(cè)值.例3:利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)展定價(jià).45記錄在時(shí)辰 T時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)錢ST. 對(duì)一個(gè)看漲期權(quán)假設(shè) ST K, 那么價(jià)值為ST - K, 然后用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn).反復(fù) 1到 4步 N 次, 取 N 反復(fù)的平均值，這個(gè)平均值就是該歐式看

18、漲期權(quán)的價(jià)錢.對(duì)于更加復(fù)雜期權(quán)的定價(jià)可以按同樣思緒進(jìn)展.例:利用模擬方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)展定價(jià)(續(xù)).有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器可以產(chǎn)生在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)Excel中在excel中可以采用RAND產(chǎn)生一個(gè)0和1之間的隨機(jī)數(shù)，累積正態(tài)分布分布的反函數(shù)為NORMSINV。所以，EXCEL中從規(guī)范正態(tài)分布中隨機(jī)抽樣的方法是：NORMSINVRANDSTATA中生成0，1之間偽隨機(jī)數(shù)的命令為uniform每運(yùn)轉(zhuǎn)di uniform()命令一次，就可以得到一個(gè)隨機(jī)數(shù). simulate exp_list , reps(#) saving(filename , replace) seed(#) : command例 simulate max=r(max), reps(10000) nodots:seq3，效果就是反